第1讲(矩阵的概念与基本运算)

第三章矩阵主要内容：

3.1矩阵的概念及运算

3.2逆矩阵

3.3矩阵的分块

3.4初等矩阵

2.2矩阵的秩1、线性方程组的解取决于，将系数与常数项按原位置排成对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.系数常数项一、矩阵的引入第1节矩阵的概念

定义

由个数排成一个行列的数表称为行列矩阵，简称矩阵，记作二、矩阵的定义称为矩阵的

元.元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.注：１、只有一行的矩阵称为行矩阵,只有一列的矩阵称为列矩阵.２、３、行数与列数相等的矩阵称为ｎ阶方阵.４、若，且，称两矩阵同型.５、称为方阵的行列式.定义

如果两个矩阵A,B有：1）相同的行数和相同的列数，2）对应位置上的元素均相等，则称矩阵A与B相等，记A=B。三、几种特殊的矩阵１、零矩阵个元素全为零的矩阵称为零矩阵.注意：不同的零矩阵未必相等的.记作或.２、对角矩阵主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵.不全为0记作３、单位矩阵主对角线上的元素全为1的对角阵称为单位阵.全为1记作4、数量矩阵记作全为主对角线上的元素全为k的对角阵称为数量阵.5、三角矩阵上三角矩阵下三角矩阵上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵.对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等.如6、对称矩阵定义设为阶方阵，若，即，那么称为对称矩阵.定义设为阶方阵，若，即，那么称为反对称矩阵.反对称矩阵的主要特点是:主对角线上的元素为0,其余的元素关于主对角线互为相反数.如反对称矩阵矩阵与行列式的有何区别?思考题：

矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.解答：一、矩阵的加法1、定义注意:只有同型矩阵才能进行加法运算.若规定第2节矩阵的运算

例2、运算规律（设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｏ均是同型矩阵）（1）

（交换律）（2）

（结合律）（3）（4）（5）（减法）二、数与矩阵的乘法1、定义若规定例2、运算规律（设均是矩阵，）（1）（3）（2）（4）三、矩阵的乘法定义

设矩阵A的列数与矩阵B的行数相同，则由元素构成的m行n列的矩阵，称为矩阵A与B的积，记为C=A·B,或AB.

2）矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数。3）乘积C的第i行第j列的元素Cij等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。

由这个定义可知：1）如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B可以相乘。

3、矩阵相乘的三大特征（1）无交换律（2）无消去律（3）若4、运算规律（假定所有运算合法，是矩阵，

）（1）（2）（3）（4）（5）定义对于矩阵，若，称与可交换.例7设，求的所有可交换矩阵.解设，于是即建立方程组得所以把矩阵的行列互换得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例四、矩阵的转置1、定义2、相关性质（假定所有运算合法，是矩阵，）（1）（2）（4）（3）（5）当A是n阶方阵时，

方阵的幂：设A是n阶方阵，k是自然数，k个A连乘称为A的k次幂，记作Ak，即

相关结论：

其中为正整数．五、方阵的幂

由于矩阵乘法不满足交换律，对于两个同阶方阵