四川省南充市南部县东坝中学2022年度高三数学理月考试题含解析

四川省南充市南部县东坝中学2022年度高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于A． B．

C． D．参考答案：D2.曲线在点（1，1）处的切线与轴及直线所围成的三角形的面积为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.

对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”．现有四个函数：

①；

②

③

④．其中存在“稳定区间”的函数的个数为(

)

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B4.的结果为

A．1

B．2

C．3

D．不存在参考答案：B5.设函数f（x）=，若方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x1，x2，则的最大值为（）A．B．2（ln2﹣1） C． D．ln2﹣1参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（f（x））的解析式，根据f（f（x））的函数图象判断x1，x2的范围和两根的关系，构造函数h（x1）=e?e，求出h（x1）的最大值即可．【解答】解：令g（x）=f（f（x））=，∵y=f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）=f（f（x））在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．做出g（x）=f（f（x））的函数图象如图所示：∵方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，则x1≤﹣1，x2≥0，且f（x1）=f（x2），即x12=e．∴e?e=e?x12，令h（x1）=e?x12，则h′（x1）=e（x12+2x1）=e?x1?（x1+2），∴当x1＜﹣2时，h′（x1）＞0，当﹣2＜x1＜﹣1时，h′（x1）＜0，∴h（x1）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，∴当x1=﹣2时，h（x1）取得最大值h（﹣2）=．故选C．【点评】本题考查了根的个数与函数图象的关系，函数单调性判断与函数最值的计算，属于中档题．6.已知实数满足则的最小值是（

）A.7

B.-5

C.4

D.-7参考答案：B由得，，做直线，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最小，由得，，代入得最小值，所以选B.7.设集合，，则

A．

B．

C．

D．

参考答案：C8.直线的倾斜角α=（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：A【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．【解答】解：可得直线的斜率为k==，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故选A9.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则△ABP面积的取值范围是A.[2,6] B.[4,8]C. D.参考答案：A分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。10.函数（其中)的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A.向右平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________.参考答案：12.观察下列各式：则_____________;参考答案：123略13.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球体积为．参考答案：π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】先根据题意画出图形，再设三棱柱外接球的球半径为r，利用在直角三角形ADO中的边的关系求出球半径，最后利用球的体积公式即可求出这个三棱柱的外接球的体积．【解答】解：设三棱柱外接球的球心为O，球半径为r，三棱柱的底面三角形ABC的中心为D，如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，∴=，∴AA1=2，∴OD=1又在正三角形ABC中，AB=，则AD=1，∴在直角三角形ADO中，OA2=OD2+AD2有r2=12+12，∴r=，则这个三棱柱的外接球的体积为V=×r3=π．故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查几何体的外接球的体积的应用，三棱柱体积的求法，考查计算能力．14.某第三方支付平台的会员每天登陆该平台都能得到积分，第一天得1积分，以后只要连续登陆每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登陆两周，则他两周共得

积分．参考答案：105依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列，故他这两周共得积分.

15.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的表面积是

．参考答案：12cm216.不等式＞0的解为____________．参考答案：x>1或x<－1略17.若不等式f（x）≤0（x∈R）的解集为[﹣1，2]，则不等式f（lgx）＞0的解集为

．参考答案：（0，）∪(100,+∞)【考点】其他不等式的解法．【分析】由题意可得lgx＜﹣1或lgx＞2，解得即可．【解答】解：∵不等式f（x）≤0（x∈R）的解集为[﹣1，2]，∴不等式f（x）＞0（x∈R）的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），∵f（lgx）＞0，∴lgx＜﹣1或lgx＞2，解得0＜x＜，或x＞100，∴不等式f（lgx）＞0的解集为（0，）∪．故答案为：（0，）∪(100,+∞)．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f（x）=lnx﹣﹣1．（1）若曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a=0存在大于0的实数根，根据y=x2+x+a在x＞0时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）=﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）=0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣﹣1得：f′（x）=，（x＞0），由已知曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）=﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a=0存在大于0的实数根，∵y=x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）=，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）=及题设得：g′（x）==，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）=﹣a﹣1＜0，取x=e，显然e＞1，f（e）=﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）=0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）=0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、是一道综合题．19.已知等差数列中，，，数列中，，．（I）求数列的通项公式，写出它的前项和；（II）求数列的通项公式；（III）若，求数列的前项和．参考答案：略20.某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：第一段生产的半成品质量指标xx≤74或x＞8674＜x≤78或82＜x≤8678＜x≤82第二段生产的成品为一等品概率0.20.40.6第二段生产的成品为二等品概率0.30.30.3第二段生产的成品为三等品概率0.50.30.1从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、－100元．（1）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（2）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（3）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量．请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：，，），参考答案：（1）；（2）万元；（3）见解析．（1）平均值为：．（2）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标或，或，，设生产一件产品的利润为元，则，，，所以生产一件成品的平均利润是元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元．（3），，，，设引入该设备后生产一件成品利润为元，则，，，所以引入该设备后生产一件成品平均利润为元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是万元，增加收入万元，综上，应该引入该设备．21.已知实数且函数的值域为（Ⅰ）求实数的值（Ⅱ）若至少存在一个实数使得成立，求实数的取值范围参考答案：22.面直角坐标系xoy中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．（1）求椭圆的方程；（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．参考答案：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，∴，解得a=2，b=c=，∴椭圆方程为．（2）设直线AB为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x