四川省宜宾市育才中学校2022年高二数学理上学期期末试卷含解析

四川省宜宾市育才中学校2022年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A

B.

C.

D.参考答案：B2.在中，，三边长a，b，c成等差数列，且，则b的值是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角的余弦值为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C

解析：取的中点，取的中点，5.等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则其前13项和为（）A．13 B．26 C．52 D．156参考答案：B【考点】等差数列的性质．【分析】由已知，根据通项公式，能求出a7=2，S13运用求和公式能得出S13=13a7，问题解决．【解答】解：∵2（a1+a1+3d+a1+6d）+3（a1+8d+a1+10d）=2（3a1+9d）+3（2a1+18d）=12a1+72d=24，∴a1+6d=2，即a7=2S13===2×13=26故选B【点评】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，注意简单性质的灵活运用．6.设双曲线的焦距为，一条渐近线方程为，则此双曲线方程为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.直线与椭圆的公共点个数是(

)

A.0

B.1

C.2

D.4参考答案：B8.已知椭圆的方程为，则该椭圆的长半轴长为（

）A．3

B.2

C．6

D.4参考答案：A略9.若（

）A、直角三角形

B、钝角三角形

C、锐角三角形

D、等腰三角形参考答案：A10.如图是导函数y=f′（x）的图象，则原点的函数值是（）A．导函数y=f′（x）的极大值 B．函数y=f（x）的极小值C．函数y=f（x）的极大值 D．导函数y=f′（x）的极小值参考答案：C【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由导函数y=f′（x）的图象，可知函数在0处导数为0，且左正右负，所以原函数在0的左边单调增，右边单调递减，从而可得结论．【解答】解：由导函数y=f′（x）的图象，可知函数在0处导数为0，且左正右负，所以原函数在0的左边单调增，右边单调递减，所以原点的函数值是函数y=f（x）的极大值．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.现有如下假设：所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号）①所有纺织工都投了健康保险

②有些女工投了健康保险

③有些女工没有投健康保险

④工会的部分成员没有投健康保险参考答案：①②③∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险∴所有纺织工都投了健康保险，故①正确；∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险，部分纺织工是女工∴有些女工投了健康保险，故②正确；∵部分梳毛工是女工，没有一个梳毛工投了健康保险∴有些女工没有投健康保险，故③正确；∵所有工会成员都投了健康保险∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的，故④错误.故答案为①②③.12.已知四棱锥的三视图如图1所示,则四棱锥的四个侧面中面积最大值是

.

参考答案：6

13.如图所示，把一块边长是的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，当盒子的容积最大时，切去的正方形的边长为

______

。

参考答案：14.双曲线的一个焦点为,则的值为___________,双曲线的渐近线方程

为___________.参考答案：－1;15.函数f（x）=x2e﹣x，则函数f（x）的极小值是

．参考答案：0【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】通过求导判断函数的单调性，结合极小值的概念可得结论．【解答】解：因为f（x）=x2e﹣x，x∈R所以f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=（2﹣x）xe﹣x，令f′（x）=0，解得x=0或x=2，因为当x＜0或x＞2时f′（x）＜0，当0＜x＜2时f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（﹣∞，0），（2，+∞），所以当x=0时取得极小值f（0）=0，故答案为：0．16.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中,则的最小值为

.参考答案：略17.命题?x∈R，x2﹣x+3＞0的否定是．参考答案：?x∈R，x2﹣x+3≤0【考点】命题的否定；特称命题．【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定【解答】解：原命题为：?x∈R，x2﹣x+3＞0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：?x∈R，x2﹣x+3≤0故答案为：?x∈R，x2﹣x+3≤0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知椭圆（a＞b＞0），A（2，0）是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且=0，|=2||．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P、Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，且∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数λ，使得=λ，若存在，请求出λ的最大值，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出△AOC是等腰直角三角形，C（1，1），由点C在椭圆上，得，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）对于椭圆上两点P，Q，由∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，知PC与CQ所在直线关于x=1对称，kPC=k，则kCQ=﹣k，PC的直线方程为y=k（x﹣1）+1，QC的直线方程为y=﹣k（x﹣1）+1，由此求出PQ∥AB，从而得到存在实数λ，使得=λ，求出||的最大值，即可得出结论．【解答】解：（I）∵=0，∴∠ACB=90°，又|=2||，即||=2||，∴△AOC是等腰直角三角形

…∵A（2，0），∴C（1，1），而点C在椭圆上，∴∴b2=，∴所求椭圆方程为；

…（II）对于椭圆上两点P，Q，∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于x=1对称，kPC=k，则kCQ=﹣k，…∵C（1，1），∴PC的直线方程为y=k（x﹣1）+1，①QC的直线方程为y=﹣k（x﹣1）+1，②将①代入得（1+3k2）x2﹣6k（k﹣1）x+3k2﹣6k﹣1=0，③∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程③的一个根，∴xP=…以﹣k替换k，得到xQ=．∴kPQ==∵∠ACB=90°，A（2，0），C（1，1），弦BC过椭圆的中心O，∴A（2，0），B（﹣1，﹣1），∴kAB=，∴kPQ=kAB，∴PQ∥AB，∴存在实数λ，使得=λ

…||==≤当时即k=±时取等号，又||=，λmax==

…19.在△ABC中，a=3，c=2，B=150°，求边b的长及S△ABC．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分为8分）解：在△ABC中，∵a=3，c=2，B=150°，∴b2=a2+c2﹣2accosB=（3）2+22﹣2?3?2?（﹣）=49．∴解得：b=7，∴S△ABC=acsinB=×3×2×=．20.（14分）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*）（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4；（2）猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．参考答案：21.已知关于x的二次函数.(I)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数在区间上是增函数的概率；(II)设点(a，b)是区域内的一点，求函数在区间上是增函数的概率．参考答案：(1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a.(2分)若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1或1；若a＝3，则b＝－1或1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分)∴所求事件的概率为＝.(6分)(2)由(1)，知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分)依条件可知事件的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分．由得交点坐标为，(10分)∴所求事件的概率为P＝＝.(12分)22.(1)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)，①当x、y为何值时，a与b共线？②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．(2)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角．参考答案：(1)①∵a与b共线，∴存在非零实数λ使得a＝λb，∴?②由