北京北大附属实验学校2022高三数学理期末试题含解析

北京北大附属实验学校2022高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C2.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（

）A．(－1,0)

B．(－1,+∞)

C．(－2,0)

D．(－2,－1)

参考答案：A3.已知，则函数在区间(1，2)上存在一个零点的概率为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略4.已知函数的图象如图所示，，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B略5.函数f（x）=lnx+ex（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是（）A． B． C．（1，e） D．（e，+∞）参考答案：A考点： 二分法求方程的近似解．

专题： 函数的性质及应用．分析： 函数f（x）=lnx+ex在（0，+∞）上单调递增，因此函数f（x）最多只有一个零点．再利用函数零点存在判定定理即可判断出．解答： 解：函数f（x）=lnx+ex在（0，+∞）上单调递增，因此函数f（x）最多只有一个零点．当x→0+时，f（x）→﹣∞；又=+=﹣1＞0，∴函数f（x）=lnx+ex（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是．故选：A．点评： 本题考查了函数零点存在判定定理、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.设i为虚数单位，复数的实部为（

）A.3 B.-3 C.2 D.-2参考答案：A【分析】根据复数的运算法则及复数的概念即可求解.【详解】因为，所以复数的实部为3，故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.7.函数，在区间上任取一点，则的概率为（）．A.

B.C.

D.参考答案：A8.已知向量满足（

）参考答案：C略9.现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】甲获胜是指甲第一次抽取偶数或甲第一次抽到奇数，同时乙第一次也抽到奇数，由此能求出甲获胜的概率．【解答】解：甲获胜是指甲第一次抽取偶数或甲第一次抽到奇数，同时乙第一次也抽到奇数，∴甲获胜的概率是P==．故选：D．10.已知函数f(x)是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当时，的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程.【详解】因为，，，，，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．12.已知直线（为常数）与函数及函数的图象分别相交于两点，则两点之间的距离为_________。参考答案：13.（几何证明选做题）如图所示，圆O的直径AB=6,C为圆周上一点，BC=3,过C作圆的切线，则点A到直线的距离AD=

.参考答案：略14.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_______________.参考答案：略15.已知正数x，y满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=2x+y，化为y=﹣2x+t，数形结合求得t的最大值，进一步求得的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．令t=2x+y，化为y=﹣2x+t，由图可知，当直线y=﹣2x+t过A时，t有最大值为4．∴的最小值为．故答案为：．16.执行图2的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝＿＿＿参考答案：417.已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为_____

.参考答案：.解析：

的面积三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(12分)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝＋6x的图象关于y轴对称．

(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；（6分）(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．（6分）参考答案：21.(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①…由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得＝3x2＋2mx＋n，………………2分则g(x)＝＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以－＝0，解得m＝－3.代入①得n＝0.于是＝3x2－6x＝3x(x－2)．………4分由>0得x>2或x<0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；………………5分由<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．………6分(2)由(1)得＝3x(x－2)，令＝0得x＝0或x＝2.………………7分当x变化时，，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；

略19.（12分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），=（6，0），M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．（1）若=（2，5），求点C的坐标；（2）当||=||时，求点P的轨迹．参考答案：考点： 轨迹方程；平行向量与共线向量．专题： 综合题；平面向量及应用．分析： （1）利用向量的坐标运算、中点坐标公式、向量相等即可得出；（2）利用三点共线可得斜率关系，再利用模相等即可得出．解答： 解：（1）∵A（1，1），=（6，0），∴B（7，1），∵M是AB的中点，∴M（4，1）．∵=（2，5），∴D（3，6），∵=（6，0），∴=（6，0），∴C（9，6）（2）设点P的坐标是（x，y），D（a，b），则C（a+b，b），∵||=||，∴（a﹣1）2+（b﹣1）2=36（*）由B，D，P共线，得①，由C，P，M共线，得②由①②化简得a=3x﹣14，b=3y﹣2，代入（*）化简得（x﹣5）2+（y﹣1）2=4．点评： 本题考查了向量的坐标运算、中点坐标公式、向量相等、三点共线可得斜率关系、模相等等基础知识，考查了计算能力，属于中档题．20.（本小题满分12分）已知数列的前项和和通项满足,数列中，,.（Ⅰ）求数列,的通项公式；（Ⅱ）数列满足，求证：.参考答案：【知识点】数列求和D4（1）（2）（1）由，得当时，即（由题意可知）是公比为的等比数列，而，由，得（2），设，则由错位相减，化简得：（12分）【思路点拨】（1）由，得可求；（2））数列为差比数列，利用错位相减法求解即可.21.已知函数f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．参考答案：【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，求出右边的最小值，即可求实数b的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，即可求g（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，g（x）=﹣|x﹣1|，∴﹣|x﹣1|≤|x﹣2|+b，∴﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1，∴﹣b≤1，∴b≥﹣1…（Ⅱ）当a=1时，…（6分）可知g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减…（8分）∴g（x）max=g（1）=1．…（10分）【点评】本题考查绝对值不等式，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为，过点的直线与椭圆相交于两点（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．参考答案：解（1）由已知，所以，所以所以

……1分

又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为