2022年度山西省忻州市神华希望中学高三数学理期末试卷含解析

2022年度山西省忻州市神华希望中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以下三个命题中：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40．②线性回归直线方程=x+恒过样本中心（，）；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C考点： 命题的真假判断与应用．

专题： 概率与统计；简易逻辑．分析： ①用系统抽样，则分段的间隔为=20，即可判断出正误．②线性回归直线方程的性质即可判断出正误；③由正态分布的对称性可得：ξ在（2，3）内取值的概率=，代入计算即可判断出正误．解答： 解：①用系统抽样，则分段的间隔为=20，因此不正确．②线性回归直线方程=x+恒过样本中心（，），正确；③ξ～N（2，σ2）（σ＞0），由于ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率==0.4，正确．其中真命题的个数为2．故选：C．点评： 本题考查了简易逻辑的判定方法、概率与统计性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.已知等比数列的前n项和，且，则=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则的值为A.

B.1

C.2

D.3参考答案：B略4.已知平面向量，，且，则A．

B． C．

D．参考答案：D5.若命题：，命题：，则下列命题为真命题的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】命题及其关系A2【答案解析】D

命题：为假命题，命题：假命题，所以为真命题,故选D。【思路点拨】根据命题间的关系判断真假。6.如果复数为纯虚数，那么实数的值为（

）A．－2 B．1 C．2 D．1或－2参考答案：解析：

即，故选择答案A7.已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据指数函数，对数函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若“（）a＜（）b”，则根据指数函数的单调性的性质可知a＞b，当a，b由负值或等于0时，log2a＞log2b不成立．若log2a＞log2b，则a＞b＞0．此时“（）a＜（）b”成立．∴“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的充分不必要条件．故选：A8.已知函数的图象在点处的切线为l,若l也与函数的图象相切,则必满足（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C本題考查导数与切线问题,考查转化与化归、函数与方程的数学思想以及运算求解能力和推理论能力.由于,所以直线的方程为.因为也与函数的图象相切,令切点为,所以的方程为,因此有又因为,所以,令，，所以是上的增函数.因为，，所以.9.已知是定义在R上的函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.若变量x，y满足约束条件则的最大值是A．2

B．4

C．7

D．8参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.求值：=

．参考答案：2【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质lgM﹣lgN=lg以及lgMn=nlgM进行化简运算即可得到答案．【解答】解：=，∴=2．故答案为：2．12.设满足约束条件,则的最大值是

．参考答案：【知识点】简单线性规划．E5答案5

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示

做直线L：2x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知当直线过点A时，z最大，由可得A（2，1），即当x=2，y=1时，zmax=5．

故答案为：5【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可．13.已知矩形ABCD，AB=2，bc=1，则

．参考答案：414.若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣2，0]【考点】二次函数的性质．【分析】去绝对值原函数变成：f（x）=，由已知条件知，函数x2+ax﹣a在[1，+∞）单调递增，x2﹣ax+a在[0，1）单调递增，所以，解该不等式组即得a的取值范围【解答】解：f（x）=x2+a|x﹣1|=；要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，得﹣2≤a≤0；∴实数a的取值范围是[﹣2，0]．故答案为：[﹣2，0]15.若函数f（x）=﹣﹣ax在（0，+∞）上递增，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，2]【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；转化思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可得到结论．【解答】解：要使函数f（x）=﹣﹣ax在（0，+∞）上递增，则f′（x）≥0恒成立，即x2+﹣a≥0即，x2+≥a，当x＞0时，x2+≥2=2，当且仅当x2=时，取等号，故a≤2，故答案为：（﹣∞，2]【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键．16.曲线，直线x=1，x=e和x轴所围成的区域的面积是．参考答案：2e﹣1【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；52：导数的概念及应用．【分析】确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．【解答】解：曲线，直线x=1，x=e和x轴所围成的区域的面积S=（+2）dx=（lnx+2x）|=lne+2e﹣ln1﹣2=2e﹣1，故答案为：2e﹣1．17.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．参考答案：设三边为，则可得所对的边最大，由余弦定理得。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，,为与的交点，为棱上一点．（1）证明：平面⊥平面；(2)若平面,求三棱锥的体积.参考答案：(1)平面,平面,.………2分四边形是菱形,,…………………3分又,平面.而平面,………………5分平面⊥平面.

…………………6分（2）平面,平面平面,,……8分是中点,是中点.取中点,连结,四边形是菱形,,,又,平面,…………10分…………………11分.………………14分19.记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求；（2）若，求正数的取值.参考答案：解：（1）由，得．（II）．由，得，又，所以，所以略20.(本小题满分13分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数。

参考答案：（1）

（2）平均分为

（3）数学成绩在内的人数为人

数学成绩在外的人数为人答：（1）（2）这100名学生语文成绩的平均分为

（3）数学成绩在外的人数为人。

【解析】略21.已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围参考答案：（Ⅱ），∵函数在区间上单调递减，∴在区间上恒成立，即在上恒成立，只需2a不大于在上的最小值即可． 8分而，则当时，，∴，即，故实数a的取值范围是． 10分（Ⅲ）因图象上的点在所表示的平面区域内，即当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．由，（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．（ⅱ）当时，由，令，得或，①若，即时，在区间上，，函数在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件；