第一讲 数系的扩充与复数的引入

高二数学寒假衔接天津新东方郭保桐

2013.2.15新东方高中数学部主讲教师郭保桐

教师简介：●南开大学数学科学学院学士、硕士；●初中就读于耀华中学理科实验班，并获全国初中数学竞赛一等奖（预赛满分）；●高中就读于南开中学理科实验班，并获全国高中数学联赛二等奖（与一等奖差5分），全国中学生物理竞赛二等奖，高考物理满分；●高考以655分的成绩考入南开大学数学系（为该系在津招生第一名）并以优异成绩免试攻读硕士研究生。第一讲数系的扩充与复数的引入知识回顾对于实系数一元二次方程，当时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？一、复数的概念一、复数的概念自然数有理数整数无理数实数复数数系的扩充引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：（1）它的平方等于-1，即（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时原有的加、乘运算律仍然成立．一、复数的概念根据对虚数单位i的运算规定易知：形如的数，叫做复数．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.NZQRCNZQRC复数的表示：通常用字母z表示，即当时，z是实数a．当时，z

叫做虚数．实部虚部复数当

且时，叫做纯虚数．复数集C实数集R虚数集I例1：实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解：（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当，且，即时，复数z是纯虚数．如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即如果，那么例2：已知，其中，求解：根据复数相等的定义，得方程组所以

从复数相等的定义，我们知道，任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序的实数对(a,b)唯一确定；同时，有序的实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的。因此我们可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应。xy0Z(a,b)abz=a+bi

建立平面直角坐标系来表示复数的平面——复平面x轴——实轴y轴——虚轴复数z=a+bi↔复平面内的点Z（a，b）按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一确定的点和它对应；反过来，复平面上的每一个点，有唯一确定的复数和它对应。即复数集C和复平面内的点所组成的集合是一一对应的。xy0abz=a+bi例3：实数m取什么值时，复数对应的点（1）位于第一象限？（2）位于第四象限？1.复数加、减法的运算法则：已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.二、复数的四则运算注：复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).例1、计算(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i)2.复数的乘法法则：注：复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何z1,z2,z3∈C,有例2.计算(－2－i)(3－2i)(－1+3i)3.复数的除法法则分母实数化例3.计算解:设z=a+bi(a,b∈R),那么定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z=a+bi的共轭复数记作不难证明:设z1=a+bi

z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)ixOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)这就是复数加法的几何意义类似地,复数减法:Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZOZ1-OZ2这就是复数减法的几何意义习题课1.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1,x2,求x14+x24的值.解:注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.2.已知复数是的共轭复数，求x的值．

解：因为