椭圆双曲线抛物线典型例题

12121212122M12121212122M椭圆典型例题一已椭焦点位，求圆标方程例1已知椭圆的焦点是(0，－1)、，P是圆上一点，并且PF＋＝2，求椭圆的标准方程。解：由PF＋＝FF＝22，得2＝又c1所以b2所以椭圆标准方程＋＝43

＝2已知椭圆的两个焦为F(－1,0)(1,0)，2＝10求椭圆的标准方程．xy解：由椭圆定义＝1＝5－1＝24.∴椭圆的标准程为＋＝1.2524二未椭焦点位，求圆标方程例椭的一个点为2倍求椭圆的标准方程．解）当A，bx椭圆的标准方程：；41（）当Ax椭圆的标准方程：；416

，

4

，三椭的点位由它方间给，求圆标准程例．求过点(－3,2)与椭圆＋＝1有同焦点的椭圆的标准程．949解：因为c＝9＝5所以设所求椭圆的标准方为＋＝1.由点(－3,2)椭圆上知＋－5a4＝1所以－5

x＝15.所以所求椭圆的标准方程＋＝1.1510四与线结合问，求圆标方程例已中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线

交于、B两点，M为AB点，OM的斜率0.25，椭圆的短轴长为，求椭的方程．解由意，设圆方程为

xa

y

，y由y2

，得

2

a2

，∴

xx2

，

MM

11

2

，11kaM

，∴

a

，∴

x4

为所求．五求圆离心问。例1一个圆的焦点将其准线间距离三等分，求椭圆的离心率．解

a21c

∴

3

，∴

e

3

．xx△221xx△221k例2已知圆

xyk9

的离心率

，求

k

的值．解当椭圆的焦在x轴上时，

2，得

．e

，得k．当椭圆的焦点在

轴上时，

a，b，得

．由

1，得2

，即

54

．∴满足条件的

54

．六由圆的三形长、积关问题例：若ABC的两个顶点坐标A－4,0)，B(4,0)，△的长为，顶C的迹方程。解顶点到两个定点B距离之和为值10且大于两点间的离，因此点C轨迹为椭，并且＝10所以＝c8所以＝，所以b

＝a

c

＝9顶点C轨迹方为＋＝1.C三点构成25三角形≠所以顶点的轨迹方程为＋＝1(y≠答案：25925

＋9

＝1(y≠2．已知椭圆的标准方是a

＋＝1(，它的两焦点分是25

FF，且

FF＝弦

AB

过点

F，求△ABF

的周长．4a43设F、是椭圆＋＝1的两焦点，是圆上的点，PF∶＝∶，eq\o\ac(△,求)F的19面积．11F的面积为PFPF＝×2×4七直与圆的置题例已椭圆

x2

y

，求过点

，

P

平分的弦所在的线方程．解一设求线的斜率为

k

，则直线方程为

11y椭圆方程，并整理得221232

．由韦达定理得

x2

2k2k1k

．∵

是弦中点，∴

x12

．故得

．所以所求直线方为

2xy

．解二设

，线与椭圆交于

A12

2

得22，22，①－②得

x2y2

．⑤y1将③、④代入⑤12，即直线的斜率为．x2212所求直线方程为．八、椭圆中的最问题x例椭圆的右点为1612

F

，过点

，点

M

在椭圆上，当

MF

为最小值时，求点

M

的坐标．解由知：

，

c

．所以

，右准线

l：

．过A作l足为椭圆于MMF然AMMF的最小值为AQ，即M为所求点，因此3，在椭圆上．故x．以M23，．M双曲线典型例题一根方的特判圆锥线类。例1讨论

xy225

表示何种圆锥曲，它们有何共同特征．解当时25，

所给方程表椭圆此

a

，b

，

2

22（）当

，这些椭圆有共的焦点（，09时，所给方程表示曲线，此时，

a

，b

c

，这些双曲线也共同的焦点（－，（）k，，k25时所给方程没轨迹．二、根据知条件求双线的标准程。例2根据下列条，求双曲线的标准方程．（1）过点

16坐标轴上．4（2）c6，经点（－52点在轴上．x（3）与双曲线有同点，且经过点164解）设双曲线方程为

xmn∵

、

Q

两点在双曲线上22516∴解256nmn∴所求双曲线方为

216说明：采取以上巧设”可以避免分两种情况讨，得“巧求”的目的．（）∵焦点在x轴上，

，2，PF2Fc2，PF2Fc∴设所求双曲线程为：

x

（其中

）∵双曲线经过点，

254∴

或

（舍去）∴所求双曲线方是

x5

说明：以上简单行的方法给我们以明快、简捷感觉．x（）设所求双曲线方程为：016418∵双曲线过点，16

∴

4或

（舍）∴所求双曲线方为

x12三求双线有的度问。例已曲线

x916

的焦分别为、F，点在双曲线上的左支上12PFPF32，的小12解∵在双曲线的左支∴

PFPF2∴

PF

PFPF36∴∵

PFPF1002122∴FPF（2题目的“点

在双曲线的左支”这个条件非常关键，应引起们的重视，若将这一条件改为“点

在双曲线上”结如何改变呢请读者试探索．四、求与曲线有的三形的面积题。例4已

F1

、

F2

是双曲线

x24

的两个焦点，点

P

在双曲线上且满

90

，求PF的面积．12分：用双曲线的定义及

1

中的勾股定理可

PF12

的面积．解∵

为双曲线

x4

上的一个点且

F、F12

为焦点．∴∵

PFa1F

,

21∴在F中PFPF11∵PFPF21

FF20PFPF16∴

20PFPF222222222222222∴∴

PF21PFPF2五、根据曲线的义求标准方程例5已知两点的的轨迹．1解根双曲线义，可知所求点的轨迹是双曲．∵ca∴

b

x∴所求方程为点轨迹方程，且轨迹是双曲线．916例

是双曲线

xy26436

上一点，

F、1

是双曲线的两个点且

PF

求

PF

的值．解在曲线

x2y中，b，10．6436由

是双曲线上一点得

PFPF162

．∴

2

或

332

．又

PF，PF

．六求圆关的曲方程例6求下列动圆心M的轨迹方程：（1）与⊙切，且过点

A（2）与⊙：2：212（3）与⊙y外，且与⊙C内切．12解设圆M的径为r（）∵⊙C与内切，点A在⊙外1∴

MCr

，

，

MAMC

∴点M的迹是以C为焦点的双曲线的左，且有：2a，2∴双曲线方程为

，2x

7b222yx7（）∵⊙M与⊙、都外切12∴MC，MC，1∴点a

M的迹是以、为焦的双曲线的上支，且有：213，，b224∴所求的双曲线方程为：（）M与⊙C外，与⊙C内切12∴r，MC，MCMC∴点M的迹是以、C为点的双曲线的右支，且有：1a，，b22221121221121∴所求双曲线方为：抛物线典型例题一求物的标方。例1指出物线的焦点坐标、准方程．（）

y（）xa解）p

，∴焦点坐标是0线程是：

（）原抛物线方程为：

1a

，2p

1a①当

时，

p12a

，抛物线开口向，∴焦点坐标是

1(，准线程是：4a

．p1②当a时，，物线开口向左，24a∴焦点坐标是

(

1，线方程是：x4aa

．综合上述，当0时抛物线的焦点坐标二求线抛物相合的题

(

11,0)，准线方程是：x．4a4a例若直线

kx

与抛物线

x

交于两，且AB中点的横坐标，求此直线方程．解一设

A(x,)、B(x)11

，则由：

2x

可得：

2

(4x

．∵直线与抛物线交0且，则

．∵中横坐标为

4122k2

，解得：k或k

（舍去故所求直线方程：

．解二设A(x,)、B(x)，则有xx．11112y两式作差解：(y)())，即2．xyy1212x4kxx)4k1212128k故或k舍去4

，则所求直线方程：

．三求线的参问例（）设抛物线

4

被直线

截得的弦长为3，求值（）以（）中的弦为底边以x轴的点为点作三角形，当三角形的面积，求P点坐标．解）由得

222(x)x)5(1122212121222(x)x)5(11222121212设直线与抛物线于(y)1(12)12

与B(y)两．则有：xx21212

k245,)35

，即

k（）S

，底边长为，三角形高

655∵点P在x轴，∴设P点坐标是

(,0)0则点P到直

的距离就等于h，即

2x022

65x

或

，即所求P坐标是（，）或（，0四、与抛物线有的最值问题例定长为的线段

的端点

、

在抛物线

上移动，求

的中点到

轴的距离的最小值，并求出时

中点的坐标．解如图，设

F

是

的焦点，

、

两点到准线的垂分别是

、

BD

，又

M

到准线的垂线为

MN

，

、

D

和

是垂足，则113MN()(AFBF)22

．设

M

点的横坐标为

x

，纵坐标为

，

MNx

1315，则x444

．等式成立的条件

过点

F

．当

5时，y44

，故()12

2

y1

2

1y1

，y，y．12所以

5(,4

)

，此时

M

到

5轴的距离的最小为．4例

已知点

M(3,2)，F为物线

2x

的焦点点在该抛物线上移动PM取最小值时，点

的坐标_________．解如，由定义知PF，PMPFPMMEMN

．取等号时，

M

、

、

三点共线，∴

点纵坐标为，代入方程求出其横坐标为，所以P点标为,

．椭圆典型例题一已椭焦点位，求圆标方程例1已知椭圆的焦点是(0，－1)、，P是圆上一点，并且PF＋＝2，求椭圆的标准方程。二未椭焦点位，求圆标方程x32x32例椭的一个点为

A

，其长轴长是短长的倍，求椭圆的标准程．三椭的点位由它方间给，求圆标准程例．求过点(－3,2)与椭圆＋＝1有同焦点的椭圆的标准程．94四与线结合问，求圆标方程例已中心在原点，焦点在

x

轴上的椭圆与直

交于

、

两点，

M

为

中点，

的斜率为，圆的短轴长为2求椭圆的方程．五求圆离心问。例一椭圆的焦点将其准间的距离三等分，求椭圆的离心率．六由圆的三形长、积关问题例：若ABC的两个顶点坐标A－4,0)，B(4,0)，△的长为，顶C的迹方程。2．已知椭圆的标准方是＋＝a>5)它的两点分别是a的周长．

FF，且FF＝8弦过F，求

3设F、是椭圆＋＝1的两焦点，是圆上的点，PF∶＝∶，eq\o\ac(△,求)F的19面积．七直与圆的置题例已椭圆

x2

y

，过点，P平的弦所在的直线方程．八椭中最值题x例椭圆的右点为1612

F

，过点

，点

M

在椭圆上，当

MF

为最小值时，求点M的标．双曲线典型例题一根方的特判圆锥线类。例1讨论

xy225

表示何种圆锥曲，它们有何共同特征．二、根据知条件求双线的标准程。例2根据下列条，求双曲线的标准方程．（1）过点

16坐标轴上．4（2）c6，经点（－52点在轴上．x（3）与双曲线有同点，且经过点164三求双线有的度问。例已曲线

x916

的焦分别为、F，点在双曲线上的左支上12PFPF32题目“

，求FPF的小．1在双曲线的左支上个件非常关键应引起们的重视若将这一条改点

在双曲线上”结如何改变呢四、求与曲线有的三形的面积题。例4