【套路汇总】高考数学所有题型解题套路总结

1 9年高考数学复习宝典目录目录一、1 9年高考数学全部知识点整理+经典例题详细解析高中数学必修一、高中数学必修二、高中数学必修三、高中数学必修四、高中数学必修五、高中数学选修高中数学选修二、【内部资料】2 -1 9高考数学模拟压轴大题总结+详细解析《《1 9年高考数学总复习系列》——高中数学必修一第一章、集合一、基础知识（理解去记）定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A属于，否则称不属于。例如，通常用，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。定义2子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集记为例如A是B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。便于理解： 包含两个意思：①A与B相等、②A是B的真子集定义3交集，定义4并集，定义5补集，若 称为A在I中的补集。定义6集合 记作开区间 ，集合记作闭区间 ，R记作定义7空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。补充知识点 对集合中元素三大性质的理解集合中的元素，必须是确定的．对于集合和元素，要么，要么，二者必居其一．比所有大于0的数”较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合．对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由，组成一个集合则的取值不能是或集合中的元素的次序无先后之分．如：由 组成一个集合，也可以写成 组成一个集合，它们都表示同一个集合．帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题的区别． 的一个元素，而是含有一个元素 的集合，二者的关系是．的区别． 是含有元素的集合．（在用列举法表示集合时一定不能犯实数集或来表示实数集 大括号”已包含了“所有”的意思．用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：集合中的元素是 的解集，或者理解为曲线上的点组成的点集；集合中自变量的取值范围；集合中的元素是中函数值的取值范围；集合中的元素只有一个（方程），它是用列举法表示的单元素集合．（4）常见题型方法：当集合中有n个元素时，有个子集，有个真子集，有个非空真子集。二、基础例题（必会）例1，，求 ．正解：，，，，．解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素），均是y，所以要求出两个集合中y的范围再求交集，A中的y范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合．例2，，且，试求实数．正解：∵A∩B=，解得 或 ．当1 时，与元素的互异性矛盾，故舍去；当时，，此时，这与矛盾，故又舍去；当时，，，此时满足题意，故为所求．解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：①确定性②互异性③无序性三、趋近高考（必懂）0 年江苏高考设集合=-,,}={2,4,A∩={}则实数_ __方法：将集合B两个表达式都等于.0 .湖北卷.设集合A= = ,则A∩B的子集的个数（ ）A.4 B.3 C.2 1方法：注意研究元素，是点的形式存在，A是椭圆，B是指数函数，有数形结合方法，交于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是【答案】A集合穿针转化引线（最新）一、集合与常用逻辑用语，则是的（ ）．（A）充分条件 （B）必要条件解析：∵ 或 ，∴．∵，即或，∴．由集合关系知：，而．∴是的充分条件，但不是必要条件．故选（Ａ）．若 ，则“ ”是“表示双曲线”的（ ）．（A）充分条件 （B）必要条件解析：方程表示双曲线或．故选（A）．二、集合与函数已知集合 ，那么 等于（ ）．（D）解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P中的y的取值范围，故P集合的实质是函数Q的定义域从而易知，选（D）．或（Ｃ）．三、集合与方程，且 ，求实数p的取值范围．解析：集合A的解集，则由，可得两种情况：①，则由，得 ；②方程无正实根，因为，则有 ．综上，实数p．四、集合与不等式，若，求实数m的取值范围．解析：由不等式恒成立，可得 ， （※），即 时，（※，显然不符合题意．（）当时，欲使（※）式对任意x均成立，必需满足即解得 ．集合B的解集，可求得 ，结合数轴，只要即可，解得 ．五、集合与解析几何例6和，如果，求实数m的取值范围．解析：从代表元素看，这两个集合均为点集，又及是两个曲线方程，故的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为：“抛物线与线段有公共点，求实数m的取值范围．”由 ，得， ①∵，∴首先，由，得或．当3及知，方程①只有负根，不符合要求；当时，由及知，方程①有两个互为倒数的正根，故必有一第二章、函数根在区间内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内．综上，所求．第二章、函数一、基础知识（理解去记）定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则fA中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A→B为一个映射。定义2函数，映射f:A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A,B，且f(x)=x对应B中的y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函-1的定义域为{x|x≥x∈定义3反函数，若函数f:A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射fA→B叫原函数的反(函数，通常写作=f-()这里求反函数的过程是在解析式=f(x)中反解x得x=f-()，然后将x,y互(换得=f-(x)最后指出反函数的定义域即原函数的值域例如函数= 的反函数是1-

x补充知识点：定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义4函数的性质。f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1<x2，总有f(x1)<f(x2)(f(x¬)>f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。x(x+T)=f(x)f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义5如果实数x|x<x∈叫做开区间，记作（a,x|x≤x∈记作闭区间[x|x≤x|x<记作半闭半开区间[b)，集合{x|x>记作开区间（a,+∞），集合{x|x≤记作半开半闭区间（-∞,定义6函数的图象点集(x,)|=f(,)x∈}称为函数=f(x)的图象其中D为f(x)的定义域通过画图不难得出函数=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(,0)；a个单位得到y=f(x-a)的图象；a个单位得到y=f(x+a)的图象；b个单位得到y=b的图象；y=x)的图象关于y轴对称；y=-f-(x)的图象关于原点成中心对称；同增异减y=f-1(x)的图象关于直线y=xy=-f(x)的图象关于x轴对称。同增异减定理3复合函数=f[()

的单调性，记住四个字：“

”例如= ,2-x-,上是减函数，y= 在（0，+∞）上是减函数，所以y= 在（-∞,注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。一、基础知识（初中知识必会）0+c或f(x)=+c称为关于x，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中，下同。二次函数的性质当0时f(x)的图象开口向上在区-x]上随自变量x增大函数值减（简称递减），在[x,）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当0时，情况相反。．当0时，方程f(x)0即x+x+0…①和不等式x+x+0…②及x+x+0…③与函数f(x)的关系如下（记△=-c）。）当△0时，方程①有两个不等实根，设x,x(x<x)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x}和{x|x<x<x}二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点f(x)还可写成f(x)=(x-x)x-x)当△0时方程①有两个相等的实根x=x=x=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R.f(x)图象与x轴无公共点。当时，请读者自己分析。x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[上的二次函数f(x)=[时，f(x)在[上的最小值为f(x0);当(x)在[上的最小值为n(x)在[上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义1能判断真假的语句叫命题，如“5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。一定注意：“p或复合命题只有当同为假命题时为假，否则为真命题；“p且复合命题只有当同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非即“恰好一真一假。定义2原命题：若p则为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则若非q则非一定注意：原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意：反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3如果命题“若p则为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则中，如果已知p则p是q的充分条件；如果qpp是q的必要条件；如果pq但q不p是q的充分pq但pqp称为qpq且qpp是q的充要条件。二、基础例题（必懂）例（9.江西） 求方程|x|

的正根的个数. y1【解】分别画出|x-|和= 的图象由图象可知两者有 唯一交点，所以方程有一个正根。 1 x例2（0 .广西模拟）求函数f(x)=的最大值。【解】 f(x)= ，记点P(x,x则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为|A|-|A|≤|B| 立。所以f(x)x=函数性质的应用。

,当且仅当P为延长线与抛物线y=x2的交点时等号成例3（0、全国）设x,∈，且满足 ，求x+.【解】 设f(t)=t+7 t，先证f(t)在（-，+）上递增。事实上，若<，则f()-f()=-+7 (-)=(-)(+a++7 )>所以f(t)递增。由题设f(x-)=-=f(-)，所以x-1-，所以x+=.例4奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<a的取值范围。【解】 因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)<f(a2-1)。又-a<，解得。例5设2Z,用Ik，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。【解】 设x∈I，则-<x≤1，所以f(x-)=(x-).又因为f(x)是以2为周期的函数，所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.例6全国）)+(x-)(+1)=【解】 令3x-,=x-，方程化为( 1)+( 1)0. ①若0，则由①得0，但,n不同时为，所以m0,.ⅰ)若0，则由①得0，设f(t)=t( 1,)则f(t)在（，+）上是增函数。又f()=()，所以=-，所以x-2x-0，所以x=ⅱ)若，且。同理有,x= ,但与矛盾。综上，方程有唯一实数解x=配方法。例7（经典例题）求函数y=x+ 的值域。1【解】 =x+ = [x2 ]11= ( - .当x=- 时，y取最小值- +2)例+2)

，+∞）。1,)x∈[,]的值域。【解令 + u因为x∈[,]所以≤2 ≤,所以 ≤≤,所以 ≤≤≤≤

，所以= ,∈[ 2，]。所以该函数值域为[+ ，]。例9求函数y=的值域。【解】由函数解析式得(-)x3(1)x4-0.①当1时，①式是关于x的方程有实根。(y-1)2≥≤又当时，存在使解析式成立，所以函数值域为[。例00年宁夏若函数=f(x)定义域值域均为且存在反函数若f(x)在(-,+)上递增求证：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函数。【证明】设x<x,且=f-(x,)

=f-(x)，则x=f(,)

x2=f(y2)，若f(x)在-(+∞)上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以即y=f-1(x)在(-∞,+∞)递增。例1 （经典例题）设函数f(x)= ，解方程：f(x)=f-()【解】首先f(x)定义域为（-∞，- [- x1,x2是定义域内变量，且x1<x2<- ;=所以f(=所以f(x)在（-∞，- ）上递增，同理f(，+∞）上递增。在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y≥f-1(x)=y得f(y)=x≥所以x,y∈∞）.y若xy

，设x<y，则f(x)=y<f(y)=x，矛盾。同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化简得x2x-x-0,即(x-)x5x5x5x1)0,因为x≥，所以.例1经典例题）设方程x-x0 的两根是αβ求满足f(α)=β,f(β)=α,f()1的二次函数f()【解】 设f(x)=x+x+(,)则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）+1]0，因为方程x-x+0 中△，所以α β，所以(α+β)+0 .又α+β1,所以+0 .又因为f()=++1，所以-1，所以2.又(-1)，所以f(x)=x-1)x2.再由f(α)=β得α-1)α= β,所以α-α= α+β1，所以α-α0 .即(α-α1)1-0,即-0，所以1,所以f(x)=.例2（0.全国）已知f(x)=x-c满足-≤f()≤-,【解】 因为-4≤f(1)=所以-f(1)=f(2)≤f(3)的取值范围。又-≤f()4-≤,f()= f() f(,)所以 ()+ ≤f()≤ ×+ ×,f(3)≤.例3（经典例题）已知二次函数f(x)=x+x+(,,∈,)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。f(x)=xg(x)=x图象与x对任意的x∈f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。注：请读者思考例3的逆命题是否正确。0．利用二次函数表达式解题。例4（经典例题）设二次函数f(x)=x+x+(>)，方程f(x)=x的两根x,x2满足<x<x<,（Ⅰ）当x∈(,x)时，求证：x<f(x)<x；（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0<【证明】因为x1,x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（Ⅰ）当x∈(,x)时，x-x0,x-x0,0，所以f(x)>x.其次f()x=(x-x)

(x-x)1]=(x-x)

x-x+ ]0，所以f(x)<x.综上，x<f(x)<x1.（Ⅱ）f(x)=(x-x)x-x)+x=x+[-(x+x)

x+xx,所以x0= ,所以 ，所以1．构造二次函数解题。例5（经典例题）已知关于x的方程(x1)=(-x,)【证明】 方程化为x2x1-0.构造f(x)2x2x1-,f()=(+)>,f(-)=(-)>,f()=-<,即△>，所以f(x)在区间（-1,即方程的正根比1小，负根比-1大。2．定义在区间上的二次函数的最值。

1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。例6（经典例题）当x取何值时，函数y= 取最小值？求出这个最小值。【解】1- ,令 ,则u≤。u-5 ,且当 即x=3时，i= .例7设变量x满足x+x≤-x(<-)，并且x+x的最小值是，求b的值。【解】 由x+x≤-x(<-)，得≤x≤-(+).ⅰ

≤(-1)，即≤-2时，x+x的最小值为- ，所以2，所以 （舍去）。ⅱ)- >-(+)，即>-2时，x+x在[，-(+)]上是减函数，所以x+x的最小值为+,+=-,=-.综上，=-.3.一元二次不等式问题的解法。例8（经典例题）已知不等式组 ①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。【解】 因为方程的两根为-a,若①的解集为-a，由②得因为所以不等式组无解。若>，ⅰ）当<< 时，x<x,①的解集为<x<-.因为<<x1-1，所以不等式组无整数解。ⅱ）当= 时，1-，①无解。ⅲ）当-a，由②得所以不等式组的解集为x<又不等式组的整数解恰有2个，所以(--)1且(--)≤，所以<≤，并且当<≤2时，不等式组恰有两个整数解，。综上，a的取值范围是<≤.4．充分性与必要性。例9（经典例题）设定数A，B，C使得不等式y-x)+C(z-x()z-y)≥0 ①对一切实数x,y,z应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件）【解】 充要条件为A，B，≥0且A+B+≤(B+C+A)先证必要性，①可改写为A(x--B-A-)-)x-)+(-)≥0 ②若A0则由②对一切x,,∈R成立则只有B=再由①知B=0若A则因为②恒成立所以A>，△=(B-A-)(-)-C(-)≤0恒成立，所以(B-A-)-C≤，即A+B+≤(B+C+A)同理有B≥再证充分性，若A≥，B≥，≥0且A+B+≤(B+C+A)，）若A0，则由B+≤C得(B-)≤，所以B=，所以△0，所以②成立，①成立。，则由③知△≤综上，充分性得证。5．常用结论。定理1若,∈,||-||≤|+|≤|| |.——绝对值不等式【证明】 因为-||≤≤|-,||≤≤||，所(-|| |)≤+≤|| |,所以|+|≤|| |（注：若0，则-≤x≤m等价于|x|≤）.又|| +-|≤|+| -|,即|-|≤|.综上定理1得证。定理2若则；若x,R+,则x+y≥(证略)注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。第三章、基本初等函数第三章、基本初等函数一、基础知识（必会）,当1时，y=是减函数，当1时，y=。对数函数及其性质形如l x(>,a )的函数叫做对数函数其定义域+值域为，图象过定点（，）。当<1，l．对数的性质（0,>）；

x为减函数，当1时，l为增函数。）x=M xll

¬¬()l

¬al

¬al

¬（ ）l

¬al

¬a；l

¬a=l

¬aM（万能恒等式）l

¬a =

l

¬a；）l

¬aM;l

¬a= (,,0,,).函数=x+ （0）的单调递增区间是 和 ，单调递减区间为 和 。（请同学自己用定义证明）f(x)在[f(a)·，则根。二、基础例题（必懂）例1已知,,∈(,)，求证：b+cc0 .【证明】设f(x)=(+)x+c1(x∈(,)，则f(x)是关于x的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证()0且f()0（因为-<1）.因为f(-)=-(+)+c+=(-)(-)>，f()=++c+=(+)+)0，所以f()>，即b+cc+0.例2（柯西不等式）若…,是不全为0…,（ ）≥( )2，等号当且仅当存在 R，使,i=…,n时成立。)【证明】 令f(x)=（ )因为 0，且对任意x∈,f(x)≥，

x+ = ,所以△4( ) （ ）( )≤.展开得（ ）( )≥( )等号成立等价于f(x)0有实根，即存在 ，使¬=,1,,…,。* 做题。例（0.全国卷） 设x,∈+,x+=,c为常数且∈(,]，求=的最小值。【解】= =y+ ≥y+ 2·=y+ 2.令y=t，则<t=y≤ ,设f(t)=t+,<t≤因为≤f(t)在 上单调递减。所以f(t)i=f()=+，所以≥ + 2.当x== 时，等号成立.所以u的最小值为 + 2.2．指数和对数的运算技巧。例4（经典例题）设,∈+且满l

l

2l

6(+)，求 的值。所以9t所以9t2 6 t，即+t记x=，则+x=x，解得又 0所以 =

l

2l

6(+)=t，则9t,2 t,+6t，例5（经典例题）对于正整数,,(≤≤)和实数x,,,，若x==0，且 ，【证明】 由x==0w取常用对数l

y

z

=l

0.所以l

=l0,

l

=l0,

l

=l0，相加得 (l

l

l)=

l0，由题设 ，所l

l

l

l0，所l

l0.所以c2 ××.若=，则因l

=l

0，所以0与题设矛盾，所以1.又≤≤，且,,c为0的正约数，所以只有2,5,7.所以例6（经典例题）已知x,c,,.l

xl

xl

x，求证=(cl .【证明】 由题l

xl

xl

bx，化为以a为底的对数，得因为c0,c ，所l

，l

c，所以=(cl .注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3．指数与对数方程的解法。知数范围的讨论。例7（经典例题）解方程：3x+4x+5x=6x.【解】 方程可化为 =f(x)= ,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=x=例8（经典例题）解方程组： （其中x,y∈R+）.【解】 两边取对数，则原方程组可化为 ①②把①代入②得(x+)l

=l

，所以[(x+)-l

=l

=0得x=，由(x+)-0(x,∈+)得x+=，代入①l

=l

，即x=，所以+-0.又y>y=x=所以方程组的解为 .222例9已知0,a ，试求使方l

(x-k)l

a(x-a)有解的k的取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解x应满足 .①②③若①、②同时成立，则③必成立，故只需解 .由①可得k

=(+)， ④当0时，④无解；当0时，④的解是x= ，代入②得 >.若0，则1，所以<-；若0，则1，所以<1.综上，当(-∞,∪1)时，原方程有解。年高考数学总复习系列》——高中数学必修二立体几何初步一、基础知识（理解去记）（一）空间几何体的结构特征由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征棱柱1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的 关系：① ②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底 面 直平行六面体底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体3棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。补充知识点 长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平 方和；【如图】②（了解）长方体的一条对角线与过顶点A的三条棱 所成的角分别是，那么，；③（了解）长方体的一条对角线与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是，则，.4侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.5（其中c为底面周长，h为棱柱的高）注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻意地去记圆柱1圆柱——余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2轴的截面（轴截面）是全等的矩形.3母线长为邻边的矩形.4面积、体积公式：S圆柱侧=；S圆柱全=，V圆柱=S底=（其中r为底面半径，h为圆柱高）棱锥.1棱锥——有一个面是多边形其余各 面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。是正多边心，这样正棱锥——是正多边心，这样①平行于底面的截面是与底面相似的正相似比等于顶点到截面的距离与顶点到多边形，底面的距2①平行于底面的截面是与底面相似的正相似比等于顶点到截面的距离与顶点到多边形，底面的距离之比；②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图： 为直角三角形）成四个直角三角形。）（如上图： 为直角三角形）3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。4面积、体积公式：S正棱锥侧= ，S正棱锥全= ，V棱锥= .（其中c为底面周长，侧面斜高，h棱锥的高）圆锥1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。2圆锥的性质：顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；②②轴截面是等腰三角形；如右图：③如右图：.3以母线长为半径的扇形。4面积、体积公式：S圆锥侧= 圆锥全= 圆锥=中r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）棱台1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱 截面与底面之间的部分称为棱台.2正棱台的性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是 正多边形；③都是直角梯 形④棱台经常补成棱锥研究.如右图：，注意考虑相似比.3侧 ，，（其中 是上，下 底面面积，h为棱台的高）圆台1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分叫做圆台.2圆台的性质：①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；②圆台的轴截面是等腰梯形；③圆台经常补成圆锥来研究。如右图：，注意相似比的应用.3圆台的侧面展开图是一个扇环；4，V，（其中r，R为上下底面半径，h为高）球1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；2球的性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；②（其中，球心到截面的距离为球的半径为R、截面的半径为r）3球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.4球面积、体积公式： （其中R为球的半径）（二）空间几何体的三视图与直观图根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只需了解即可投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。直观图：1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。2斜二测法：tt

：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取 ）；：画直观图时，把它画成对应的轴，取，它们确定的平面表示水平平面；s ：在坐标系 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 倍.在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 倍.解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。二 点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质平面——无限延展，无边界1三个定理与三个推论公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.图形语言： 符号语言：公理2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言：推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：用途：用于确定平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.图形语言： 符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：（二）空间图形的位置关系等角定理：异面直线：平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：等角定理：异面直线：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；异面直线所成的角：图形语言：符号语言：异面直线所成的角：常把一条异上，形成异（）范围：；（2）作异面直线所成的角：平移法.O则所 角为常把一条异上，形成异异面直线面直线所成的角.直线与平面的位置关系：图形语言：平面与平面的位置关系：（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）线面平行：②判定定理③性质定理②判定定理③性质定理：（线线平行 线面平行）【如图】：（线面平行 线线平行）【如图】④判定或证明线面平行的依据定义反证用于判断ii判定定理：“面面平行 线面平“线线平行 面面平行”（用于证明）ii）“面面平行 线面平行行”（用于判断）；线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则 平面的于是在平面 就是直线与平面 所成的角。范围与平面 所成的角为 与平面所成的角。面面平行：①定义：；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：【如下图①】图① 图②推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述： 【如上图②】判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：.【如右图】理及推论（常2④面面平行的性质） 面面平行线 面平行）；（面面平行线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意都有，且，则.②判定定理：（线线垂直 线面垂直）③性质：（）（线面垂直 ；（较（面面垂直 线面垂直）常用；⑤三垂线定理及逆定理：（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线 段 中 ，（）斜线相等射影相等；（）斜线越长射影 越长；（3）垂线段最短。【如图】； II三垂线定理及逆定理已知斜线A在平面 内的射影为A，，①若 ，则 ——垂直斜线，此为三垂线定理；②若则——线定理的逆定理；三垂线定理及逆定理的主要应用证明异面直线垂直（） 作证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】范围：法.3面面垂直（）定义：若二面角的平面角为，则；个平面互相垂直.（线面垂直面面垂直）（3）性质：①若，二面角的一个平面角为，则；②（面面垂直线面垂直）；③.④二、基础题型（必懂）（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提必须找出反例。（3）相关例题：课本和辅导书上出现很多这样的题型，举例说明如下：例：（09年北京卷）设是三个不同的平面，给出下列四个说法：①；②；③④ ，说法正确的序号是： _2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。平行与垂直关系可互相平行与垂直关系可互相平行关系垂直关系平面几何知识平面几何知识线线平行线线垂直线面平行面面平行线面垂直面面垂直判定性质性质判定推论判定性质面面垂直定义判定判定三、趋近高考（必懂）.0全国卷2理已知正四棱锥中那么当该棱锥的体积最大时它的高为（A）1 【答案】C【解析】设底面边长为所以体积，设y取最值时， 或此时，故选.（0陕西文若某空间几何体的三视图如图所示则该几何体的 体积是[B]（A）2 （B）1（）（）【答案】B【解析】如图，该立体图形为直三棱柱，所以其体积为是球表上点，，，，，则球的表面积等于（A）（B）（）（D）【答案】A【解析】选A.的直径为， 表面积是（A）2 （B）0（）2 （）0【答案】B下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。重庆文）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个 （B）恰有3个（C）恰有4个 （D）有无穷多个【答案】D【解析】放在正方体中研究,、的中点到两垂直异面直线的距离都相等，所以排除A、B、C，选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线的距离相等.（0 浙江文）若某几何体的三视图（单位c何体的体积是（A） c3（B）（）【答案】B

）如图所示，则此几【解析】选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题福建文）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于( )A．B．2．D．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为1 的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为 ，选全国卷12的球面上有,则四面体的体积的最大值为(A)(B)((D)【答案】B【解析】过作平面，使⊥平面,交与P,设点P到的距离为,则有平面解析几何初步一、基础知识（理解去记）

,当直径通过与的中点时, ,故1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如是以原点为圆心的单位圆的方程。列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。x轴正方向所成的小于的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x轴的直线的倾斜角为及斜率可求直线方程。4．直线方程的几种形式：【必会】【必考】（）一般式：A0 ；（）点斜式：-k(x-x)；（）斜截式：b ；（）截距式：；（）两点式：；（）法线式方程：sθy θ=（其中θ为法线倾斜角，||为原点到直线的距离）；（）参数式： （其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点0（0,y）到动点P（x,）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 方向向上则取正，否则取负）。

的斜率分别为k,kl

重合所转过的最

的角l

所成的角中不超过0 的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则t

θ= ,t

α= .

的斜率分别为k,k且两者不重合ll

的充要条件是k

ll的充要条件是k．两点．两点1(1,y)与2(2,y)间的距离公式|．点(0,y)到直线l:0的距离公式：

：0 l

。：0 ，则l

交点的直线方程为+ λ(0 ；l

组成的二次曲线方程为（1 ）（2 ）0；l平行的直线方程为0 (0．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为0 .若0，则0 表示的区域为l上方的部分，0 表示的区域为l下方的部分。1．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。2．圆的标准方程：圆心是点(,)，半径为r的圆的标准方程为(x-)+(-)r ，其参数方程为（θ为参数）。3圆的一般方程0 (2 -0 )其圆心为 3圆的一般方程若点(0,y)为圆上一点，则过点P的切线方程为①14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：i ,1,,. 则它们两两的根轴方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F(D2-D3)x+(E2-E3)y+(F(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。二、基础例题（必会）例1（经典例题）在ΔAC中，AC ，∠A0 ，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：∠A=∠E。[证明] 见图-以A为原点AC所在直线为x轴建立直角坐标系设点BC坐标分别（,,(,)，则点D坐标为（,）。直线D方程为 ， ①直线C方程为a ， ②设直线D和E的斜率分别为k,k则k

-因为DE 所以k

-.所以 所以直线E方程为 ，由 解得点E坐标为 。所以直线E斜率为因为0 .所以∠+ ∠0 ，即∠= ∠C。例2（经典例题）半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为。[证明] 以A为原点，平行于正三角形C 的边C的直线为x轴，建立直角坐标系见图0-，设⊙D.的半径等于C边上的高并且在B能上能下滚动到某位置时与BC的交点分别为EF设半径为r，.则直线的方程分别为 ,

设⊙D的方程为(x-)r

.①设点E，F的坐标分别为(1,(,)2,y)则 ，分别代入①并消去y得所以1,2是方程2-2 0 的两根。由韦达定理，所以|| (x-x)+(-)=(x-x)3(x-x)2=(x2 )-2 -(-r)r.所以|r 。所以∠E0 。例3设双曲线1 的两支为正ΔR三顶点在此双曲线上求证R不可能在双曲线的同一支上。[证明] 假设P，Q，R在同一支上，不妨设在右侧一支上，并设P，Q，R三点的坐标分别为且3 .记∠=θ，它是直线R到Q的角，由假设知直线，由到角公式所以θ为钝角，与Δ为等边三角形矛盾。所以命题成立。3．代数形式的几何意义。例4的最大值。[解] 表示动点P(x,x2)到两定点A(3,B(,)的距离之差见图0-当B延长线与抛物线2 的交点C与点P重合时f(x)取最大|例5

:x0 l

:y -(1)0l:

1)x0 围成ΔC求m为何值时，ΔC 的面积有最大值、最小值。[解]

的方程分别为①，②，③。在①，③中取=-,0，知等式成立，所以(,)l与l的交点在②③中取0,1 等式也成立所以B(,1)l

斜率分别为k,k,若0，则k•

k

,SΔ= ，由点到直线距离公|| 。所以Δ= 因为m≤1所以ΔC≤ 又因为-2-≤m，所以，所以ΔC≥当1时，（ΔC）= ；当=-1时，（ΔC）i .例6设x,y满足不等式组（1）求点(x,y)所在的平面区域；f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。[解]或解得点(x,)所在的平面区域如图-4所示其中各直线方程如图所示ABx-=-1A：x1 ；B：x4 .()f(x,)是直线l:-k在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为>-，所以它过顶点C时，f(x,)最大C点坐标-于是f(x,)的最大值为7.如果-a≤则l通过点-时f(x,)最小，此时值为-a-；如果2，则l通过B（，）时，f(x,)取最小值为-1.例7如图0-5所示过原点引直线交圆+(-)1于Q点在该直线上取P点使P到直线2的距离等|，求P点的轨迹方程。[解]设直线（t参数）。代入已知圆的方程得t

-t•s

α=所以t0s所|

-s

α。所|α|，|

α|，t .α|.

-s

α|

α|.化简得2 或t

-2

α=-1.当t=±2时，轨迹方程为x4 ；当i

α=1时，轨迹方程为x0.例8点ABC依次在直线l上且C 过C作l的垂线M是这条垂线上的动点以A为圆心，B为半径作圆，1与2是这个圆的切线，确定Δ2 垂心的轨迹。[解] 见图0-，以A为原点，直线B为x轴建立坐标系，H为M与圆的交点，N为2 与M的交点，记1 。以A为圆心的圆方程为6，连结。因为，H2 ，所以1，同理2 ，又2，所以2是菱形。所以H。又因为M 2 ，11 ，所以 N•M。设点H坐标为（x,）。点M坐标为(,)，则点N坐标为，将坐标代入 N•M，再由得在B上取点，使= ，所求轨迹是以K为圆心，K为半径的圆。例9已知圆x1 和直线m 相交于A，B，且A，B与x轴正方向所成的角是α和β，见图-，求证i(α+β)是定值。[证明] 过D作OD于OD的倾斜角为 OD,所以。所以例0 已知⊙O是单位圆，正方形D 的一边B是⊙O的弦，试确| 的最大值、最小值。[解]以单位圆的圆心为原点AB的中垂线为x轴建立直角坐标系设点AB的坐标分别为A(sα,iα),B(sα,i

α)，由题设|s

α，这里不妨设A在x轴上方，则α∈π).由对称性可设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点D坐标为(sαs所| =因为，所以当时|= 1 ；当时|i

α,s

α)，例1 当m变化且0的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。[证明] 由消去m得-0 .故这些圆的圆心在直线x-0 上。设公切线方程为b ，则由相切有

|

，对一切m≠ 0成立。即(k-)2(k-)b-)+(b-)0 对一切≠0成立所以 即 当k不存在时直线为1。所以公切线方程y三、趋近高考【必懂】

和1..（0 江西理）.直线 与圆 相交于,N两点，若 ，则k的取值范围是A.B.【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察 数形结合的运用.解法y轴相切.， 由点到直线距离公式，解得；解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取 ，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A.（0 安徽文）（）过点（，）且与直线x-y-0 平行的直线方程是（A）x--0 (B)x-0 ()y-0 （）xy-0【答案】A【解析】设直线方程为 ，又经过 ，所求方程为 .【方法技巧】因为所求直线与与直【方法技巧】因为所求直线与与直线x-y-0 平行，所以设平行直线系方程为，代入此直且与直线x-y-0 平行.（ ）有两个不同的公共点，则的取值范围为（A）（B）（）（）【答案】D解析：化为普通方程 ，表示圆，因为直线与圆有两个不同的交点，所以解得法2：利用数形结合进行分析得同理分析，可知.（0 重庆理）()直线y两点，则直线D与D的倾斜角之和为

与圆心为D的圆 交与A、BA. B. 【答案】C解析：数形结合 由圆的性质可知故.（0 广东文）全国卷1O的半径为为两切点那么的最小值为(A)(B)(().0 安徽理动点在圆绕标点逆针向速转2秒旋转一周。已知时间 的纵坐标 关于函数的单调递增区间是A、B、、、和【答案】D【解析】画出图形，设动点A与 轴正方向夹角为 ，则 ，每秒钟旋转，在 上，在 ，动点 的纵坐标 关于都是单调递增的。【方法技巧】由动点【方法技巧】由动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似由2秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度画出单位圆很容易看出当t在的纵坐标 关于（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间..（2 江苏卷8）（本小题满分6分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.且被圆截得的弦长为，求直线的方程；P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。【解析】 的方程为：，即由垂径定理，得：圆心 到直线，结合点到直线距离公式，得：化简得：求直线的方程为： ，即 或设点P，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。故有： ，化简得：关于 的方程有无穷多解，有：解之得：点P或。年高考数学总复习系列》——高中数学必修二立体几何初步一、基础知识（理解去记）（一）空间几何体的结构特征由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征棱柱1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的 关系：① ②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底 面 直平行六面体底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体3棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。补充知识点 长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平 方和；【如图】②（了解）长方体的一条对角线与过顶点A的三条棱 所成的角分别是，那么，；③（了解）长方体的一条对角线 与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是 ，则，.4侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.5（其中c为底面周长，h为棱柱的高）注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻意地去记圆柱1圆柱——余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2轴的截面（轴截面）是全等的矩形.3母线长为邻边的矩形.4面积、体积公式：S圆柱侧=；S圆柱全=，V圆柱=S底=（其中r为底面半径，h为圆柱高）棱锥.1棱锥——有一个面是多边形其余各 面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。是正多边心，这样正棱锥——是正多边心，这样①平行于底面的截面是与底面相似的正相似比等于顶点到截面的距离与顶点到多边形，底面的距2①平行于底面的截面是与底面相似的正相似比等于顶点到截面的距离与顶点到多边形，底面的距离之比；②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图： 为直角三角形）成四个直角三角形。）（如上图： 为直角三角形）3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。4面积、体积公式：S正棱锥侧=，S正棱锥全=，V棱锥=.（其中c为底面周长，侧面斜高，h棱锥的高）圆锥1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。2圆锥的性质：顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；②②轴截面是等腰三角形；如右图：③如右图：.3以母线长为半径的扇形。4面积、体积公式：S圆锥侧= 圆锥全= 圆锥=中r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）棱台1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱 截面与底面之间的部分称为棱台.2正棱台的性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是 正多边形；③都是直角梯 形④棱台经常补成棱锥研究.如右图：，注意考虑相似比.3侧 ，，（其中 是上，下 底面面积，h为棱台的高）圆台1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分叫做圆台.2圆台的性质：①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；②圆台的轴截面是等腰梯形；③圆台经常补成圆锥来研究。如右图：，注意相似比的应用.3圆台的侧面展开图是一个扇环；4，V，（其中r，R为上下底面半径，h为高）球1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；2球的性质：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；②（其中，球心到截面的距离为球的半径为R、截面的半径为r）3球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.4球面积、体积公式： （其中R为球的半径）（二）空间几何体的三视图与直观图根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只需了解即可投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。直观图：1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。2斜二测法：st

：在已知图形中取互相垂直的轴，（即取 ）；：画直观图时，把它画成对应的轴，取，它们确定的平面表示水平平面；s ：在坐标系 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 倍.在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 倍.解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。二 点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质平面——无限延展，无边界1三个定理与三个推论公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.图形语言： 符号语言：公理2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言：推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：用途：用于确定平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.图形语言： 符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：（二）空间图形的位置关系等角定理：异面直线：平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：等角定理：异面直线：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；异面直线所成的角：图形语言：符号语言：异面直线所成的角：常把一条异上，形成异（）范围：；（2）作异面直线所成的角：平移法.O则所 角为常把一条异上，形成异异面直线面直线所成的角.直线与平面的位置关系：图形语言：平面与平面的位置关系：（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）线面平行：②判定定理①定义：直线与平面无公共点②判定定理：（线线平行 线面平行）【如图】③性质定理： 线线平行）【如图】③性质定理④判定或证明线面平行的依据定义反证用于判断ii判定定理：“面面平行 线面平“线线平行 面面平行”（用于证明）ii）“面面平行 线面平行行”（用于判断）；线面斜交：①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则 平面的于是在平面 就是直线与平面 所成的角。范围与平面 所成的角为 与平面所成的角。面面平行：①定义：；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：【如下图①】图① 图②推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述：【如上图②】判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：.【如右图】理及推论（常2面平行线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意都有，且，则.②判定定理：（线线垂直 线面垂直）③性质：（）（线面垂直 ；（较（面面垂直 线面垂直）常用；⑤三垂线定理及逆定理：（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线 段 中 ，（）斜线相等射影相等；（）斜线越长射影 越长；（3）垂线段最短。【如图】； II三垂线定理及逆定理已知斜线A在平面 内的射影为A，，①若，则——垂直斜线，此为三垂线定理；②若则——线定理的逆定理；三垂线定理及逆定理的主要应用证明异面直线垂直（） 作证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】范围：3面面垂直（）定义：若二面角的平面角为，则；个平面互相垂直.（线面垂直面面垂直）（3）性质：①若，二面角的一个平面角为，则；②（面面垂直线面垂直）；③.④二、基础题型（必懂）（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提必须找出反例。（3）相关例题：课本和辅导书上出现很多这样的题型，举例说明如下：例：（09年北京卷）设是三个不同的平面，给出下列四个说法：①；③④，说法正确的序号是： _2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。平行与垂直关系可互相平行与垂直关系可互相平行关系垂直关系平面几何知识平面几何知识线线平行线线垂直线面平行面面平行线面垂直面面垂直判定性质性质判定推论判定性质面面垂直定义判定判定三、趋近高考（必懂）.0全国卷2理已知正四棱锥中那么当该棱锥的体积最大时它的高为（A）1 【答案】C【解析】设底面边长为所以体积，设y取最值时， 或此时，故选.（0陕西文若某空间几何体的三视图如图所示则该几何体的 体积是[B]（A）2 （B）1（）（）， ，【答案】B， ，【解析】如图，该立体图形为直三棱柱，所以其体积为是球的表面积等于（A）（B）（）（D）【答案】A【解析】选A.的直径为， 表面积是（A）2 （B）0（）2 （）0【答案】B下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。重庆文）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个 （B）恰有3个（C）恰有4个 （D）有无穷多个【答案】D【解析】放在正方体中研究,、的中点到两垂直异面直线的距离都相等，所以排除A、B、C，选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线的距离相等.（0 浙江文）若某几何体的三视图（单位c何体的体积是

）如图所示，则此几（A）（B）

33（）【答案】B【解析】选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题福建文）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于( )A．B．2．D．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为 ，选全国卷12的球面上有,则四面体的体积的最大值为(A)(B)((D)【答案】B【解析】过作平面，使⊥平面,交与P,设点P到的距离为,则有平面解析几何初步一、基础知识（理解去记）

,当直径通过AB与的中点时, ,故1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如是以原点为圆心的单位圆的方程。列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。x轴正方向所成的小于的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x轴的直线的倾斜角为0及斜率可求直线方程。4．直线方程的几种形式：【必会】【必考】（）一般式：0 ；（）点斜式：k (x-0)；