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文档简介
2021-2022学年江西省宜春市荣塘中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4参考答案:B【考点】直线与圆的位置关系.【分析】根据圆心C到O(0,0)的距离为5,可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6.再由∠APB=90°,可得PO=AB=m,可得m≤6,从而得到答案.【解答】解:圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径为1,∵圆心C到O(0,0)的距离为5,∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6.再由∠APB=90°可得,以AB为直径的圆和圆C有交点,可得PO=AB=m,故有m≤6,故选:B.2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=900,点D1和F1分别是A1B1和A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C【分析】取的中点,连接,,将平移到,则就是异面直线与所成角,在中利用余弦定理求出此角即可【详解】取的中点,连接,,就是异面直线与所成角,设则,,在中,故选
3.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()A.f(x)=x3 B.f(x)=x C.f(x)=3x D.f(x)=()x参考答案:C【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】可先设f(x)为指数函数,并给出证明,再根据指数函数单调性的要求,得出C选项符合题意.【解答】解:指数函数满足条件“f(x+y)=f(x)f(y)”,验证如下:设f(x)=ax,则f(x+y)=ax+y,而f(x)f(y)=ax?ay=ax+y,所以,f(x+y)=f(x)f(y),再根据题意,要使f(x)单调递增,只需满足a>1即可,参考各选项可知,f(x)=3x,即为指数函数,又为增函数,故选:C.4.“”是“”的(
)A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案:A5.要得到函数的图象,只要将函数的图象(
)A.向左平移1个单位
B.向右平移1个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位参考答案:C略6.已知直线的点斜式方程是,那么此直线的倾斜角为
参考答案:C,,故选.7.已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是: ()A. B. C. D.参考答案:B8.设正实数满足,则当取得最小值时,的最大值为(
)A.0
B.
C.2
D.参考答案:C略9.复数z=1﹣i,则=() A. B. C. D.参考答案:D考点: 复数代数形式的乘除运算.专题: 计算题.分析: 把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算,然后在把实部和实部相加,虚部和虚部相加.解答: 解:因为z=1﹣i,所以=.故选D.点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法采用的是分子分母同时乘以分母的共轭复数,是基础题.10.设F1、F2分别为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M,N两点,且满足∠MAN=120°,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.参考答案:A【考点】双曲线的简单性质.【分析】先求出M,N的坐标,再利用余弦定理,求出a,c之间的关系,即可得出双曲线的离心率.【解答】解:不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为(x0,y0)(x0>0),则N点的坐标为(﹣x0,﹣y0),联立y0=x0,得M(a,b),N(﹣a,﹣b),又A(﹣a,0)且∠MAN=120°,所以由余弦定理得4c2=(a+a)2+b2+b2﹣2?bcos120°,化简得7a2=3c2,求得e=.故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设
满足约束条件
,则的最大值为
。参考答案:512.(原创)已知函数
,
则
.参考答案:1略13.方程有三个不同的实根,则的取值范围是_____________参考答案:略14.关于的二元二次方程表示圆方程的充要条件是
____________.参考答案:略15.函数在实数集上是单调函数,则m的取值范围是
.参考答案:
16.圆心在直线上,且与轴相切与点的圆的标准方程是______
.参考答案:17.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为,腰和上底长均为l的等腰梯形,
则该平面图形的面积等于_________.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知圆:,点,,点在圆上运动,的垂直平分线交于点.(1)求动点的轨迹的方程;(2)设分别是曲线上的两个不同点,且点在第一象限,点在第三象限,若,为坐标原点,求直线的斜率;(3)过点,且斜率为的动直线交曲线于两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个点?若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.
参考答案:(3)直线方程为,联立直线和椭圆的方程得:
得…………8分由题意知:点在椭圆内部,所以直线与椭圆必交与两点,设则假设在轴上存在定点,满足题设,则因为以为直径的圆恒过点,则,即:
(*)因为则(*)变为…………11分由假设得对于任意的,恒成立,即解得因此,在轴上存在满足条件的定点,点的坐标为.………………12分
略19.已知函数.(Ⅰ)当时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数与图象在上有两个不同的交点,求实数m的取值范围.参考答案:(Ⅰ)函数的增区间为,减区间;(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)将代入函数解析式,求出该函数的定义域和导数,然后分别解不等式和可得出函数的增区间和减区间;(Ⅱ)令得出,问题转化为:当直线与函数在区间上的图象有两个交点时,求实数的取值范围,并利用导数分析函数在区间上的单调性、极值和端点函数值,利用数形结合思想可得出实数的取值范围,即可求出实数的取值范围.【详解】(Ⅰ)当时,,定义域为,且.令,即,解得;令,即,解得.因此,函数的增区间为,减区间;(Ⅱ)由已知得:在有两个不相等的实数根.令,,由得.当时,,此时,函数为减函数;当时,,此时,函数为增函数.所以,函数在处取得极小值,又,且,当时,直线与函数在区间上的图象有两个交点,,因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间,同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题,在求解含单参数的函数零点个数问题时,可充分利用参变量分离法转化为参数直线与定函数的交点个数问题,利用数形结合思想求解,考查化归与转化思想,属于中等题.20.(本小题5分)已知关于的不等式<0的解集为,函数的定义域为。(Ⅰ)若,求集合;(Ⅱ)若,求正数的取值范围。参考答案:解:(Ⅰ)由,得。
1分(Ⅱ)的定义域是:。
2分由,得,
3分又∵,∴,
4分所以,即的取值范围是。
5分21.已知函数f(x)=(1+x)2﹣2ln(1+x).(1)求f(x)的单调区间;(2)若当x∈[e﹣1﹣1,e﹣1]时不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.参考答案:解:(1)函数的定义域为(﹣1,+∞).∵f′(x)=2(1+x)﹣2=由f′(x)>0得x>0,由f′(x)<0得﹣1<x<0,∴f(x)的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(﹣1,0).(2)由f′(x)=0得x=0,由(1)知f(x)在[]上递减,在[0,e﹣1]上递增.又f()=+2,f(e﹣1)=e2﹣2,且e2﹣2>+2,所以当x∈[e﹣1﹣1,e﹣1]时,f(x)的最大值为e2﹣2,故当m>e2﹣2是不等式恒成立.略22.(本题满分10分)过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,当点A的纵坐标为1时,|AF|=2.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)若直线l的斜率为2,问抛物线C上是否存在一点M,使得MA⊥MB?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案:(Ⅰ)x2=4y;(Ⅱ)存在一点或(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y=-的距离,∴1+=2,∴p=2,∴抛物线C的方程为x2=4y.(2)抛物线C的焦点为F(0,1),直线l的方程y=2x+1,设点A、B、M的坐标分别为(x1,)、(x2,)、(x0,),由方程组消去y得,x2=4(2x+1),即x2-8x-4=0,由韦达定理得x1+x2=8,x1x2=-4.∵MA⊥MB,∴·=0,∴(x
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