2023-2024学年湖南师大附中高一（下）入学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南师大附中高一（下）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=M∪N={xA.{x|0⩽x⩽10} 2.若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)A.必要不充分条件 B.充要条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3.为了得到函数y=cosx5，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象yA.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D.纵坐标伸长到原来的14.函数f(x)=A. B.

C. D.5.已知实数a，b，满足(a−1)3+A.2 B.1 C.14 D.6.已知cos(π2+α)=A.43 B.34 C.−37.已知函数f(x)=lg(x2+1+A.49 B.29 C.158.已知5−a=lna，b=log43+logA.b>c>a B.a>c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设a，b，c，d为实数，且a>b>0A.c2<cd B.a−c10.已知函数f(x)=A.若a=1，则函数f(x)至少有一个零点

B.存在实数a，k，使得函数f(x)无零点

C.若a>0，则不存在实数k，使得函数f11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.已知某港口水深f(t)(单位：m)与时间t(单位：h)从0～A.f(t)=3sinπ6t+5(0≤t≤24)

B.函数f(t)的图象关于点(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为13.若θ∈(0,π2)14.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点，当△APQ的周长为2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合A={x|1≤3x≤27}，B={x|log2x>1}16.(本小题15分)

已知函数f(x)=sinxcos(x+π4)17.(本小题15分)

如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下d则为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,−π2<φ<π2).

18.(本小题17分)

若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．

(1)19.(本小题17分)已知e是自然对数的底数，f((1)判断函数f(x(2)记g(x)=ln{(答案和解析1.【答案】C

【解析】解：全集U=M∪N={x∈N|0⩽x⩽10}={0,1,2,3,4,2.【答案】A

【解析】解：根据奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点对称，若f(0)=0，

则f(−x)=−f(x)不一定成立，所以y=f(x)不一定是奇函数．比如f(x)=|x|3.【答案】A

【解析】【分析】根据函数y=Asin【解答】

解：将函数y=cosx图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y4.【答案】A

【解析】解：由f(x)=0，可得x−1=0或ln|x|=0，

解得x=±1，可排除选项B；

当0<x<1时，x−1<0，ln|x5.【答案】A

【解析】解：因为(a−1)3+(b−1)3≥2−a−b，

所以(a−1)3+(a−1)6.【答案】D

【解析】解：∵cos(π2+α)=−sinα=45，且|α|<π27.【答案】B

【解析】解：易知函数f(x)定义域为R，且∵f(−x)=lg[(−x)2+1+(−x)]=lg(x2+1−x)

=lg1x2+1+x=−lg(x8.【答案】D

【解析】解：由a+lna−5=0，令f(a)=a+lna−5，则f(a)在定义域内单调性递增，

且f(3)=3+ln3−5=ln3−2<0，f(4)=4+ln4−59.【答案】AD【解析】解：因为a>b>0>c>d，

所以c2<cd，A正确；

当a=2，b=1，c=−1，d=−2时，B，C显然错误；

因为a>b>0，d<c<010.【答案】AB【解析】解：A：当a=1时，f(x)=|2x−1|−kx−3，令f(x)=0，得|2x−1|=kx+3，

在同一坐标系中作出y=|2x−1|，y=kx+3的图像，如图所示：

由图像及直线y=kx+3过定点(0,3)知函数f(x)至少有一个零点，故A正确；

B：当a=−4，k=0时，作出y=|2x+4|11.【答案】AC【解析】解：由图知，T=2πω=15−3=12，

∴ω=π6，

又A+b=8−A+b=2，故A=3，B=5，

由”五点作图法“知，π6×3+φ=π2，解得φ=0．

故f(t)=3sinπ6t+5(0≤t≤24)，A正确；

又f(12)=5≠0，函数f(t)的图象不关于点(12.【答案】1.2

【解析】解：由题意可得：L=144mm，R=120mm，

∵L=Rθ，

13.【答案】−【解析】解：因为θ∈(0,π2)，则sinθ>0，cosθ>0，

又因为tanθ=sinθcosθ=114.【答案】45°【解析】解：设AQ=x，AP=y，则DQ=1−x，PB=1−y，(0<x<1,0<y<1)，

则tan∠DCQ=DQDC=1−x，tan∠BCP=1−y，tan(∠15.【答案】解：(Ⅰ)集合A={x|1≤3x≤27}={x|0≤x≤3}，

B={x|log2x>1}={x|x>【解析】(Ⅰ)求出集合A，B，进而求出∁UB，由此能求出(∁RB)∪A．

(Ⅱ)当C=⌀时，1−16.【答案】解：(1)f(x)=sinxcos(x+π4)+24

=sinx⋅(cosxcosπ4−sinxsinπ【解析】(1)根据已知条件，结合三角恒等变换公式，以及周期公式，即可求解；

(217.【答案】解：(1)由题意，d=Asin(ωt+φ)+K，

由图可知d的最大值为6，最小值为−2，即A+K=6−A+K=−2，解得A=4，K=2，

∵每π分钟转1圈，

∴函数的周期为T=2πω=π，可得ω=2，可得d=4sin(2t+φ)+2，

∵依题意，可知当t=0时，d=0，即0=4si【解析】(1)由图可知d的最大值为6，最小值为−2，由A+K=6−A+K=−2，解得A，K的值，求得函数的周期，利用周期公式可求ω，依题意，可知当t=0时，d=0，可得sinφ=−12，结合−18.【答案】解：(1)对于函数g(x)=sinx的定义域R内存在x1=π6，而g(x2)=2无解，故g(x)=sinx不是“依赖函数”．

(2)(1)若43≤a≤4，故h(x)=(x−a)2，

在[43,4]上最小值为0，此时不存在x2，舍去；

(2)若a>4，故h【解析】(1)由依赖函数的定义举例子判断即可；

(2)分类讨论解决函数不等式h(x)≥−19.【答案】