高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 第二章单元检测

第二章单元检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α答案：B2．有下列命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：B解析：平行于同一直线的两平面可能相交，①错，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，③错，可知②④正确．3．若α⊥β，α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么()A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行答案：C解析：两平面垂直，两直线分别在两平面内，且两直线与交线不垂直，两直线若平行，则均与交线平行，因此可能平行；若a与b垂直，根据面面垂直的性质，则a与l垂直或b与l垂直，与已知矛盾，选C.4．两条异面直线在同一平面的正投影不可能是()A．两条平行直线B．两条相交直线C．一个点和一条直线D．两个点答案：D解析：如果两条直线在同一平面内的正投影是两个点，则这两条直线都和平面垂直，这两条直线平行，不会是异面直线．5．给出下列命题：①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面，其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A解析：两两相交且过同一点的直线，可以不在同一平面内，所以①②都错；两平面相交，也可以有三个不同的公共点，所以③错；两两平行的三条直线可以在同一平面内，所以④错．6.如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．45°答案：B解析：AC与A′C′平行，三角形A′C′B为等边三角形，结合等角定理可知所求角为60°.7．已知三条不同的直线a，b，c，三个不同的平面α，β，γ，有下面四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b，则α∥γ；②若直线a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，c⊥a，c⊥b，则c⊥α.其中正确的命题是()A．①②B．②③C．①④D．③④答案：B解析：命题①错误，因为α与γ还可能相交；命题②正确，设a与b确定的平面为γ，由题设知α∥γ，β∥γ，所以α∥β，所以排除A、C、D，答案选B.8．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，D∈a，线段AB，AD分别交α于E，G，若BD＝15，BE＝2AE，则EG等于()A．10\f(10,3)C．5\f(5,3)答案：C解析：由三角形AEG与三角形ABD相似得，EG＝eq\f(1,3)BD＝5.9．若α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且AB＋CD＝28，AB、CD在β内的射影长分别为9和5，则AB、CD的长分别为()A．16和12B．15和13C．17和11D．18和10答案：B解析：令AB＝x，CD＝y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝28,x2－81＝y2－25))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝15,y＝13)).10.如图所示，正三棱锥V—ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中，D，E，F分别是VC，VA，AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是()A．30°B．90°C．60°D．随P点的变化而变化答案：B解析：由于DE∥AC，故DE与PF所成的角即AC与PF所成的角，连接VF，BF，则AC⊥VF，AC⊥BF.∴AC⊥平面VBF.∴AC⊥PF.11．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中(侧棱垂直于底面且底面为正三角形的三棱柱)，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C\f(\r(2),2)\f(\r(15),5)\f(\r(6),4)\f(\r(6),3)答案：C解析：取BC的中点D，连AD，C1D，在等边△ABC中，AD⊥BC，由正三棱柱的性质，平面ABC⊥平面BB1C∴AD⊥平面BB1C1C，∴∠AC设AB＝AA1＝a，则AD＝eq\f(\r(3),2)a，AC1＝eq\r(2)a，sin∠AC1D＝eq\f(AD,AC1)＝eq\f(\r(6),4).12．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，且AB≠CD.如果增加一个条件就能推出BD⊥EF，给出四个条件：①AC⊥β；②AC⊥EF；③AC与BD在β内的正投影在同一条直线上；④AC与BD在平面β内的正投影所在的直线交于一点．那么这个条件不可能是()A．①②B．②③C．③D．④答案：D解析：当AC与BD在平面β内的正投影所在的直线相交时，平面ABCD与平面β不垂直，此时，EF与BD也不可能垂直(若EF⊥BD，由于EF⊥CD，则EF⊥平面ABCD，从而β⊥平面ABCD.)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为________答案：平行解析：易知BD∥B1D1，故BD∥平面AB1D1，同理BC1∥平面AB1D1.又BD∩BC1＝B，BD⊂平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，∴平面AB1D1∥平面BC1D.14．如图，已知PA垂直于菱形ABCD所在平面，且∠ABC＝60°，PA＝AB，则PC与平面ABCD所成的角为__________．答案：45°解析：如图，连结AC，由于四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°，∴AB＝AC.又∵PA⊥平面ABCD.∴AC为PC在平面ABCD上的射影，即∠PCA为所求角，在Rt△PAC中，由PA＝AB，知PA＝AC，∴∠PCA＝45°.15．半径为R的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为________．答案：eq\r(3)R解析：所求距离即球心与球的外切正方体的顶点的距离，也即正方体对角线长度的一半．由于球的半径为R，故其外切正方体的棱长为2R，其对角线长为2eq\r(3)R，球心到正方体顶点的距离为eq\r(3)R.16．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E、F分别是棱AB、AD的中点．若P为棱CC1上一点，且平面A1EF⊥平面EFP，则CP＝________答案：eq\f(3,8)解析：连接AC交EF于O点，连接A1O，OP，显然A1E＝A1F，PE＝PF，∴A1O⊥EF，PO⊥EF，则∠A1OP为二面角A1－EF－P的平面角，若平面A1EF⊥平面EFP，则∠A1OP＝90°，设CP＝x，C1P＝1－x.在Rt△A1OP中，A1O＝eq\r(1＋\f(1,4)\r(2)2)＝eq\f(3,2\r(2))，PO＝eq\r(\f(3,4)\r(2)2＋x2)＝eq\r(\f(9,8)＋x2)，A1P＝eq\r(A1C\o\al(2,1)＋C1P2)＝eq\r(2＋1－x2)，∴eq\f(9,8)＋eq\f(9,8)＋x2＝2＋(1－x)2，∴x＝eq\f(3,8).三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD且AB＝2CD，F为AB的中点证明：平面C1CF∥平面ADD1A1解：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴AD∥CF，又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A∴CF∥平面ADD1A1又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A∴CC1∥平面ADD1A1又CC1⊂平面C1CF，CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A118．(12分)如图，已知三棱锥A－BCD中，侧棱长和底面边长均相等，E是侧棱AB的中点．求证：(1)AB⊥平面CDE；(2)平面CDE⊥平面ABC.解：(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BC＝AC,AE＝BE))⇒CE⊥AB，同理eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AD＝BD,AE＝BE))⇒DE⊥AB，又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CDE.(2)由(1)知AB⊥平面CDE，又∵AB⊂平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC.19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2eq\r(5).(1)求证：BD⊥平面PAD；(2)求三棱锥A－PCD的体积．解：(1)证明：在△ABD中，∵AD＝2，BD＝4，AB＝2eq\r(5)，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.(2)过P作PO⊥AD交AD于O.又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.∵△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO＝eq\r(3).由(1)知，AD⊥BD，在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为h＝eq\f(AD×BD,AB)＝eq\f(4\r(5),5).∵AB∥DC，∴S△ACD＝eq\f(1,2)CD×h＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\f(4\r(5),5)＝2.∴VA－PCD＝VP－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD×PO＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).20．(12分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH(底面为正方形且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥)，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG.解：(1)该安全标识墩的侧视图如图所示．(2)该安全标识墩的体积为：V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH＝eq\f(1,3)×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．(3)证明：如图，由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴FH⊥EG，又∵ABCD－EFGH为长方体，∴BD∥FH，设点O是EFGH的对称中心，∵P－EFGH是正四棱锥，∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH，∴PO⊥FH.∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，∴FH⊥平面PEG.而BD∥FH，故直线BD⊥平面PEG.21.(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C证明：(1)由E、F分别是A1B，A1C的中点，知EF∥BC因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B故DD1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C⊂平面所以A1D⊥平面BB1C又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C22．(12分)在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE：EB＝CF：FA＝CP：PB＝1：2(如图甲)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1—EF—B成直二面角，连接A1B，A1P(如图乙)．(1)求证：A1E⊥平面BEP；(2)求二面角A1—BP—E的大小．解：不妨设正三角形的边长为3，则(1)证明：在题图甲中，取BE的中点D，连接DF，∵AE：EB＝CF：FA＝1：2，∴AF＝AD＝2，而