数列通项公式 前n项和求法总结 全

nn一.列通项公式求法结：定义——直利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差或者等比例1等差数列列前n和为n

且a13

9

成等比数列，Sa5

2求5数列式n变式练习：1.等差数列

a4,a,求式72.等比数列{}n

中

a21

,且

2

为1

和a3

的等差中项求数列{}n

的首项比及前公式

项和.求数列n

n

可用公式an

1nn

求解。特征：已知数列的前项和S

与a

的关系例2.已知下列两数列{}

的前n项和的公式，求{}

的通项公式。（1）

n

。（2）snn

2

变式练习：21n21n1.知数列{}n

的前n项和为

n

S

n

=2n﹡{}n

满足a

n

=4log

2

bn

+3，n∈N﹡.求

n

，bn

。2.知数列{}n

的前n项和n2

2

（kN

*

且S最大值为，试定常n数k并求n

。3.知数列

项和n

n

2

2

，nN

求数列式。由递式数列通项法类型1

特征：递推公式为

af()nn对策：把原递推公式转化为

n

(nn

，利用累加法求解。例3.已数n

，

n

1

，求

n

。变式练习：1.知数列{}n

满足

n

ann

，求数列{}n

的通项公式。2.已知数列：

求通项公式类型2

特征：递推公式为a

n

f()a

n对策：把原递推公式转化为nn

f(

，利用累乘法求解。例4.已数n1

，a

，求

n

。变式练习：aa1.已知数列，n1

n

n，求项公式。nn2.设1正项数列，且n

2

a

（n

=13，…求数列的通项公式是an类型3特：推公式为

n

pan

（其中均为常数）对策造法消去把原递推公式转化为由

n

pan

得n

n

n2)两式相减并整理得np,an

构成数列n2

为首项，以p为公比的等比数列出

n

n

再转化为类型（累加法）便可求出a.例5.已数n1

，a

n

2an

，求a

n

.变式练习：1.列}满a=1，a1

n

n

,求数列{}通项公式。2.已知数列

a

=1，a

n

an

.明

公式。类型4特征：递推公式为a

n

pa(nn

（其中p为常数）对策用构造法消去p）两同时除以pn可得到

af(n)pnnpn

，令n，n则b

f()pn

，再转化为类型1（累加法出b

之后得pn

n

bn例6已知数列{}满足an

n

2an

，求数列{}n

的通项公式。，11bn，11bn变式练习：知数列n1

，an

n

a

n

(n2)

求a

n

．二.列的前n项和的求法总结公式（1）等差数列n和：Sn（2）等比数列n和：

na)nnad22q=1时，Sna1例1.已x3

2

，求x

2

3

n

的前项和变式练习：1.设等比数列项和为.已知6,6a求a和S.232.设{}n

是等差数列，{b}n

是各项均为正数的等比数列，且，a211

，a135

。（1）求

n

，n

；（2）求数列{}的前和S。an错位减①若数列列列列nn

就要采用此法.②将数列n

项分别乘以然在错位相减，进可得到数列nn

n

项和.例2.求3

2

4

3

……nx

n

的和变式练习：1.已知数列n

的前n项和为

n

,且S

n

=

,n﹡,数列

满足4logbnn(1)求,b;nn

n∈N﹡.(2)求数列n

项和T.n2.若公比为c的等比数列n

，且满足n

an

n(n3,4,...)2

。（1）求的值）求数列{}n倒序加

的前n项和

n如果一个数列两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把n正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1n

n

...把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。例3.

已f(x)

x1

，f(1)(2)

111()21111()21变式练习：1.求

231022223102

的和．2.21223值裂项消一般地数列的通项

a

c()(an)2

,为常往往可将a变1n成两项的差，采用裂项相消法求和可用待定系数法进行裂项：设a

an

an

，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得

cb

，从而可得=().()()()an12212常用裂项形式有：①

；②nnnn

1(nn

；③

11()k22

，

111kk2(kkk

；④

11[n(nnn(n(2)

]

；⑤nn)

nnn111nb11111nb11例4.求数列变式练习：

，，，…，…前项和1n(n1.数列a}中，a

12n

又

n

n

n

求数列的前n项的n和2.比数列为正，且2aa232(I)求数列式(II)设blogan32n分组和

求数列的项和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可一般两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.例5.求数列24816

n

，

的前

项和

．变式练习：1.求数列

1,L27

的前n

项和2.若数列式a2n