差分方程建模示例人口增长模型

差分方程建模示例人口增长模型第一页，共二十六页，2022年，8月28日

这是一个如下线性映射的迭代

f(x)=ax从而

xn=axn－1=a2xn－2=…=anx0

Malthus的结论：人口增长呈几何级数

约35年增加一倍，与1700－1961年世界人口统计结果一致与近年统计结果有误差，由a>1,xn趋向无穷，模型在人口长期预测方面必定是失效的.第二页，共二十六页，2022年，8月28日.●

Logistic模型生存资源是重要的因素，修改的模型为：xn+1

－xn=rxn－

bxn2其中－bxn2为竞争或约束项，r、b称生命系数记a=r+1，那么

xn+1=axn-bxn2数据观察

(迭代计算与国家统计局发表数字比较)基本接近存在极限值这是一个如下非线性映射的迭代

f(x)=ax-bx2第三页，共二十六页，2022年，8月28日四．问题的讨论和分析●

Logistic映射通过变量代换简化为logistic映射

f(x)=ax(1-x)，

x在[0,1]内变化相应的迭代为

xn+1=axn(1-xn)

从[0,1]内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成了一个序列，即xn=fn(x0),n=0,1,2,…序列{xn}称为x0的轨道第四页，共二十六页，2022年，8月28日●数值迭代1．倍周期分叉现象■当0<a<1时，由于0<xn<axn+1

xn

→0物种逐渐灭亡■当1<a<3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于

x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f的不动点(周期1点)例：a=1.5时

xn→1/3.两个不动点x1*,

x2*,一个稳定(吸引),另一个不稳定，轨道{xn}趋向稳定点第五页，共二十六页，2022年，8月28日

这两个数满足■当3<a<1+61/2时，xn

绕着两个数x3*，x4*振动,例a=3.2x2k-1→0.799455x2k

→o.513045■当1+61/2<a<3.5440903506…时,从任意的点x0出发的轨道将逐渐沿着四个数值振动例a=3.45

x4k→0.44391661x4k+1

→0.84768002x4k+2

→

0.44596756

x4k+3

→0.85242774也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期点失稳)第六页，共二十六页，2022年，8月28日这四个数满足称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点又失稳)

若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依次出现周期16点，周期32点….，(请考虑什么是周期n)这种过程称为倍周期分叉.相应的分叉值c1=3,c2=1+61/2…构成一个单调增加的数列{ck}.其极限值为c*=3.569945557391…。分叉值如何求?第七页，共二十六页，2022年，8月28日任务：求分叉值和画分叉图依赖于数值方法第八页，共二十六页，2022年，8月28日2．浑沌与遍历性当c*<a<4时，Logistic映射进入浑沌区域.反映出的是：■遍历性：点x0的轨道不趋向任何稳定的周期轨道,它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何一个子区间(a,b)内都会出现无数次.这是浑沌的

■敏感性：

轨道表现出对初始条件的强烈敏感性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的轨道也终将以某种方式分离.■存在周期小窗口浑沌区域内某些地方仍有倍周期分叉，例如a＝3.835附近第九页，共二十六页，2022年，8月28日■

Feigenbaum常数比值(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趋于无穷时，趋于常数

q=4.6692016这常数的意义在于普适性，例如周期3窗口也适用，还适用其他映射任务：验证遍历性、敏感性周期3窗口的分叉、(结合Feigenbaum常数

)五.图象方法●蛛网迭代在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作抛物线弧：

xn+1＝a

xn(1-xn)第十页，共二十六页，2022年，8月28日■

作图的过程第十一页，共二十六页，2022年，8月28日

任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代的数值序列{xn},从而也通过图象直观地看出由x0出发的轨道的变化.这作图的过程颇象蜘蛛织网,故称为蛛网迭代.

第十二页，共二十六页，2022年，8月28日■

1<a<3从(0,1)中任何初值出发的轨道趋向不动点(周期1点)第十三页，共二十六页，2022年，8月28日

■3<a<61/2+1

从任何初值出发的轨道趋向周期2点第十四页，共二十六页，2022年，8月28日■61/2+1<a<

3.54409035从任何初值出发的轨道趋向周期4点第十五页，共二十六页，2022年，8月28日■

a=3.58轨道进入浑沌状态第十六页，共二十六页，2022年，8月28日■

a=4轨道的浑沌性表现充分第十七页，共二十六页，2022年，8月28日蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节●密度分布图■密度

从一个初始点x0出发，由迭代所产生的序列{xn}(n一般很大)在区间[0,1]上的概率分布密度.■具体算法将[0,1]区间分成m个长度为h=1/m的小区间，序列{xn}nN=0落在各个小区间[ih,(i+1)h]的个数为ki,则该序列落在各小区间的概率（即密度)为pi=ki/N

i=0,1,2,…,m第十八页，共二十六页，2022年，8月28日■密度图

横轴为区间[0,1],纵轴为概率p.每个小区间上的细柱线的高度等于该区间上密度■

a=3.2(m=100N=10000x0=0.1)第十九页，共二十六页，2022年，8月28日■

a=3.45(这是周期4情况)(这是周期2情况)第二十页，共二十六页，2022年，8月28日■

a=3.55(周期8的情况)第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日以上密度图显示在0<a<c*的情况下,{xn}只有极少数落在周期点以外的小区间,而最终以几乎相等的概率落在周期点所在的小区间。■

a=3.6(进入浑沌区)第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日

(最浑沌状态)■

a=4第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日任务：用蛛网迭代的方法在计算机上作图,

考察Logstic映射在a逐步变化时由同一点出发的轨道情况.任务：用密度图的方法在计算机上作图,考察Logstic映射在a逐步变化时由同一初值点出发的{xn}的分布.考察映射进一步的任务第二十四页，共二十六页，2022年，8月28日●试考察当a逐渐增大时,

有没有倍周期分叉情况出现?

求出第一个分叉值和第二个分叉值利用Feigenbaum