高中数学人教A版第一章三角函数 市获奖

2023学年江西省上饶市上饶县中学高一（下）第一次月考数学试卷（理零、实验）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P（1，0，2），Q（1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标为（）A．（0，1，0） B．（0，﹣1，0） C．（0，0，3） D．（0，0，﹣3）3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或44．已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cos（π﹣θ）的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣5．已知直线l1：2x+3my﹣m+2=0和l2：mx+6y﹣4=0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为（）A． B． C． D．6．设f（x）=|sinπx|，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．0 B． C．﹣ D．17．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=π对称D．y=f（x）的图象关于直线x=π对称8．过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=09．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈[﹣，a]，若f（x）的值域是[﹣，1]，则实数a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[，] D．[，π]10．函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为（）A． B． C． D．11．过点P（1，2）作直线l，使直线l与点M（2，3）和点N（4，﹣5）距离相等，则直线l的方程为（）A．y+2=﹣4（x+1） B．3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0C．y﹣2=﹣4（x﹣1） D．3x+2y﹣7=0或4x+y+6=012．若直线y=k（x﹣2）与曲线有交点，则（）A．k有最大值，最小值 B．k有最大值，最小值C．k有最大值0，最小值 D．k有最大值0，最小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y=的定义域是．14．若关于x的方程sin2x+2sinx﹣1+m=0有解．则实数m的范围．15．若cos（﹣α）=，则cos（+α）=．16．若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上的点到直线4x﹣3y﹣2=0的最短距离等于1，则半径r的值为．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直角△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），直角顶点B的坐标为（1，），顶点C在x轴上．（1）求边BC所在直线的方程；（2）求直线△ABC的斜边中线所在的直线的方程．18．已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．19．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是12cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并且最大面积是多少？20．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．21．已知，，是否存在常数a，b∈Q，使得f（x）的值域为？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．22．已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

2023学年江西省上饶市上饶县中学高一（下）第一次月考数学试卷（理零、实验）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．2．在空间直角坐标系Oxyz中，若y轴上点M到两点P（1，0，2），Q（1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标为（）A．（0，1，0） B．（0，﹣1，0） C．（0，0，3） D．（0，0，﹣3）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据题意，设出点M的坐标，利用|MP|=|MC|，求出M的坐标．【解答】解：根据题意，设点M（0，y，0），∵|MP|=|MQ|，∴=，即y2+5=y2+6y+11，∴y=﹣1，∴点M（0，﹣1，0）．故选：B．3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【考点】扇形面积公式．【分析】首先，设扇形的半径为r，弧长为l，然后，建立等式，求解l、r，最后，求解圆心角即可．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=6，S=lr=2，∴解得r=2，l=2或r=1，l=4，∴α==1或4，故选：C．4．已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cos（π﹣θ）的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】先根据角θ的终边过点（4，﹣3），求得cosθ的值，进而根据诱导公式求得cos（π﹣θ）=﹣cosθ=求得答案．【解答】解：∵角θ的终边过点（4，﹣3），∴cosθ=∴cos（π﹣θ）=﹣cosθ=﹣，故选B、5．已知直线l1：2x+3my﹣m+2=0和l2：mx+6y﹣4=0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为（）A． B． C． D．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由，解得m=±2，m=﹣2时舍去，可得m=2，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：由，解得m=±2，m=﹣2时舍去，∴m=2，因此两条直线方程分别化为：x+3y=0，x+3y﹣2=0．则l1与l2之间的距离==．故选：B．6．设f（x）=|sinπx|，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fA．0 B． C．﹣ D．1【考点】正弦函数的图象．【分析】根据f（x）=|sinπx|，可知周期为1．当x=1时，可得：f（1）=0，即可求解．【解答】解：设f（x）=|sinπx|，由y=sinπx可知其周期T=2那么f（x）=|sinπx|的周期为1．当x=1时，可得：f（1）=|sinπ|=0．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=π对称D．y=f（x）的图象关于直线x=π对称【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）=|sinx|的图象与性质，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：函数f（x）=|sinx|，对于A，f（x）既是偶函数，又是周期函数，正确；对于B，函数f（x）的最大值是1，∴B错误；对于C，函数f（x）=|sinx|的图象关于直线x=π对称，正确；对于D，函数f（x）的图象关于直线x=π对称，正确．故选：B．8．过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的性质．【分析】过点A（1，2）且与原点距离最大的直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：B9．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈[﹣，a]，若f（x）的值域是[﹣，1]，则实数a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[，] D．[，π]【考点】正弦函数的图象．【分析】f（x）的值域是[﹣，1]，则由正弦函数的图象可知≤a+≤，可解得实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x））=sin（x+）的值域是[﹣，1]，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈[，π]．故选：D．10．函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为（）A． B． C． D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】求出函数的对称轴方程，使得满足在内，解不等式即可求出满足此条件的一个φ值．【解答】解：函数图象的对称轴方程为：x=k∈Z，函数图象的一条对称轴在内，所以当k=0时，φ=故选A11．过点P（1，2）作直线l，使直线l与点M（2，3）和点N（4，﹣5）距离相等，则直线l的方程为（）A．y+2=﹣4（x+1） B．3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0C．y﹣2=﹣4（x﹣1） D．3x+2y﹣7=0或4x+y+6=0【考点】点到直线的距离公式．【分析】设出直线l的斜率表示出直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出M与N到直线l的距离，让其相等得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据P的坐标和求出的斜率k写出直线的方程即可．【解答】解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1）即kx﹣y+2﹣k=0由题意可得：=，化简得k﹣1=3k+7或k﹣1=﹣3k﹣7，解得k=﹣4或k=﹣则直线l的方程为：y﹣2=﹣4（x﹣1）或y﹣2=﹣（x﹣1）即3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0．故选B12．若直线y=k（x﹣2）与曲线有交点，则（）A．k有最大值，最小值 B．k有最大值，最小值C．k有最大值0，最小值 D．k有最大值0，最小值【考点】直线与圆的位置关系．【分析】曲线表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆（x轴上方部分），求出相切时，k的值，即可求得结论．【解答】解：如图所示，曲线表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆（x轴上方部分）当直线y=k（x﹣2）与曲线相切时，d=（k＜0），∴k=∴k有最大值0，最小值故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y=的定义域是{x|}．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解三角不等式得答案．【解答】解：由2sinx+1≥0，得sinx．∴，k∈Z．∴函数y=的定义域是{x|}．故答案为：{x|}．14．若关于x的方程sin2x+2sinx﹣1+m=0有解．则实数m的范围﹣2≤m≤2．【考点】正弦函数的定义域和值域；二次函数在闭区间上的最值．【分析】变形换元可得m=﹣t2﹣2t+1=﹣（t+1）2+2，t∈[﹣1，1]，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：∵sin2x+2sinx﹣1+m=0∴m=﹣sin2x﹣2sinx+1，令sinx=t，则t∈[﹣1，1]，∴m=﹣t2﹣2t+1=﹣（t+1）2+2，t∈[﹣1，1]，由二次函数的知识可知：当t∈[﹣1，1]时函数单调递减，∴当t=﹣1时，函数取最大值2，当t=1时，函数取最小值﹣2∴实数m的范围为：﹣2≤m≤2故答案为：﹣2≤m≤215．若cos（﹣α）=，则cos（+α）=﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】观察已知与所求式子中的角度，发现（﹣α）+（+α）=π，即（+α）=π﹣（﹣α），故利用诱导公式cos（π﹣α）=﹣cosα把所求式子化简后，将已知的式子代入即可求出值．【解答】解：∵，∴=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣．故答案为：﹣16．若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上的点到直线4x﹣3y﹣2=0的最短距离等于1，则半径r的值为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用点到直线的距离公式，算出圆心C到直线4x﹣3y﹣2=0的距离，用这个距离减去圆的半径就是所求点到直线距离的最小值，由此可得本题的答案．【解答】解：∵（x﹣3）2+（y+5）2=r2的圆心为C（3，﹣5），∴圆心C到直线4x﹣3y﹣2=0的距离为d==5．因此，圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上的点到直线4x﹣3y﹣2=0的最短距离为5﹣r=1，∴r=4．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直角△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），直角顶点B的坐标为（1，），顶点C在x轴上．（1）求边BC所在直线的方程；（2）求直线△ABC的斜边中线所在的直线的方程．【考点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．（2）利用直线与坐标轴相交可得C坐标，利用中点坐标公式可得斜边AC的中点，设直线OB：y=kx，代入B可得k．【解答】解：（1）依题意，直角△ABC的直角顶点为∴AB⊥BC，故kAB•kBC=﹣1，又∵A（﹣3，0），∴kAB==，kBC=﹣=﹣．∴边BC所在直线的方程为：y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（2）∵直线BC的方程为，点C在x轴上，由y=0，得x=2，即C（2，0），∴斜边AC的中点为（0，0），故直角△ABC的斜边中线为OB（O为坐标原点）．设直线OB：y=kx，代入，得，∴直角△ABC的斜边中线OB的方程为．18．已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】（1）f（α）分子分母利用诱导公式化简，约分即可得到结果；（2）已知等式左边利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α为第三象限角，求出cosα的值，代入f（α）计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα，∴sinα=﹣，又α是第三象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=．19．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是12cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并且最大面积是多少？【考点】扇形面积公式；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）利用扇形的弧长公式求出弧长，通过扇形面积减去三角形面积即可求解该弧所在的弓形面积；（2）利用扇形的周长是12cm，以及画出公式，即可表示扇形圆心角α为，以及扇形面积，利用二次函数求出扇形最大面积．【解答】解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α=60°=，R=10，∴l=αR=（cm）．S弓=S扇﹣S△=××10﹣×2×10×sin×10×cos=50（﹣）（cm2）．（2）扇形周长12=2R+l=2R+αR，∴α=，∴S扇=αR2=••R2=﹣R2+6R=﹣（R﹣3）2+9．当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm2．20．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）求得所给的直线经过x+y﹣4=0和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，从而得到l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，再利用点斜式求得弦所在的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即x+y﹣4+m（2x+y﹣7）=0，恒经过直线x+y﹣4=0和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M到圆心C（1，2）的距离为MC==＜半径5，故点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，故弦所在的直线l的斜率为==2，故直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．21．已知，，是否存在常数a，b∈Q，使得f（x）的值域为？若存在，求出a，