曾谨言量子力学教程第3版考研练习题

1练习题一、选择题光子和电子的波长都为5.0多少?（）[中南大学2009研]A．1B．3×1010C．3.3×10-11D．8.7×10-21【答案】A【解析】由德布罗意波长公式,波长相同则二者动量大小必定同，选A。考虑如图的电子干涉实验，电子从距屏为L有两个特别窄的狭缝（缝宽为电子的德布罗意波长数量级），观察干涉图样的探测器置于屏的另一侧L处．如果电子枪向上移动（沿y方向）离d，则干涉图样（）。[中南大学2009研]图1-1A．向上移动距离dB．向下移动距离dC．向上移动距离d／2D．向下移动距离d／2【答案】B【解析】分析未移动前位于屏幕正中间的点，令偏上的光线为a，偏下的光线为b，未移动前，a和b的光程相等，电子枪上移后，a在狭缝左边光程减小，b在狭缝右边光程增加，为保证a和b光程再次相等，应该使a在狭缝右边光程相对于b在狭缝右边光程增加，于是干涉图样只能下移．再考虑到狭缝与电子枪和屏幕距离相等，于是整个装置具有对称性，为保证a和b的光程相等，干涉图样只能向下移动距离d．上题中，如果电子枪开始以较太的能量向屏发射电子，则（ ）。[中南大学2009研]A．干涉图样中相邻最大值之间的距离减小B．干涉图样向上移动C．干涉图样变蓝D．干涉图样消失【答案】A解析】A项，由德布罗意波长公以及 可知，当量E增加后，动量p增加，导致电子的德布罗意波减小，而干涉纹间距，因而增加电子能量将导致干涉条纹间距减小．B项，电C子能量增加并不会改变屏的特征光谱，不会变蓝．D项，题中提到狭缝间距尺寸在德布罗意波长数量级，在电子能量变化不是很大时，电子波长应该仍与狭缝间距相当，干涉图样不会消失．题2中，如果两缝之间距离加倍，则干涉图样中相邻最大值之距离（ ）。[中南大学2009研]加倍为原来的四倍CD．不变【答案】C【解析】设狭缝间距为d，则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距，则显然当d加倍时，必定导致条纹间距变为原来的二分之一。题2中，如果每个缝宽度加倍．则干涉图样中相邻最大值之间离（ ）。[中南大学2009研]加倍为原来的四倍CD．不变【答案】D【解析】设狭缝间距为d，则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距，则显然条纹间距与缝的宽度无关，即条纹间距不变。题2中，如果只有一个缝的宽度加倍（原来两缝宽度相同），则（ ）。[中南大学2009研A．干涉图样消失B．干涉图样中相邻最大值之间距离改变C．干涉图样向变宽狭缝移动D．干涉图样的最大强度与最小强度之差减小【答案】D【解析】A项，缝宽度的变化并不会影响产生干涉图样的条件——BC项，缝宽度变化也不会影响光程，干涉图样位置也不会因此发生变化．D项，只改变一个缝的宽度将导致从缝射出的两列光波振幅不同，因而最小强度无法变为0，最终导致干涉图样的最大强度与最小强度之差减小．题2中，如果探测器置于某一狭缝的旁边，由此可确定某一电是否通过该狭缝，则（ ）。[中南大学2009研]A．干涉图样向装探测器的狭缝移动BC．干涉图样消失【答案】C【解析】由题意，通过该狭缝的电子位置将会由于测不准原理导致光子动量不确定，以至于电子波长和频率会受到极大干扰，从狭射出的光波将不再是相干光，而干涉图样产生的重要条件之一就是参与干涉的光必须是相干光，因而干涉图样消失．二、填空题普朗克的量子假说揭示了微观粒子 特性，爱因斯坦的量子假说揭示了光的 性。[中南大学2010研]【答案】粒子性；波粒二象性【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说，爱因坦后来将此应用到了光电效应上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这位量子力学的诞生奠定了基础．对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的．除非体系于 。[中南大学2010研]【答案】本征值；定态【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值．三、简答题什么是定态？若系统的波函数的形式为，问Ψ（x，t）是否处于定态？[湖南大学2009研]答：体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化．不是，体系能量有E和-E两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值．及其理由。[南京大学2009研]答：量子态的叠加原理：若 为粒子可能处于的态，那这些态的任意线性组合仍然为粒子可能处于的态．叠加系数不依赖于时空变量．因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量。四、计算题设一维谐振子的初态为即基态与第一激发叠加，其中θ为实参数。求t时刻的波函数ψ(x，t)。求t时刻处于基态及第一激发态的概率。-ψ(x，t)所需的最短时间tmin。[中科院2010研]解：（1）一维谐振子定态能量和波函数：任意时刻t的波函数可表示为已知t=0时刻的波函数是由得， ，n=0,1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t的波函数可以表示为．t时刻处于基态的几率为，处于第一激发态的几．设 时刻粒子的波函数是，即可得，解得所以当n=1时有最小时间，即 ．2练习题一、选择题一维自由电子被限制在x和x+Δx处两个不可穿透壁之间，Δx=0.5埃，如果E0是电子最低能态的能量，则电子的较高一级能态的能量是少？（ ）[中南大学2009研]2E0B．3E0C．4E0【答案】C【解析】一维无限深方势阱中能级公式为，则可知，较级能量与基态能量比值为，由题意，基态能量为，则第一激发态能量为二、填空题自由粒子被限制在x和x＋1理．如果没有给出其他资料，则粒子在x和x＋1／3之间的概率是 。[中南大学2010研A．025B．033C．011D．067【答案】B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为上题中，按照量子力学．处于最低能态的粒子在x和x+l/3之间被找到的概率是 A．019B．072C．033D．050【答案】A

。[中南大学2010研]【解析】取x所求概率即三、计算题在一维情况下，若用Pab（t）表示时刻t在a＜x＜b子的几率．从薛定谔方程出发，证明其中J（x,t）是几率流密度．对于定态，证明几率流密度与时间无关．[华南理工大2009研设t时刻粒子的波函，波函数满足薛定谔方程：对（1）两端取复共轭得，（2）做运算得上式两边同除以移项得，则几率流密度公式为，上式可表示为 ，两端积分得：又由于t时刻在区间（a，b）内发现粒子的几率为：代入上式可得，（b）对于定态波函数，代入几率流密度方可得，是一个与t无关的量，故定态的几率流密度与时间无关．是线性谐振子的本征波函数，并此本征态对应的本征能量．式中A为归一化常数[华南理工大2009研]解：已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为，，本题中波函数本题中波函数所以 是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2，因此容易得到其，本征能量为质量为m的粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动．建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程．当粒子处于状态ψ（x）=ψ2（x）时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概率．其中ψ1（x）和ψ2（x）第一激发态．若上式的ψ（x）是t=0的波函数．[华南理工大学2010研]解：（a）如图建立坐标系，图2-1设，哈密顿算符波函数满足薛定谔方程当时，当时，令，则的通解可表示为利用边界条件得， 由归一化可解得，定态薛定谔方程的解为对应的定态能量为当粒子处于态时，能量的可能值及几率为：几率1/4；几率3/4任意时刻t的波函数可以表示为下面形式，其中，在此题中，故任意时刻t的波函数，其中粒子的一维运动满足薛定谔方程： ．若ψ1（x，t）和ψ2（x，t）与时间无关．若势能V不显含时间t程，并写出含时薛定谔方程的通解形式．[华南理工大学2011研]解：证：取式（1）之复共轭，得即=0所以与时间无关．设代入薛定谔方程，分离变量后，得E为既不依赖t，也不依赖r的常数．这样，所以因此，通解可以表示为其中，是满足不含时的薛定谔方程势阱：V（x）=－V0[δ（x+a）+δ（x－a）]，其中V0＞0，a＞0．推导在x=a处波函数的连接条件．对于偶宇称的解，即ψ（－x）=ψ（x），满足的方程，并用图解法说明本征值的数目．[华南理工大学2011研]解：（1）薛定谔方程可表示为为方程的奇点，在x=a对上述方程积分得出（2）由题意知当x＞a时，因此解为当-a＜x＜a时， 因此解为结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得化去A，C后可得，此即能量本征值所要满足的方程．图2-2所以满足此方程的本征值只有一个．验证球面波满足自由粒子的薛定谔方程：（注：，其中代表仅与角度有关的微分算符）[2008研]解：故（1）则故 （2）=E （3）由（1）（2）（3）式可得，此所需证明方程.一粒子在一维无限深势阱中运动，求粒子的能和对应的波函数．[湖南大学2009研]解：由一维定态薛定谔方程有又在边界处应该满足连续条件故，0＜x＜2a由归一化条件有故对应能量为设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为其中φn（x）为简谐振子的三个（n=0，1，2）最低能量的定态波函数．试求系数A=?t时刻的波函数φ（x，t）；t时刻的能量平均值．[南京大学2009研解：（1）由波函数的正交归一化条件有故.（2）一维谐振子能量为故t时刻波函数为.（3）各自对应概率为， ，t时刻粒子能量平均值为.设无外势场时，质量为μ能量为E＞0写．试导出决定S波（l=0）波函数的常微分方程；求出所有S波的球面波波函数；计算对应于S波解的速度流矢量并作出图示．[南京大学2009研]解：（1）无外势场可看做有心势场的特殊情况。则粒子在球坐标系中薛定谔方程为在s波情况下，l=0,,令，则.（2），故对应波函数为其中A为归一化系数．（3）概率概率流密度公式为球坐标系中明显与角度无关，故对应概率流密度的三个分量为而 ,故 ，同理.设粒子从x=-∞入射，进入一维阶跃势场：当x＜0时，V（x）=0；而当x＞0时，V（x）=V0（V0＞0）．如果粒子能量E＞V0，试写出波动方程式并求解；求透射系数；求反射系数并求与透射系数之和．[南京大学2009研解：（1）粒子波动方程为令则方程的解为，其中第一部分为入射波，第二部分为反射波，此即透射波函数．由波函数连续及波函数导数连续有，即解得则波函数为 ，其中.由概率流密度公式可知入射波函数概率流密度为反射波函数概率流密度为透射波函数概率流密度为透射系数即.显然R+T=1.一质量为m的粒子，可在宽为at=0的初始时刻其波函数为其中A为实常数．求A使ψ（x，0）满足归一化条件．如果进行能量测量，则能得到哪些能量值?的概率又是多少?再计算能量的平均值?求t时刻的波函数ψ（x，t）．[中南大学2010研]解（1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为初始时刻波函数可化为由归一化条件有解得A=.无限深方势阱中粒子的本征能量为.故粒子可能测能量即测得能量的平均值为.t时刻波函数为.3练习题一、选择题量子谐振子的能量是（ ）[中南大学2010研A．En＝hω（n＋1/2）En＝ħω（n＋1/2）C．En＝hv（n＋1/2）D．En＝ħv（n＋1/2）【答案】A【解析】由于谐振子的哈密顿算符为,而 本征值为于是谐振子能量为．下面关于厄米算符的定义式中．正确的为（ ）[中南大学2010研]A．B．C．D．【答案】A【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数．厄米算符定义式为 二、填空题力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 [中南大学2010研]【答案】厄米；实数【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符．在量子力学原理中．体系的量子态用希尔伯特空间中的 来描述．而力学量用 描述．力学量算符必为 算符，以保其 为实数．[中南大学2010研]【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）；厄米；本征值【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵．力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实．当对体系进行某一力学量Â的测量时．测量结果一般来说是确定的．测量结果的不确定性来源于 ．[中南大学2010研]【答案】测量的干扰【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性．三、简答题写出角动量的三个分量，的对易关系．[湖南大学2009研]答：这三个算符的对易关系为，，量子力学中的力学量算符有哪些性质?为什么需要这些性质[京大学2009研]答：量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质．符为厄米算符．四、计算题1．对于角动量算符，的表达式．[Lz,L±]和[L2,L±]证明：若f是L2和Lz的共同本征态，则L±f也是L2和Lz的本征态．在球坐标系中，求解Lz的本征方程．[华南理工大学2010研]解：（a）由得，，同理可得则的三个分量之间的关系通式为：，其中是符号．（b）若是和的共同本征函数，可设＝，则，可见是和的共同本征函数，本征值分别为．（c）在球坐标中，，代入 的本征方程 得利用周期性边界条件可得由归一化条件可得 ，则 的本征态为相应的本征方程为．2．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数．证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交．对于角动量算符，证明它是厄米算符，并且求解其本方程．[华南理工大学2011研]解：（1）证：对于厄米算符 ，因为存在，所以，即本征值为实数．（2）证： ．（3）因为．设本征方程为C为积分常数，可由归一化条件决定．又因为波函数满足周期性边界条件的限制，由此可得，即角动量z分量的本征值为是量子化的，相应本征函数记为．再利用归一化条件可得，即为其本征函数．相应的征方程为．3．（1）设算符对易，证明；（2）试将表示成的线性叠加．其中为单位算符[中科院2010研]证：利用化简可得：解：4．（1）求算符和的对易关系．（2）证明，其中．[北京航空航天大学2008研]解：即算符与不对易．证：则 得证．一粒子处于势场V（x）中，且势V（x）没有奇点．假设ψn（x）与ψm（x）是束缚态的波函数，相应的本征能量色En≠Em明这两个波函数对应的态矢正交．[武汉大学2008研]解：由题意III并在方程两边同时积分有考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式II有又，则III设粒子本征波函数完备集为，则由正交归一化条件有IV态矢为 ，态矢为即VIV、V代入III有此即，亦即两个波函数对应态矢正交．一体系初始时刻的态为（1）求（ψ，其中x＋iy．如果对z测量，能得到哪些结果？相应的概率又是多少？如果对z进行了测量，并得到结果lz＝－ħ，计算不确定度△Lx和△Ly及它们的乘积△Lx△Ly．[中南大学2010研]解：（1）由公式可得故．由题意，m＝1，0,1而本征值为 ，故可能测得值为．于是有．因此．4练习题一、选择题对力学量Â进行测量．要能得到确定结果的条件是（ ）[中南学2010研]A．体系可以处于任一态B．体系必须处于Â宏观态C．力学量Â必须是守恒量D．体系必须处于Â【答案】D【解析】于定态，而处于定态的条件即体系处于力学量对应的本征态.二、简答题什么是费米子?什么是玻色子?两者各自服从什么样的统计分布规律?[湖南大学2009研]答：费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子.费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.三、计算题设限制在边长为L已知的，其中基态是非简并的，而第一激发态与第二激发态都是3重简并的.具体而言，基态的本征能量与轨道波函数分别为E（1）与；激发态的本征能量与轨道波函数分别为E（2）与：第2激发态的本征能量与轨道波函数分别为E（3）与,．且前三个单粒子能级是等间隔的.设由4个上述单粒子构成的全同粒子体系，限制在边长为L的立方体中.计算体系的较低的2个本征能量及相应的简并度.[武汉大学2008研]解：题中并未给出粒子是费米子还是玻色子，故分两种情况讨论由题意I粒子为费米子此时粒子应该遵守泡利不相容原理，每个波函数最多容下两个粒子.体系最低能量对应波函数有其简并度为6.体系第一激发态能量其简并度为粒子为玻色子体系最低能量,其简并度为1.体系第一激发态能量为 ,其简并度为3.5练习题一、选择题中心力场中，算符2和z的共同征函数为Ylm（θ，φ），则关于这两个算符的本征值方程正确的式子是（ ）[中南大学2010研]A．B．C．D．【答案】C【解析】角动量的平方算符以及叫动量算符在z方向分量有着共同本征波函数，即球谐函数，它们满足如下关系二、计算题设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.[华南理工大学2009研]解：氢原子的定态能量为由氢原子所处的态函数所以氢原子能量的取值为 ，几率为1，能量的平均值为；角动量平方的取值为，几率为1，其平均值为；角动量z分量的取值为：1/4，3/4，其平均值＝己知氢原子的径向波函数 ，其中a为波尔半径.求归一化常数A。1 己知连带勒让德函数P0＝cosθ，P1＝sinθ，求氢原子的归一化本征函数ψ210，ψ211，ψ211 对于本征态ψ21－1，其对应的能量、角动量、角动量z少?[华南理工大学2011研]解：（1）.本征函数可以表示为所以.对于本征态 ，其对应的能量为角动量角动量的z分量.设t＝0时刻氢原子处于状态，其中，φ）是氢原子哈密顿算符的正交归一化本征波函数求：（1）t＝0时刻，体系能量的平均值.t＝0时刻，体系角动量平方L2的平均值.t＝0时刻，体系角动量x分量Lx的平均值.时刻，体系所处的状.[北京航空航天大学2008研]解：（1）由题意可知n＝2,3故t＝0时，体系能量平均值为.由题意知l＝1,2则 ，的平均值为.由关系式有 ①而②另外，由正交归一条件有③故t＝0时 平均值为.时刻体系所处的状态为.设氢原子处于状态：测得该原子的能量的可能值为多少?相应的概率又为多少?测得的角动量分量的可能值和相应概率为多少?[湖南大学2009研]解：（a）氢原子能级为玻尔半径.故氢原子可能能量为，对应概率为对应概率为（b）而可能取值为故可能取值有，对应概率，对应概率，对应概率氢原子处在基态，求：r的平均值；动能的平均值；动量的概率分布函数。[湖南大学2009研]【提示：，】解：（1）r的平均值即5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题由维里定理(为势能关于r的幂次)有动能平均值,而氢原子基态能量为，其中玻尔半径故5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各同性谐振子的能级和简并度， 与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.6练习题求电荷为q的一维谐振子在外加均匀电场E中的能级，哈密顿量为H＝[中科院2008研]解：记 ，，则哈密顿量可时的哈密顿量相比，相差一常数，且x，p换为 ，，对易关系变，而这不影响原有的能级，所以7练习题一、选择题下面哪组是泡利矩阵（ ）[中南大学2010研A．B．C．D．【答案】A【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系最终推导出泡利矩阵只能为再由.，二、计算题在和 的共同表象中，算符的矩阵为LX＝，求 的征值和归一化的本征函数，并将矩阵LX对角化.[华南理工大2009研]解：（1）设的本征方程为其中本征函容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为：。（2）将表象中 的三个本征矢并列，得到从表象表象变换矩阵 利用变换公式,得到的对角化矩阵 .质量为m的粒子处于角频率为ω的一维谐振子势中。写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数（一化）.写出在动量表象中的哈密顿算符.证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为.[华南理工大学2010研]解：（a）在坐标表象中一维谐振子的哈密顿算符为本征值和波函数：在动量表象中坐标算符可表示为 ，则一维谐振子的势能为则哈密顿算符为证：在动量表象中哈密顿的矩阵元可表示为设已知在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为试在Sy取值为的本征态下求Sx的可能取值和相应概率及Sx的平均值.[北京航空航天大学2009研]解： 可能取得的值有和－，设的本征态矢为则由可以解得 .同理由可以解得 时态矢为 ，概率为 ，态矢为 ，概率。平均值为求一宽度为a能量表象中的矩阵元[湖南大学2009研]【提示：，解：【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为】在势阱内有定态方程，①处于定态时有E>0,设则有由于势函数满足V（x）＝V（－x），则波函数满足奇宇称或偶宇称。满足偶宇称时有 ，注意到①有1,2,3则,再考虑到归一化条件 有注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态，则.同理，对奇宇称有，综合（1）（2）讨论有波函数本征能量 ，.矩阵元即若m＝n，可得到若 ，则可得8练习题计算题σx，σy，σz，表象中求σx和σy的归一化本征函数。若（cosα,cosβ,cosγ）为某一方向余弦，证明算符σn＝σxcosα＋σycosβ＋σzcosγ的本征值为±1，说明其物理意义。对于两个电子组成的体系，若用|↑〉和|↓〉分别表示单电子自旋平方和自旋z分量的共同本征态，证明态矢量|X〉＝|↑↓〉＋|↓↑系总自旋平方的本征态。[华南理工大学2010研]解：（1）在表象中，由和由的本征方程，很容易求得的本征值与本征矢：.（2）的本征方程可得，，故能取两个值：.（3）在耦合角动量表象中，总自旋与的共同本征其中则题中，故是的本征态.两个质量为m的粒子处于一个边长为a＞b＞c盒子中.求下列条件该体系能量最低态的波函数（只写出空间部分）及对应能量.非全同离子；零自旋全同离子；自旋为1／2的全同离子中国科学院2010研]解：单粒子在边长a＞b＞c的盒子中的定态波函数和定态能量为当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为对应能量为。系能量最低的函波数是对应能量为。对于自旋为1/2的。自旋对应的本征函数有4个：，，，。已知是交换反对称的，要配对称的空间波函数；，，是交换对称的，要配反对称的空间波函数。所以体系能量最低的态对应的波函数是：对应能量。Z方向的均匀磁场B中运动（只考虑自旋），在tX方向，求在t＞0时的自旋波函数以及Sy的平均值.[北京航空航天大学2008研解：在 和表象下由 可以解得时态矢为即t＝0时刻电子自选波函数 ＝ ＝，其中α和β分别为朝上和朝下时的波函数。电子由于自旋产生的能量对应哈密顿量为故α和β状态为 的本征态，对应本征值为和t＞0时刻电子自旋波函数应为写成矩阵形式即而平均值即：.设有三个自旋算符S0，S2，S3组成的系统，其哈密顿量为H＝AS1·S2＋BS2·S3＋BS3·S1，试给出系统的力学量完全集；求解能级；给出每一个能级的简并度.为书写简单计，可令约化普朗克常数[南京大学2009研]解：哈密顿量为其中,，故系统的力学量完全集为能量与无关，可由完全确定时，能量为时，能量为时，能量为 。当完全确定时，能级简并度将仅由可取值个数确定，时，，可取值的个数为2，故简并度为2时，，可取值个数为2，故简并度为2时，，可取值个数为4，故简并度为4.设Sx、Sy与Sz是自旋为1/2的粒子的沿x、y与zΦ是某一角度.写出粒子的自旋算符Sx，、Sy与Sz在Sz-式；将述算符的乘积化简为粒子自旋算符的线组合武汉大学2008研]解：（1），， .（2）由公式且令I其中n为正整数则上式即II题中 ，利用公式III则IV结合II、IV有所求即.。对于一个限制在边长为L的立方体中的自旋为1/2、质量为m的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.[武汉大学2008研]解：这是一个三维方势阱问题，，例子波函数为S,S为自旋波函数可分离变量得最终解得，代表例子自旋朝上和朝下两种状由于粒子自旋此时并不会对粒子能量产生影响故粒子能量基态对应波函数为对应波函数有对应波函数有考虑一自旋量于救s＝1的粒子，忽略空间自由度，并假定粒子处在外磁场中（为x轴的单位矢量），粒子的哈米顿算符为H＝gB·S若虬S2，Sz同本征矢|s，m1＞为基，求自旋算符S示.。如果初始时刻t＝0粒子的态为|11＞，求在t＞0后粒子的态?发现粒子处在|1-1＞态的概率是多少?[中南大学2010研解：（1）由于， ，故由于哈密顿量为则能量本征态对应于本征态.解得而故t＞0后粒子的态为.由于故所求概率为9练习题一、选择题在量子力学中．对每一个物理量A，都有一个厄米算符Â与之对应，若体系处在由波函数ψ（r，t）描述的态中．则在t时刻．对物理A测量时所得的平均值A．t为（ ）。[中南大学2010研]A．B．C．D．【答案】B【解析】物理量平均值定义为，分别为物理量本征值及取值概率，而 ，并考虑到正交归一化条件和力量算符的厄米性，于是．二、填空题体系处在用归一化波函数ψ（x）描述的状态．且此波函数可以力学量A所对应的厄米算符Â的本征函数系展开．即认为是归一的，则决定系数ck的表达式为 [中南大学2010研]【答案】【解析】由题意 ，在上式两边乘以 并积分得，考虑到正交归一化条件有是算符Â的本征值，则力学量A的平均值Ā＝ [中南大学2010研]【答案】【解析】由平均值定义式以及正交归一化条件有。题1中当对体系进行力学量A测量时，测量结果一般来说是不定的．但测量得到某一结果an的概率为 。[中南大学2010研]【答案】 ，为确定【解析】由题意，在上式两边乘以并积分得，考虑到正交归一化条件有而概率应该为 ，为定值．三、计算题一粒子在力学量的三个本征函数所张成三维子空间中运动，其能量算符和另一力学量算符的形式如其中a，b为实数．求的本征值和相应的归一化本征矢（用|u1>，|u2>和|u3>示）：证明的平均值不随时间变化．[北京航空航天大学2008研解：（1）由，令 ＝ 可得I由久期方程可得解得能量算符的三个本征值II将II式中各个值代入I式中可以得时态矢 ，即时态矢 ，即态矢 ，即 （2）显然，故，III其中k为的平均值而其中为3行的任意列矩阵，则＝0，k＝0 IVIV式可知，即的平均值不随时间变化．设质量为m的粒子处于势场V（x）＝－Kx中，K为非零常数。在动量表象中求与能量E对应的本征波函数ΦE（p）．[学2008研]解：显然势场不含时，属于一维定态问题，而也属于正幂级数故有定态方程I式中,令则I式可以化为令 ，上方程可化简为IIII式解得则其中C为归一化常数．基矢有两个：{φ1，φ2}，算有如下性质：Q表象的本征值和本征函数；已知粒子状态为，求测量力学量的可能值及相的概率和平均值。[湖南大学2009研]解：（1）先算出该算符在Q表象中的矩阵元。设其本证函数为则有①由久期方程 ，解得 ,再代回①可得，对应本征函数为，对应本征函数为．（2）粒子的力学量可能取值即其本征值．由题意时，相应概率为时，相应概率为．HamiltonianH，坐标算符为x。利用利用能量本征态的完全性关系，将用E。，表出，其是能量本征值为E。，的本征矢．[武汉大学2008研]解：，则。利用，可得。于是 ，即 ．10练习题一、简答题1．假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是，它的本征值（非简并）和本征函数已知：另一部分很小，可以看作是加于上的微扰.写出在非简并状态下考虑一修正下的波函数的表达式?及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式．[湖南大学2009研]答：一级修正波函数为二级近似能量为其中.二、计算题设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为，其中λ，T为常数.求很长时间后（t>>T）电子跃迁到激发态的概率中科院2010研]已知，a基态其中为玻耳半径.已知，基态基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零?简述理由。(a)ψ200； (b)ψ211； (c)ψ21-1； (d)ψ200解：（1）根据跃迁几率公式其中.可知，必须先求得根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为氢原子初态波函数为根据选择定则，终态量子数必须是记由初态到末态的跃迁矩阵元为将 代入跃迁几率公式（2）基态电子跃迁到、、的几率均为0，因不符合跃迁的选择定则。粒子在一维无限深势阱中运动.设该体系受到=λδ（x－a）的扰作用.利用微扰理论求第n能级的准至二级的近似表达式.指出所得结果的适用条件.[中科院2010研解：（1）一维无限深方势阱体系的零级近似波函数和零级近似能量： 求到二级，矩阵元一般形式则第n能级的二级近似能量.（2）结果适用的条件是 ， 即 .一体系未受微扰作用时只有三个能级：E01，E02及E03，现在受到微扰 的作用，微扰矩阵元为H′11=H′22=H′33=a，H′12=H′21=0，H′13=H′31=b，H′23=H′32=c；a，b和c都是实数.用微扰公式