2020高考压轴题平面向量的等和线、等差线、等积线、等商线等

平面向量基本定理系数的等值线法适用题型在平而向量基本怎理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达武及平方和时，可以用等值线法。二、基本理论（一）平面向量共线定理已知荡=久页十“农,若久十“则兄,召«三点共线：反之亦然（二）等和线平而内一组慕底鬲，而及任一向輦帀，OP=AOA+/uOBiA^eR）,若点P在直线肋上或在平行于#〃的直线上，则人（怎值）,反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线成为等和线。（1）当等和线恰为直线.4月时，k=\；（2）当等和线在0点和直线月B之间时，Ag（OJ）：（3）当直线肋在。点和等和线之间时，"（1・+小（4）当等和线过O点时.X-=0；（5）若两等和线关于O点对称•则足值&互为相反数：（6）定值*的变化与等和线到。点的距离成正比；（三）等差找平而内一组基底鬲.05及任一向量丽.莎=2石+“亦U，“wR）・C为线段月R的中点，若点P在直线OC上或在平彳亍于OC的直线上，则4"凰定值）仮之也成L我们把直线OC以及与直线OC平行的直线称为等差线。（I）当等羞线恰为直线OQ时，A=0：（2＞当等差线过/点时，k=\；⑶当等差线在宜线OC与点川之间时,仁（0」）;（4）当等差线与阳延长线相交时.丘丘（1・+力）：（5＞若两等差线关于直线OC对称，则两定值k互为相反数:

（四）等积线平面內一组慕底3105及任一向屋丽，丽=乂55+以丽若点尸在以直线OA.OB为渐近线的双曲线上，则®为定值*,反之也成立.我们把以直线.OAQB为渐近线的双曲线称为等积线（1>当双曲线有一支在厶1OB内时.斤>0：（2）当双曲线的两支都不在"QB内时.A-<0；（3>特别的.若oi=（a,feX^=k-*）»点尸在双曲线X1V2I_-A_=l（a>0.h>0）时，k=_：crb-4（五）等商线平面内一组基底鬲，亦及任一向量帀.OP平面内一组基底鬲，亦及任一向量帀.OP=AOA十"亦（入“eR）.若点P在过O点（不与04重合）的直线上.则-=A（^值），反之也成立。我们把过点O的直线（除外》称为等商线。（1）当等商线过中点时，k=\x（2）当等商线与线段（除端点）相交时.AG（l.+oo）；（3）当等商线与线段3C（除端点）相交时,Jte（OJ）：（4）当等商线即为OB时，*=0；（5）与等商线与线段/f延长线相交时.厂1）：（6）当等商线与线段延长线相交时.辰（70）：（7）当等商线与直线MB平行时，*=-1；（六）等平方和线平而内一组基底鬲，亦及任一向量QP・亦二加万+“亦以“wQ,且|^|=p|.若点P在以SOB角平分线対半长轴的椭圆上•则才+/为迳值I反之也成立，找们把以以厶OR角乎分线対半长轴的椭圆称为等平方和线■4411■>特别的.若尿關亦+"）•点P在双椭圆汩斧">0宀0）三、解题步骤1、确定等值线为1的线；2、平移｛旋转或伸缩）该线.结合动点的可行域.分析何处取得最大值和虽小值：3、从氏度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值：U!、几点补充U!、几点补充1、平而向量共线沱理的表达式中的三个向量的起点务必一致+若不一致.本着少数服从多数的原则，优先平務固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；五、典型例题例1给宦两个长度为丨的平面向^OA^OB「岂啲兰为120。，如图所示.点C在以O为圜心的圆弧乔上变动.若龙r鬲T函.其中-V.,re/?#则-V+y的最大值是_•例2在正六边形ABCDEF中，P是三角形CUE：内（包括边界）的动点，设AP-xAH+yAF■则x+y的取值范M答室：[3.4]

例3如图.在平行四边形ABCD中.M、N为CD边的三等分点.S为AM与BN的交点，P为边AB边上一动点，Q为△SMN内一点（含边界），若PQ=xAM+则X+y的取值范围是.答案:［討例4梯形ABCD中.ED丄AB.AD=DC=Z=3.P为三角形BCD内一点（包答案三括边界）.^AP=xAB^yAD＞则x+y的取值范国答案三ABAB例5设必分别是你7的边丛必上的点.込和.込評.若DE=；^IB+九7?（心人为实数），则人+人的值为.（注：此题为13江苏髙考题第8题，但点E为三等分的条件其实没有必要，可舍）答案,丄2例6任正方形ABCD中，E为眈中点.P为以也为直径的半圆弧上任意一点,设疋二.r75+j^P,则2x+y的最小值为.66例7在正方形ABCD中.E为.4B中点.尸为以力为圆心"为半径的圆弧上的任意一点，设走k的任意一点，设走k旋十yAP•则x+$的最小值为例8已知网卜阿=1,OP=xOM+yON（x,y为实数）.若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则x-y«Z值的穽仟为・答案：{1}例9己知椭圆E:盒+詁啲上顶点为儿直线尸_4交椭圆于”（竝C•的