2020高考文科数学空间证明专题突破训练(精编有答案)

求A到平面PBC的距离.求A到平面PBC的距离.2018年高考文科数学空间证明冲刺1.如图，直三棱柱ABC—ABC中，ZACB=1200且AC=BC=AA=2,E是棱iii1CC中点，F是AB的中点.i求证：CF//平面AEB；i求点B到平面AEB的距离.i2•在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA丄平面ABCD,EF分别是线段AD，PB的中点，PA=AB=i.求证：EF〃平面DCP；求F到平面PDC的距离.3•如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD丄底面ABCD，且PA二PD二兰AD.2求证：EF//平面PAD；求三棱锥C—PBD的体积.4.如图，四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD，PD=DC=2，点E,分别为AD，PC的中点.(I)证明：DF〃平面PBE(II)求点F到平面PBE的距离.5•如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD,E为PD的中点.(I)证明：PB〃平面AEC；(II)设AP=1,AD=T三棱锥P-ABD的体积6.如图，在长方体ABCD-ABCD中，AA=AD=a，AB=2a，E、F分别为CD.AD的中点.求证：DE丄平面BCE；求证：AF〃平面BDE.7•如图所示，在三棱锥P—ABC中，PC丄平面ABC,PC=3,D,E分别为线段AB,BC上的点，且CD=DE=•、込,CE=2EB=2.求证：DE丄平面PCD；求点B到平面PDE的距离.(1)求证：VB〃平面MOC；(2)求证：平面MOC丄平面VAB.(1)求证：VB〃平面MOC；(2)求证：平面MOC丄平面VAB.试卷答案所以FG〃CE且FG=CE.所以四边形CEGF为平行四边形，CF〃EG，8•如图，已知三棱锥A-BPC中，APIPC,AC丄BC,M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形.求证：BC丄平面APC；若BC=3,AB=10,求点B到平面DCM的距离.9•如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，ZDBA=30°,\§AB=2BD,PD=AD,PD丄底面ABCD,E为PC上一点，且PE=^EC.证明：PA丄BD；若AD=l屯，求三棱锥E-CBD的体积.10•如图，在三棱锥VABC中，平面VAB丄平面ABC,AVAB为等边三角形，AC丄BC且AC=BC,O,M分别为AB,VA的中点.11.在三棱柱ABC-A1B1C］中，侧面AA1C1C丄底面ABC,AA=AC=AC=AB=BC=2,且点0为AC中点.证明：A0丄平面ABC；1求三棱锥C-ABC的体积.11.(1)取AB中点G，连结EG、FG，则FG〃BB且iiFG=1BB21因为当e为CCi中点时，ce#BBl且ce=2BBi，又因为CF工平面AEB，EGu平面AEB，ii所以CF//平面AEB；1(2)因为AABC中，AC=BC，F是AB中点，所以CF丄AB.乂因为直三棱柱ABC-ABC中，CF丄BB，ABIBB11111所以CF丄平面ABB，C到平面ABB的距离为CF二1.11因为CC//平面ABB，所以E到平面ABB的距离等于C到平面ABB的距离等于1.1111设点B到平面AEB的距离为d.1V=V,—xSxd=—xSx1,B-AEBIE-ABB13AEB13ABB1易求2\：'3,S二2，解得d=i3AB#AEB1点B到平面AEB的距离为J3.12.G）方法一：取PC中点M，连接DM,MF，10M,F分别是PC,PB中点，•••MF//CB,MF二一CB，210E为DA中点，ABCD为正方形，•.DE//CB,DE=—CB，2MF//DE,MF二DE,四边形DEFM为平行四边形，EF//DM,0EF工平面PDC，DMu平面PDC，.EF//平面PDC.方法二：取PA中点N，连接NE，NF.QE是AD中点，N是PA中点，・・・NE//DP，又QF是PB中点，N是PA中点，:・NE//AB，QAB//CD，・NF//CD，又QNEINF=N，NEu平面NEF，NFu平面NEF，DPu平面PCD，CDu平面PCD，・平面NEF//平面PCD.又QEFu平面NEF，：・EF//平面PCD.方法三：取BC中点G，连接EG，FG，在正方形ABCD中，E是AD中点，G是BC中点又QF是PB中点，G是BC中点，:.GF//PC，又PCICD=C，GEu平面GEF,GFu平面GEF，PCu平面PCD,CDu平面PCD，•:平面GEF〃平面PCD.

QEFu平面GEF:・EF//平面PCD.（II）方法一：0EF//平面PDC,・•・F到平面PDC的距离等于E到平面PDC的距离，0PA丄平面ABCD,:-PA丄DA,0PA=AD=1，在RtNPAD中DP=72,0PA丄平面ABCD,:.PA丄CB，又0CB丄AB,PAIAB=A,ABu平面PAB,PAu平面PAB,・・CB丄平面PAB，又QPBu平面PAB,・・・CB丄PB，故PC=43.PD2+DC2=PC2,・A・APDC为直角三角形，QVE_PDCC-PDE设E到平面PDC的距离为h,・h・h2・・・F到平面PDC的距离亍.方法二：QEF//平面PCD,・点F到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，又QADI平面PCD=D,E是AD中点，•:点A到平面PCD的距离等于点E到平面PCD距离的2倍.取DP中点H，连接AH，由AD=AP得AH丄PD,由AB丄AP,AB丄AD,ADIAP=A,APu平面PAD,ADu平面PAD,/.AB丄平面PAD,又QAB//CD/CD丄平面PAD,二平面PCD丄平面PAD.又Q平面PCDI平面PAD=PD,AH丄PD,AHu平面PAD,/AH丄平面PCD,/•AH长即为点A到平面PCD的距离,由AP=由AP=AD=1AP丄ADAH=J2・・・E点到平面PCD的距离为亍即F点到平面PCD的距离为孚43.连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在ACPA中，EF//PA,且PAu平面PAD，EF匸平面PAD，.•・EF//平面PAD；取AD的中点N，连结PN，丁PA二PDPN丄AD,又平面PAD丄平面ABCD，平面PADI平面ABCD二AD，.PN丄平面ABCD，・•・V=VC・•・V=VC-PBDP-BCD=1S3ABCDgPN=111a34.【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】(I)取PB的中点G,连接EG、FG,由已知结合三角形中位线定理可得DE〃FG且DE=FG,得四边形DEGF为平行四边形，从而可得DF〃EG，再由线面平行的判定可得DF〃平面PBE；(II)利用等积法可得：VD_pBE=Vp_BDE，代入棱锥体积公式可得点F到平面PBE的距离．【解答】(I)证明：取PB的中点G,连接EG、FG,则FG〃BC,且FG=^BC.•.•DE〃BC且DE=^BC,・・・DE〃FG且DE=FG,・•・四边形DEGF为平行四边形，.•・DF〃EG,又EGu平面PBE,DF©平面PBE,.•.DF〃平面PBE；(II)解：由(I)知，DF〃平面PBE,・•・点D到平面PBE的距离与F到平面PBE的距离相等，故转化为求D到平面PBE的距离，设为d,利用等体积法：Vd_pbe=Vp_bde，即九F亏迄釧返3DE亏四「AB二1,

5.【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）设BD与AC的交点为0,连结E0,通过直线与平面平行的判定定理证明PB〃平面AEC；（II）通过AP=1,AD=f，三棱锥P-ABD的体积求出AB,作AH丄PB角PB于H,说明AH就是A到平面PBC的距离.通过解三角形求解即可.【解答】解：（I）证明：设BD与AC的交点为0,连结E0,•••ABCD是矩形，••・0为BD的中点•E为PD的中点，••・EO〃PB.EOu平面AEC,PB平面AEC•PB〃平面AEC；（II）TAP=1,AD卡，三棱锥P-ABD的体积（II）TAP=1,AD卡，三棱锥P-ABD的体积作AH丄PB交PB于H,由题意可知BC丄平面PAB,•BC丄AH,故AH丄平面PBC.又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面A到平面PBC的距离3136.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.【分析】（I）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直：DE丄BC,DE丄EC从而得到线面垂直.（II）要证线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件：在平面BDE内找一条与AF平行的直线，通过平行关系的相互转化可的线线平行继而得到线面平行.【解答】解：（I）证明：TBC丄侧面CDDC,DEu侧面CDDC,1111•DE丄BC,在厶CDE中，CD=2a,CE二DE二叮2a,则有O二CE2+DE2,.\ZDEC=90o,.•.DE丄EC,又BCnEC=C.DE丄平面BCE.(II)证明：连EF、AC,连AC交BD于0,11•••EF星AO星•°・四边形AOEF是平行四边形，.•・AF〃OE又TOE平面BDE,AF平面BDE,•AF〃平面BDE.7.证明：由PC丄平面ABC,DEu平面ABC，故PC丄DE由CE=2,CD=DE=\2，得\CDE为等腰直角三角形，故CD丄DE,又PCcCD=C,故DE丄平面PCD.由(1)知，ACDE为等腰直角三角形，ZDCE=-,4过D作DF垂直CE于F，易知DF=CF=EF=1，又DE丄平面PCD，所以DE丄PD,PDPC2+CD2=打？,设点B到平面PDE的距离为h，即为三棱锥B-PDE的高，由V=V得-S-h=-S-PC,B—PDEP—BDE3APDE3ABDE即X、込Xh=1X1X3，所以h=3:22,22所以B到平面PDE的距离为3竺.228.【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MK：点、线、面间的距离计算.【分析】(I)根据正三角形三线合一，可得MD丄PB,利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP丄PB,由线面垂直的判定定理可得AP丄平面PBC,即AP丄BC,再由AC丄BC结合线面垂直的判定定理可得BC丄平面APC；(II)记点B到平面MDC的距离为h,则有V=V.分别求出MD长，及厶BCD和AMDCM-BCDB-MDC面积，利用等积法可得答案．【解答】证明：（1）如图，•••△PMB为正三角形，且D为PB的中点，AMD丄PB.又TM为AB的中点，D为PB的中点，.•・MD〃AP,AAP丄PB.又已知APIPC，PBHPC=P,PB，PC平面PBCAAP丄平面PBC，AAP丄BC,又VAC丄BC,ACnAP=A,ABC丄平面APC,…解：（II）记点B到平面MDC的距离为h,则有V=VM-BCDB-MDC•AB=10，AMB=PB=5，又BC=3,BC丄PC,APC=4，又,9.考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质.【分析】（1）在^ABD中，不妨设AB=2,BD='「g,由余弦定理可得AD，则AD2+BD2=BA2,从而得到BD丄AD，结合PD丄底面ABCD，得BD丄PD，再由线面垂直的判定可得BD丄平面PAD，则PA丄BD；（2）过E作EF丄CD于F,则三棱锥E-CBD的高为EF，由已知可得EF.再由（1）知BD,代入三棱锥E-CBD的体积公式求解.【解答】（1）证明：在厶ABD中，由余弦定理可得：AD2=BA2+BD2-2BA・BD・cosZDBA,不妨设AB=2，则由已知3AB=2BD，得BD=l：；・好二金+..3X字二1，则AD2+BD2=BA2,.•・ZADB=90。，即BD丄AD,又PD丄底面ABCD,.BD丄PD,而ADHPD=D,.BD丄平面PAD，则PA丄BD；（2）解：过E作EF丄CD于F,则三棱锥E-CBD的高为EF,由已知可得EF卡PX#由（1）知BD=ADUm】$『2,・•・三棱锥E-CBD的体积V=£险田】吨二存护/6x3..'2X耳；10.【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS:直线与平面平行的判定.【分析】（1）由0,M分别为AB,VA的中点，得OM〃VB，即可得VB〃平面MOC.（2）由AC=BC,0为AB的中点，得0C丄AB.又平面VAB丄平面ABC，得0C丄平面VAB.平面MOC丄平面VAB.【解答】解：（1）证明因为0,M分别为AB,VA的中点，所以OM〃VB,又因为VB平面MOC,OMu平面MOC,所以VB〃平面MOC.（2）证明因为AC=BC,O为AB的中点，所以OC丄AB.又因为平面VAB丄平面ABC,且OCu平面ABC,所以OC丄平面VAB.又OCu平面MOC,所以平面MOC丄平面VAB.【点评】本题考查了空间线面平行的判定,面面垂直的判定,属于中档题.11.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定.【分析】（I）推导出AO丄AC，由此能证明AO丄平面ABC.11（II）推导出C到平面ABC的距离等于A到平面ABC的距离，从而V