相交线与平行线知识点与练习

相交线与平行线知识点与练习相交线与平行线知识点与练习28/28相交线与平行线知识点与练习知识点一：邻补角定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这样的关系的两个角互为邻补角。留意：（1）邻补角形成的前提是两直线相交；（2）互为邻补角要同时满意三个条件：1,有公共顶点；2,其中一边是公共边；3,另一边互为反向延长线；（3）邻补角包含了两个角的位置关系，又包括两个角的数量关系。“邻”指位置相邻的，“补”指两个角的和为180°。若两个角互为邻补角且度数之比为3：2，求这两个角的度数。知识点二：对顶角定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。例1：如图所示：直线AB,CD相交于点O，OE,OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是（）A.∠AOF和∠DOEB.∠EOF和∠BOEC.∠BOC和∠AODD.∠COF和∠BOD对顶角的性质：对顶角相等。例2：如图，直线EF交直线AB,CD于G,H两点，∠1=∠2，∠3=120°，求∠4的度数。练：如图，直线AB,CD,EF相交于点O，∠AOE=24°，∠BOC=3∠AOC，求∠DOF的度数。知识点三：垂线定义：两条直线相交成90°角，则这两条直线相互垂直。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。假如a是b的垂线，则b也是a的垂线，写成：a⊥b或b⊥a。例：如图所示，已知直线AB,CD,EF相交于点O，且CD⊥AB。∠AOE:∠AOD=2：5，求∠BOF,∠DOF的度数。知识点四：垂线的画法三角板画法：一落：让直角三角形的一条直角边落在已知直线上，即及已知直线重合；二移：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点；三画：沿及已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线。量角器画法：一落：将量角器的0°刻度线及已知直线重合；二移：沿已知直线移动量角器，使90°刻度线经过已知点，作出90°刻度线上的另一点；“三画”用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线。例：如图所示：直线AB,CD相交于点O，Q是CD上一点。过点Q画AB的垂线，E为垂足；过点O画CD的垂线。知识点5：垂线的性质：性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线于已知直线垂直。“有”表示存在，“只有”表示唯一。性质2：连接直线外一点及直线上各点的全部线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。例：如图，在铁路旁边有一个村庄A，现要建一个火车站，为了使此村庄的人乘火车最便利（即距离最近），应怎样选择火车站的位置呢？请你画图说明，并说明其中所蕴含的数学道理。垂直,垂线,垂线段的概念辨析：垂直：直线AB，CD相交，所交的角是90°，AB及CD相互垂直。垂线：两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，单独一条直线不能叫做垂线。垂线段：连接直线l外一点A及直线l上各点的线段中，及直线l垂直的线段叫做点A到直线l的垂线段。例：下列说法不正确的是（）经过一点能画一条直线和已知直线垂直；B.一条直线可以有多数条垂线C.在同一平面内，过射线的端点及该射线垂直的直线只有一条D.过直线外一点并过直线上一点可画一条直线及该直线垂直点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例：如图所示，找出图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段。知识点6：同位角,内错角,同旁内角直线AB，CD被直线EF所截，形成了8个角。同位角：两个角都在两条被截线同一方，并在截线的同侧，这样一对角叫做同位线。内错角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两侧，这样一对角叫做内错角。同旁内角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角。例：如图，指出图中的同位角,内错角,同旁内角。练1：如图所示，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠B中，同位角是_______________________________，内错角是_______________________________，同旁内角是______________________________________。练2：如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截取而得到的，并说明它们的名称：∠1和∠9；∠1和∠2；∠3和∠5；∠2和∠7；∠5和∠8；∠6和∠7；∠6和∠8；∠8和∠9；∠4和∠7。练习：如图所示，M，N是直线AB上两点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠1及∠2，∠3和∠4是对顶角吗？2,“假如∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3互补”这种说法正确吗？3,下列推断中错误的是（）A.一条线段有多数条垂线B.若两条直线相交，则它们相互垂直C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线相互垂直。D.在同一平面内，过线段AB的中点有且只有一条直线及线段AB垂直4,下列选项中，∠1及∠2是同位角的是（）5,如图1，直线a和直线b相交于点O，∠1=50°，则∠2=__________.6,如图2，直线AB,CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE=_______.7,如图3，点A，O，B在同一条直线上，已知∠BOC=50°，则∠AOC=_______。8,如图4，已知∠BOC=30°，OD平分∠BOC，则∠AOD=_______.9,如图5，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为__________.10,如图6，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A.20°B.40°C.50°D.60°11,如图7，及∠1是内错角的是（）A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5知识点一：平行线的定义及表示方法定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。如图，直线a及直线b相互平行，记作a//b。留意：两条线段或射线平行是指这两条线段或射线所在的直线相互平行。例：下列说法：①在同一平面内，不相交的两条线段平行；②在同一平面内，射线a及射线b没有交点，则a//b；③若两直线l，l平行，则l上的线段AB及l上的射线OP确定平行；④若直线m及直线n没有交点，则m//n。其中，正确的个数是（）A.4B.3C.2D.1知识点二：平行线的画法利用三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线口诀：一落，二靠，三推，四画。一落：将三角尺的一边落在已知直线上二靠：将直尺紧靠三角尺的另两边的随意一边；三推：沿直尺移动三角尺，使三角尺一边正好经过已知点；四画：沿过已知点的三角尺的一边画直线。例：读下面的语句，并作图：（1）如图1，过点A作AF//CE，交BC于点F.（2）如图2，过点C作CE//AD，交BA的延长线于点E。知识点三：平行公理及推论1,平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线及这条直线平行。2,平行公理的推论（平行线的传递性）：假如两条直线都及第三条直线平行，则这两条直线也相互平行，即假如a//b，c//b，则a//c。例：同一平面内，已知直线AB及EF相交于点M，AB//CD，则EF及CD具有怎样的位置关系？为什么？例：如图，直线a//b，b//c，c//d，则a//d吗？为什么？例：下列说法中正确的是（）1.一条直线的平行线只有一条；②过一点及已知直线平行的直线只有一条；③因为a//b，c//d，所以a//d；④经过直线外一点有且只有一条直线及已知直线平行。A.1个B.2个C.3个D.4个知识点四：平行线的判定判定方法1：两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，则这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行。符号语言：∵∠1=∠2，∴l//l。判定方法2：两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，则这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行。符号语言：∵∠2=∠3，∴l//l。判定方法3：两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，则这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行。符号语言：∵∠2+∠4=180°，∴l//l。例：如图所示：依据下列条件，可推出哪两条直线平行，并说明依据。（1）∠ABD=∠CDB；（2）∠CBA+∠BAD=180°；（3）∠ABC=∠DCE知识点五：平行线判定方法的推论推论：在同一平面内，假如两条直线都垂直及同一条直线，则这两条直线平行。符号语言：∵a⊥c，b⊥c，∴a//b。知识点六：推断两条直线平行的方法1,定义；2,假如两条直线都及第三条直线平行，则这两条直线平行；3,同位角相等，两直线平行；4,在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行；5,内错角相等，两直线平行；6,同旁内角互补，两直线平行。例：如图，∠1=∠A，∠2及∠B互余，DE⊥BC于点F，试确定图中哪些直线平行，并说明理由。练习：1,下列结论正确的个数是（）（1）两条不相交的直线叫做平行线；（2）过一点有且只有一条直线及已知直线平行；（3）在同一个平面内，不相交的两条射线是平行线；（4）假如两条直线都及第三条直线平行，则这两条直线也相互平行。A.1B.2C.3D.42,如图1，由下列条件可判定哪两条直线平行？(1)∠1=∠3；（2）∠2=∠43,对于图2中的标记的各角，下列条件能够推理得到a//b的是（）A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠3=∠4D.∠1+∠4=180°4,如图3所示，已知∠1=∠2，则图中相互平行的线段是__________.5,如图4所示，能判定EB//AC的条件是()A.∠C=∠ABEB.∠A=∠EBDC.∠C=∠ABCD.∠A=∠ABE6,如图5所示，下列条件中能推断直线l//l的是（）A.∠1=∠2B.∠1=∠5C.∠1+∠3=180°D.∠3=∠57,如图6，已知∠ACD=70°，∠ACB=60°，∠ABC=50°，求证：AB//CD8,如图7所示，若∠B=102°，∠1=78°，则AB及CD平行吗？请说明理由。知识点1：平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等。几何语言：∵l//l，∴∠1=∠2。性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角相等。几何语言：∵l//l，∴∠3=∠2。性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角相等互补。几何语言：∵l//l，∴∠4+∠2=180°。例：如图所示，假如AB//EF，DE//BC，且∠4=115°，则你能说出∠1,∠2,∠3的度数吗？为什么？两角间的数量关系两直线间的位置关系知识点2：命题定义：推断一件事情的语句，叫做命题。组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。表达形式：通常写成“假如……则……”的形式，这时“假如”后接的部分是题设，“则”后接的部分是结论。分类：假如题设成立，则结论确定成立的命题，叫做真命题，反之，命题中题设成立时，不能保证结论确定成立的命题叫做假命题。留意：（1）命题必需是一个完整的句子，是对事情作出确定或否定的推断。（2）命题一般为陈述句，其他如疑问句,感叹句,祈使句以及表示画图的语句都不是命题。例：指出下列命题的题设和结论，并将其改写为“假如……则……”的形式。同位角相等；等角的余角相等；直角相等；两点确定一条直线知识点3：定理及证明定理：经过推理证明得到的真命题叫做定理。证明：一个命题的正确性，须要经过推理，才能作出推断，这个推理的过程叫做证明。留意：（1）定理都是真命题，但真命题不确定都是定理。（2）证明中的每一步都要依据，这些依据可以已知条件，也可以是学过的定义，定理等。例：填写下列证明过程中的推理依据。如图：已知AC,BD相交于点O，DF平分∠CDO及AC相交于点F，BE平分∠ABO及AC相交于点E，∠A=∠C.求证：∠1=∠2。证明：∵∠A=∠C（已知）∴AB//CD(______________________________________)∴∠ABO=∠CDO（___________________________________）又∵DF平分∠CDO，BE平分∠ABO（已知）∴∠1=∠CDO，∠2=∠ABO（_______________）∴∠1=∠2（等量代换）。实力点1两条平行线间的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。例：如图所示，直线l//l，点A，B在直线l上，点C，D在直线l上，若△ABC的面积为S，△ABD的面积为S，则（）A.S＞SB.S=SC.S＜SD.不确定例：下列命题中：①邻补角是互补的角；②相等的角是对顶角；③同位角相等；④两锐角的和不确定是钝角。其中正确的个数是（）0B.1C.2D.3练习：1,如图，已知直线a，b被直线c所截，以下结论正确的有（）。①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠2=∠3；④∠3+∠4=180°A.1个B.2个C.3个D.4个2,如图所示，直线a//b，∠1=70°，求∠2的度数。推断下列语句是否是命题，假如是，请写出它的题设和结论，并推断真假。内错角相等；（2）对顶角相等；（3）画一个60°的角如图，AB//CD，MN和PQ分别平分∠EMB和∠EPD，求证：MN//PQ.5,如图1所示，直线AB//CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G，若∠1=42°，则∠2的大小是（）A.56°B.48°C.46°D.40°6,如图2所示，已知直线a,b被直线c所截，a//b，∠1=60°，则∠2的度数为（）。A.30°B.60°C.120°D.150°7,如图3所示，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，∠2=（）。A.70°B.90°C.110°D.80°8,如图3所示，已知AB//CD，AD和BC相交于点O，∠A=50°，∠AOB=105°，则∠C等于（）A.20°B.25°C.35°D.45°9,如图4所示，直线a,b被直线c所截，a//b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（）A.40°B.50°C.70°D.80°10,如图5，AB//CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，则∠ACD的度数为()A.40°B.35°C.50°D.45°知识点1平移的概念在平面内，把一个图形整体沿某始终线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移。如图，三角形ABC沿直线MN方向平移到三角形ABC,点A及点A叫做对应点，点B,C及点B,C也分别是对应点；线段AB及线段AB是对应线段，线段BC，CA及线段BC，CA也分别是对应线段；∠A及∠A是对应角，∠B，∠C及∠B，∠C也分别是对应角。三角形ABC平淡方向也可以看成有点A（或B，C）到点A（或B，C）的方向，平移的距离就是线段AA(或BB，CC)的长度留意：（1）平移是一种运动形式，是图形变换的一种状况；图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据。图形的平移是指图形的整体平移图形的平移实质是将图形上全部点沿同一方向移动相同的距离。例：下列运动不是平移的是（）传送带上物品的运动；②电梯的升降；③火车在平直的铁轨上运行；④门围着门框旋转；⑤奥运五环旗图案的形成过程；⑥电风扇的转动①②B.③④C.④⑥D.③⑤知识点2平移的性质平移中的对应点：新图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。平移的性质：因为平移前后两个图形的大小,形态完全相同，所以平移前后的对应线段平行（或在同始终线上）且相等，对应角相等。图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；图形平移前后对应点所连的线段平行（或在同始终线上）且相等。例：如图所示，图中有两个梯形ABCD和EFGH，其中梯形EFGH是由梯形ABCD向右平移2.1cm后得到的，问：线段AE,BF,CG,DH有什么数量关系？AB及EF,BC及FG,CD及GH,AD及EH之间有什么位置关系？∠BAD及∠FEH,∠ABC及∠EFG,∠BCD及∠FGH,∠ADC及∠EHG之间有什么数量关系？知识点3平移作图平移作图步骤：一找：找出平移的方向和距离；二定：比照详细图形，确定关键点；三移：依据既定方向和距离平移图形中的关键点；四连：顺次连接关键点的对应点，得到平移后的图形。例：如图所示，平移三角形ABC，使点A移动到A，画出平移后的三角形ABC。练习：下列现象不属于平移的是（）A.小华乘电梯从一楼到三楼B.足球在操场上沿直线滚动C.一个铁球从高处自由下落D.小挚友坐滑梯下滑2,如图，三角形ABE沿着BC方向平移到三角形FCD的位置，若AB=4cm，AE=3cm，BE=2cm，BC=5cm，则CF,CD,DF,EF的长分别是多少？下列运动：①海浪的运动；②屏幕上一串移动的字幕；③被投掷出去的铅球运动；④沿圆形跑道跑步的运动员，其中属于平移的有_________4,如图所示，三角形FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC？（）A.沿EC的方向移动DB长B.沿BD的方向移动BD长C.沿EC的方向移动CD长D.沿BD的方向移动DC长5,下列说法中，不正确的是（）A.图形平移前后，对应线段,对应角相等B.图形平移后，连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等C.图形平移过程中，对应线段确定平移D.图形不论平移到何处，它及原图形的面积总是相等的6,如图所示，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A.6B.8C.10D.127,如图所示，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为________复习专题一：相交线两直线相交成四个角：位置上来看，其中两对角的两边互为反向延长线，这样两对角叫对顶角；还有四对角，每对角都有一条公共边，另一对边互为反向延长线，这样四对角称为邻补角。从大小来看对顶角相等，邻补角互补。垂直是相交的特别状况，当两直线相交成90°角时，这两条直线就相互垂直了。可以写成∵∠AOB=90°∴AO⊥OB，或∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°。例：如图，已知直线AB及CD相交于点O，EO⊥CD于O，OF平分∠AOD且∠BOE=50°，求∠COF的度数。复习专题二：平行线的判定推断两直线平行目前有6种方法：是利用平行的定义（在同一个平面内，不相交的两条直线叫平行线），但是利用平行的定义只能定性地推断，不能定量的推断；是利用“平行于同一条直线的两条直线相互平行”，是探讨三条直线相互平行时常用的方法；利用同位角相等来证明两直线平行；利用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”，运用时必定出现两个垂直；利用内错角相等来证明两直线平行；利用同旁内角互补来证明两直线平行。1,2,4的方法运用有局限性，一般都是依据角度关系来证明两直线平行。例：如图，∠B=∠C，∠DAC=∠B+∠C，AE平分∠DAC，试说明AE//BC。复习专题三：平行线的性质两直线平行，同位角相等,内错角相等,同旁内角互补，因此平行线性质最直接的运用是：已知两直线平行，可以推断出角相等或互补。平行线的性质是证明不同顶点的两个角相等的常用工具。例：已知，如图AB//CD，OE平分∠AOC，OE⊥OF，点O为垂足，∠C=50°，求∠AOF的度数。复习专题四：平移学习了平移的概念，平移的基本特征以及运用平移作图。确定平移的因素是平移的方向和平移的距离，平移不改变图形的形态和大小，平移前后的对应点的连线段以及对应线段平行（或在同条直线上）且相等。例：如图，将字母k按箭头所指方向平移1.8cm，作出平移后的图形。复习专题五：方程思想方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立方程，然后通过解方程使问题得到解决的思维方式。例：如图，FC//AB//DE，∠α：∠D：∠B=2：3：4，求∠α,∠D,∠B的度数。复习专题六：分类探讨思想当被探讨的对象包含多种可能状况，导致我们不能对它们一概而论，必需依据出现的全部状况进行分类探讨，得出各种状况下相应的结论。这就是分类探讨思想。分类探讨思想能使困难,繁琐的问题条理化,简单化。例：在∠ABC和∠DEF中，DE//AB，EF//BC，请你尝摸索究∠ABC和∠DEF的关系。复习专题七：转化思想在几何推理中，已知条件和要求的结论之间经常须要转换，转化是常用的推理形式，必要时还须要添加协助线进行转化。例：如图，AB//CD，∠1=∠B，∠2=∠D，试说明BE⊥DE。复习专题八：数形结合思想平行线的判定是由角及角的数量关系到“形”的判定，而性质则是“形”到“数”的说理，探讨两直线的垂直或平行的共同点是把探讨它们的位置关系转化