常微分第一章

常微分方程OrdinaryDifferentialEquations孙书荣济南大学数学科学学院Semester1,2014-2015Welcometomyclass!/ode.html11.什么是常微分方程？---微分(导数)代数方程三角方程函数方程微分方程方程第一章绪论2在微积分中我们已经知道，函数例如：导数本身依然为函数.在

可微，且如果将右端用符号代替，则得3含有未知函数的导数或微分的方程.Definition微分方程（DifferentialEquation）或具体地联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式.4只含有一个自变量（或未知函数是一元函数）的微分方程称为常微分方程；自变量的个数多于一个的微分方程称为偏微分方程。微分方程是数学学科联系实际的主要桥梁之一。可以说，凡采用无穷小分析方法研究物质世界运动状态的问题大都离不开它。毫不夸张地说，微分方程是自然科学、工程科学中最普遍且最重要的数学模型。作为课程，它是数学与应用数学、信息与计算科学等专业本科生的重要专业基础课程之一，也是理工科高等数学的重要组成部分。5常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的。历史上，它的雏形甚至比微积分的发明还早。纳泊尔发明对数，伽利略研究自由落体，笛卡尔在光学问题中由切线的性质定出镜面的形状等，实际上都需要建立和求解微分方程。2.微分方程的历史发展概况起始于1675.

奠基人:IsaacNewton(1642-1727)GottfriedWilhelmvonLeibniz(1646-1716)在DE历史发展中具有里程碑作用的两个问题：二体运动，海王星的发现6GalileoGalilei(1564–1642)FreeFallingObjectmgOyy=y(t)MathematicalModelNatureiswritteninthelanguageofmathematics.7LeonhardEuler(1707-1783),AlexisClaudeClairaut(1713-1765),JosephLouisLagrange

(1736-1813),JeanLeRondd'Alembert(1717-1783).

常微分方程研究的历史发展大体可分为四个阶段：17世纪末到18世纪；19世纪初期和中期；19世纪末期及20世纪初期，以及20世纪中期以后。(1).17世纪末到18世纪是常微分方程产生和发展的第一个阶段。研究中心问题是求常微分方程的通解.JacopoRiccati's(1676-1754),Bernoulli家族,8(2).19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期。

Cauchy等人完成的常微分方程奠定性工作——解的存在唯一性定理，由此开创了常微分方程解析理论；另一方面，Liouville在19世纪40年代证明了黎卡提方程一般不能用初等积分法解出。Sturm的工作提出了对解进行定性的最初思想。9(3)19世纪后半叶和20世纪初。SophusLie的工作促使微分方程的研究重点转向了解析理论和定性理论。19世纪末，由Poincare和Liapunov分别创立了常微分方程定性理论和稳定性理论，代表了一种崭新的研究非线性方程的新方法，其思想和作法一直深刻地影响到今天。

20世纪初，Birkhoff在动力系统方面开辟了一个新领域。10(4)20世纪中期起，常微分方程的发展既深又广，进入了一个新的阶段，包括了四个方面的工作。第一是由于工程技术的需要而产生新型问题和新的分支。常微分方程与其它学科或领域相结合而出现各种新的研究分支，如：控制论，分支理论，泛函微分方程，脉冲微分方程，时间尺度上的微分方程，分数阶微分方程，（倒向）随机微分方程等。11倒向随机微分方程理论是90年代兴起的研究领域,而与之相对应的正向随机微分方程的发展却有半个多世纪的历史,并出现许多优美的数学结果以及在很多方面获得了应用。它不仅有直接的应用背景,并且与其它数学分支如测度论、偏微分方程、微分几何、势论等发生了非常自然的而且常常是意想不到的联系,互相促进,相映生辉.许多著名的数学家都为之吸引,在这一领域作出了杰出的贡献.其结果又反过来促进了其它学科的进展.近期一个典型的例子就是P.L.Lions等提出的非线性二阶偏微分方程的粘性解理论,其直接动力就是来源于他在随机微分方程和随机控制理论方面的研究.倒向随机微分方程法国科学院院士、著名数学家Bismut1973年在他的博士论文中首次探讨了倒向随机微分方程的概念,提出了线性倒向随机微分方程并且获得了它的存在唯一性定理。但是这个结果仅在较小的范围里,主要是随机最优控制理论界引起了注意,人们也不知道一个一般的非线性的倒向随机徽分方程是否存在,是否有意义。BackwardStochasticDifferentialEquations121990彭实戈院士和他的合作者E.Pardoux发表了“具有适应解的倒向随机微分方程”一文，提出一般的非线性的倒向随机微分方程的框架,并且解决了作为其理论基础的存在唯一性定理。倒向随机微分方程的理论研究的历史较短,但进展却很迅速.除了其理论本身所具有的有趣的数学性质之外,还因为发现了重要的应用前景.1992年，著名经济学家Duffie和Epstein也独立地发现可以用这一方程的一个特别典型的情况来描述不确定经济环境下的消费偏好(即效用函数理论——这是计量经济学的基础.彭通过倒向随机微分方程获得了非线性Feynman-Kac公式,从而可以用来处理诸如反应扩散方程和Navier-Stokes方程等众所周知的重要非线性偏微分方程组.法国数学家EiKaroui和Quenez发现倒向随机徽分方程可以应用于金融领域,金融市场的许多重要的派生证券(如期权期货等)的理论价格可以用倒向随机微分方程解出.特别是应用于作为现代金融理论的核心的衍生证券定价理论。而对于这个理论的数学—金融数学又刚刚起步,所以这个研究方向引起了人们对倒向随机微分方程很大的兴趣。这导致了1996年首届倒向随机微分方程及其应用国际学术会议的召开。13倒向随机微分方程的研究之所以大大滞后于正向随机微分方程,倒向方程发展晚得多的主要原因是技术上和思路上存在障碍。首先,正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别.所以难以从正向随机微分方程出发猜想出倒向随机微分方程的形式.其次,从应用的角度讲.正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标.从认识论的观点来看这一滞后也是自然的.14彭实戈，数学家，中国科学院院士，山东大学数学与系统工程学院博士生导师，山东大学数学研究所所长，金融研究院院长。长期致力于随机控制、金融数学和概率统计方面的研究，在随机控制理论研究领域，有很高的国际知名度。他和法国数学家Pardoux教授一起开创了“倒向随机微分方程”的新方向，成为研究金融产品定价的重要工具。以彭实戈的名字命名的“彭一般原理”、“彭最大值原理”以及他所开创的新领域包括：倒向随机微分方程，即“巴赫杜(Pardoux)-彭方程”，在随机分析、随机控制和金融数学界已经获得了很高的国际知名度。彭实戈曾十几次被邀参加国际数学会议并作报告，是首位受邀赴国际数学家大会做一小时演讲的大陆全职学者。15E.PardouxandS.G.Peng:Adaptedsolutionofabackwardstochasticdifferentialequation.SystemsandControlLetters1990,14(1):55-61.CitedByinScopus(304).截止2014年9月1日，该文已至少被1784篇其他论文/著引用过。被数学界专家一致称为倒向随机微分方程理论的奠基性文章：16彭实戈曾长期以为，数学是纯粹的学术问题，当一位法国金融学家告诉他，他的“倒向随机微分方程”在金融上有很高的使用价值时，他甚至有几分不悦，认为把他心目中圣洁的数学与金钱联系在一起几乎是一种。但在研究了金融方面的有关资料，他发现，自己的成果确实能够应用于金融领域。1993年，彭实戈派学生调查、了解期货市场情况，他敏锐地发现中国期权期货交易中存在的一些严重问题。当时绝大部分企业、机构对期货、期权的避险功能了解甚少，在不清楚这种现代金融工具所隐藏的巨大风险以及如何度量和规避这种金融风险的情况下，便盲目投资，进行境外期货期权交易。投资者每做一单交易，输的概率大于70%，而赢的概率少于30%。于是，他写了两封信，一封交给潘承洞校长，潘校长立即转呈山东省副省长，另一封，递交国家自然科学基金委。信中，他陈述了自己对国际期货、期权市场的基本看法，以及中国当时进行境外期货交易所面临的巨大风险，并建议从速开展对国际期货市场的风险分析和控制的研究并加强对金融高级人才的培养。彭实戈还亲赴北京，向国家自然科学基金委领导当面表达自己的意见。后来，山东省立即停止了境外期货交易。17对中国金融数学贡献

1996年12月10日，国家自然科学基金会在北京召开专家会议，审议了彭实戈的报告，启动了国家自然科学基金重大项目“金融数学、金融工程和金融管理”。此项目由彭实戈任第一负责人，集中中科院、复旦大学、南开大学、浙江大学、清华大学、中国人民银行、财政部、国家税务总局等20个单位的专家学者，向这一领域发起全面攻关。这是“九五”期间国家自然科学基金委列入管理和数学学科的唯一重大项目，也标志着中国金融数学开始了一个从无到有的过程。而彭实戈公式的提出，对不完全、不规范条件下的金融市场同样适用。所以，彭实戈的文章被称为“奠基性论文”，为金融数学理论大厦埋下了一块重要的基石。在中国，金融学曾一直属于文科，远远落后于世界水平。彭实戈的理论建树使中国成为这一领域的后起之秀，并跻身国际金融数学界的前列。彭实戈带领他的学生们，在经济、金融数学、控制等领域做了大量研究工作，针对许多社会经济领域迫在眉睫的问题，获得一系列研究成果，得到中国国内有关专家、领导的高度评价。18当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。数学机械化的思想也渗透和应用到ODE这一分支。用计算机求方程的精确解，近似解，对解的性态进行研究。Maple，MatlabMathematica等数学软件（P389）。第二是由于应用问题需要以及由于电子计算机的出现而产生的其它近似的解析形式的解的求法。第三是电子计算机的出现与发展对于常微分方程研究的推动及由此产生的成果。混沌等的发现。19秦元勋，叶彦谦到目前为止，本科常微分方程教材基本上都是反映以上这一阶段中的一些解法和基本理论。第四是常微分方程理论本身向高维数、抽象化的方向发展。203.学科内容及研究方法经典部分：以数学分析、高等代数为工具，以求微分方程的解为主要目的；现代部分：主要是用泛函分析、拓扑学等知识来研究解的性质。研究方法：解析法,几何法(定性),数值方法

21作为课程，

常微分方程把前阶段已获得的微积分、线性代数、解析几何及物理方面的知识，首次较普遍、较深入地结合起来，用以初步解决数学理论和实际问题中出现的一批重要而基本的微分方程。同时在这个过程中自然地提出和建立起微分方程本身的基本理论和基本方法，也为后继课程（数理方程，数值方法、偏微分方程、微分几何、泛函分析等）起到承前启后的作用，是数学理论中不可缺少的一个环节，也是学生学习本学科近代知识的基础，对培养学生分析问题和解决问题的能力有重要作用。22它的理论和方法，过去和现在都对力学、天文、物理、化学、生物，各种技术科学及若干社会科学（如人口理论、经济预测等提供了有力的工具，后者反过来也不断地向它提出新的问题，刺激着它不断向前发展。23

学好微分方程的先决条件:数学分析，高等代数：C级244.课程内容:(1)一阶微分方程的初等解法(2)高阶微分方程(3)线性微分方程组(4)微分方程解的存在唯一性定理(5)应用

255.教材

常微分方程（第三版）王高雄等编

6.

参考书

iii.常微分方程习题解，庄万iv.常微分方程习题集，周尚仁v.常微分方程解题方法，钱祥征i.常微分方程教程，丁同仁、李承治，高等教育出版社，1991（第一版），2004（第二版）。

ii.常微分方程讲义(第二版)，叶彦谦，人民教育出版社，1982。vi.常微分方程考研教案，窦雯虹vii.常微分方程全程导学及习题全解，石瑞青等267.课程评价:平时成绩(20%-30%)：作业(20%)答质疑(10%)章节总结(20%)小测验、自主命题(20%)课堂参与、笔记(10%)出勤(20%)期末考试(70-80%)剽窃反馈sshrong@163.com27联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式，称之为微分方程。注：未知函数的导数或微分是不可缺少的例：28客观现实世界运动过程中量与量之间的关系简单问题直接写出关系式：函数表达式复杂关系不易写出函数关系式，但易建立变量满足的微分方程29在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其它较复杂问题的借鉴。掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。30例1

物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻时,测量得它的温度为10分钟后测得温度为我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度.这里我们假定空气的温度保持为§1.1常微分方程模型31在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内)，一个物体的温度变化速度与这一物体温度和其所在介质温度的差值成比例。解：牛顿（Newton）冷却定律：32设物体在时刻的温度为则温度的变化速度为由牛顿冷却定律得这里是比例常数。方程（1.1）就是物体冷却过程的数学模型.(1.1)注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，知温差又因物体将随时间而逐渐冷却，模型建立因而由33由(1.2)可得这里令，即得因此是“任意常数”。34由已知：

当时，于是（1.3）模型求解35又时，，得到从而由此，将和代入，得（1.4）模型求解36根据方程（1.4），可以计算出任何时刻t物体的温度u的数值了。模型应用37

微分方程的“解”的图形表示t(分)7010015024O1020406080u(0C)图(1.1)38

利用微分方程解决实际问题的基本步骤:（1）建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程；（2）求解这个微分方程；（3）用所得的数学结果解释实际问题。39

建立起实际问题的数学模型一般比较困难的，因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰的了解（例如,例1中就要了解热力学中的牛顿冷却定律），同时也需要有一定的数学知识。微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型。40我们在建立微分方程的时候，只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素，而把其他的一些次要因素忽略掉，如果的确考虑到了那些最主要的因素，那么我们所得到的微分方程，它的解和所考虑的物理现象比较接近的。这时，我们得到的数学模型是有用；否则，我们还应该考虑其他的一些因素，以便建立起更为合理的数学模型。41例2电路

如图所示的R-L-C电路.它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I

与时间t

之间的关系.

42电容电阻电感解：或又由基尔霍夫第二定律43若常数，又进一步，R=0，则（1.6）（1.7）（1.8）则44数学摆例3

数学摆是系于一根长度为的线上而质量为m的质点M，在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程.45解：的正方向，得由Newton第二定律得即取反时针运动方向为计算摆与铅垂线所成的角（1.9）46注1：若只研究摆的微少振动，即较少的情况，则注2：若在假设摆在一个粘性的介质中摆动，设阻力系数为则即（1.10）（1.11）47注3：若沿着摆的运动方向恒有一个外力F(t)，则（1.12）48背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.研究人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.491、指数增长模型（马尔萨斯人口模型）：英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出。2、阻滞增长模型（Logistic模型）3、更复杂的人口模型随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等

数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。例4人口模型宋健等首创了人口控制论新交叉学科，研究建立了人口控制模型．(1837年，荷兰生物数学家Verhulst)50指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)N(t)~时刻t的人口基本假设

:人口净(相对)增长率r（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数。随着时间增加，人口按指数规律无限增长.51指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)(2510年，2000亿)52阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(N很小时)Nm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是N的减函数(Verhulst,1837)53NmtN0N(t)~S形曲线,N增加先快后慢N0Nm/2阻滞增长模型(Logistic模型)54模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,Nm=434.0N(2010)=306.055例5传染病模型假设传染病传播期间某地区总人数为常数n.开始时染病人数为在时刻t的健康人数为y(t),染病人数为x(t),则设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例常数为k,则56SI模型无免疫性的传染病设单位时间治愈率为则SIS模型此传染病的平均传染期整个传染期内每个病人有效接触的平均人数57有很强免疫性的传染病设在时刻t的愈后免疫人数为r(t),治愈率为常数l,则而SIR模型及58在生物界有一种捕食与被捕食的关系.例如在南极海洋中生活的须鲸和南极虾就是这种关系.设被食鱼的数量是x(t),捕食鱼的数量是y(t),若没有捕食鱼,被食鱼的数量将指数式地增长:沃特拉（Volterra）被捕食-捕食模型但有了捕食鱼时,其增长率降低。设单位时间内捕食鱼与被食鱼相遇的次数为bxy(b>0)因此捕食鱼与被食鱼相遇被食鱼被吃掉的速度例6两生物种群生态模型59而捕食鱼的自然减少率与它们存在的数量成正比，即-cy,同类相争造成的死亡速度自然增长率与它们存在的数量及食物的数量成正比，即dxy,于是60竞争模型甲乙两种群竞争同一资源时的成长情况：b,d<0时，两种群相互促进，相互依赖--共生模型61有相互关系的甲乙两种群的成长情况：其中a,b,c,d,e,可正可负。一般可分为竞争，共生，捕食-被捕食等类型。注：对一个种群，若其内部存在密度制约关系时，即为Logistic模型。62更一般地，两种群竞争系统可表示为M，N为相对于x,y的增值率。63例7Lorenz方程其中a,c,b为变化区域有一定限制的实参数。该方程形式简单，表面上看并无惊人之处，但由该方程揭示出的许多现象，促使"混沌“成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也产生了巨大的影响。64Lorenz（1960）研究“长期天气预报”问题时发现，当这个方程组的参数取某些值的时候，轨线运动会变的复杂和不确定，具有对初始条件的敏感依赖性，也就是初始条件最微小的差异都会导致轨线的行为的无法预测。根据数值分析，Lorenz得出结论说天气的长期预报是不可能的，形象化的说法就是所谓的蝴蝶效应。他说“巴西境内的一只蝴蝶扇动翅膀，可能引起德克萨斯州的一场龙卷风”把混沌这个术语引入的是美国的数学教授约克和他的学生李天岩。65 1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。 有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！66后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。67蝴蝶效应是说，初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。有些小事可以糊涂，有些小事如经系统放大，则对一个组织、一个国家来说是很重要的，就不能糊涂。一个坏的微小的机制，如果不加以及时地引导、调节，会给社会带来非常大的危害，戏称为“龙卷风”或“风暴”；一个好的微小的机制，只要正确指引，经过一段时间的努力，将会产生轰动效应，或称为“革命”。68今天，“蝴蝶效应”几乎成了混沌现象的代名词。把混沌这个术语引入的是美国的数学教授约克和他的学生李天岩。洛伦兹曲线6970不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实，是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。例如，利用电路来模拟某些力学系统或机械系统等等在现时已相当普遍。模拟式电子计算机就是根据这一思想设计制造的。71小结1.微分方程数学模型的建立。构造ODE的数学模型的常用方法：（1）从物理、力学等已确定的自然规律出发；（2）利用类比的方法；（3）通过分析已有数据的相互关系并加以合理的逻辑推导，寻找出相关规律。(4)根据一定目的，通过反复试验，寻找适合要求的模型。722.常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上。73作业：习题1.28（1），（3）74补充作业：设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml).现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml),又过两个小时后,测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断:事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定?75§1.2基本概念

76微分方程就是联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式。Definition

微分方程（DifferentialEquation）Remark:微分方程中的未知量是函数.注意与代数方程的区别。77常微分方程

(ODE)-自变量的个数只有一个的微分方程；(1)常/偏微分方程（ordinarydifferentialequation/partialdifferentialequation）分类：偏微分方程(PDE)-自变量的个数为两个或两个以上的微分方程。78微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。(2)微分方程的阶数:Example:(1),(5)与(6)为一阶DE,而(2),(3),（4），（7），（8）为二阶DE。

79Example:80二阶微分方程的标准形式为：为自变量，为的函数的一阶微分方程的标准形式为：81一般地，

阶常微分方程具有形式

的已知函数，而且一定含有

是注1：隐式形式注2：显式形式82练习1指出下面微分方程的阶数，并回答方程是常微分方程还是偏微分方程：83（3）线性和非线性微分方程如果方程

及

的一次有理整式，

则称(1）为

的左端为阶线性微分方程。（1）84这里

是的已知函数。阶线性微分方程具有形式一般地，不是线性方程的方程称为非线性方程。例如，方程

是二阶非线性方程，而方程是一阶非线性方程。85Example:86练习2指出下面微分方程的阶数，并回答是否线性的：03)()24)1222=-+-=ydxdyxdxdyyxdxdy87（4）解和隐式解如果将函数

（1）代入方程为方程（1）的解。

能使它变为恒等式，则称函数

后，88确定的隐函数

的解，则称

为方程（1）的隐式解。如果关系式是（1）89有解

和

而关系式

为方程的隐式解。例如，一阶微分方程事实上，由得所以为的解。由得所以90Remark：解和隐式解统称为方程的解。91练习3验证下列各函数是相应微分方程的解：(c是任意常数)92（5）通解和特解

含有

个独立的任意常数

的解

称为

阶方程的通解（隐式通解）。93

Remark:为n个独立的任意常数

解n个任意常数94Remark：通解不一定包含方程的所有解。例：的通解为也为其解，但它不包含在通解中。95实际问题中经常需要寻找微分方程满足某种特定条件的解，这个特定条件就是定解条件。定解条件：初值条件，边界条件96是给定的

个常数。时，

当阶微分方程个条件：

的初始条件是指如下的

注：这里97初始条件有时可写为98求微分方程满足初始条件解的问题，称为初值问题（IVP）或Cauchy问题。满足初始条件的解称为微分方程的特解。求微分方程满足边值条件解的问题，称为边值问题（BVP）。求微分方程满足定解条件的解，就是所谓定解问题。99的解

就是一阶方程就是满足初始条件当

时，

的特解。的通解；例如，在§1.1的例1中，含有一个任意常数C而满足初始条件的解称为微分方程的特解。100阶微分方程的初值问题可表示为一阶微分方程的初值问题可表示为或101102103（1）求出它的通解；（2）求通过点（1，4）的特解。例2

给定一阶微分方程解：C为任意常数。（2）将x=1,y=4

代入（1），得C=2，所以所求特解为104（6）积分曲线和方向场微分方程（2）的通解一阶微分方程

（2）的解

称之为微分方程（２）的积分曲线。满足初始条件

的特解就是通过点

的一条积分曲线。称之为微分方程（２）的积分曲线族。105106方程的切线斜率上恰好等于函数在这点的值；函数反之,如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于的值，则这一条曲线就是方程在这点的值，则这条曲线就是方程积分曲线与的关系的积分曲线。的积分曲线的每一点107ConsiderthefollowingIVP(1)UsetheExistenceandUniquenessTheoremtoshowthat(1)hasauniquesolut