用二次函数解决问题 课件 苏科版九年级数学下册

5.5用二次函数解决问题第五章二次函数苏科版数学九年级下册1.用二次函数解实际问题.2.建立恰当的直角坐标系解答抛物线型问题.学习目标新知一用二次函数解实际问题1.常用方法利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图像和性质去解决问题.合作探究2.一般步骤(1)审：仔细审题，理清题意；(2)找：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析；(3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式；(4)解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图像和性质等求解实际问题；(5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论.要点解读：①用二次函数解实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，还要符合实际问题的意义.②在实际问题中求最值时，解题思路是列二次函数表达式，用配方法把函数表达式化为y=a(x－h)2+k的形式求函数的最值，或者针对函数表达式用顶点坐标公式求函数的最值.例1［中考·扬州］“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图5.5-1所示.(1)求y与x之间的函数关系式；解题秘方：可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；解：设y

与x

之间的函数关系式为y=kx+b.由题意得解得故y与x之间的函数关系式为y=－10x+700.(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？解题秘方：设每天的利润为w元，根据利润=销售量×单件的利润列式，然后将(1)中的函数关系式代入，求出利润和销售单价之间的关系式，最后根据其性质来判断出最大利润；解：由题意，得－10x+700≥240，解得x≤46.设每天的利润为w元，则w=(x－30)y=(x－30)(－10x+700)=－10x2+1000x－21000=－10(x－50)2+4000.∵－10＜0，∴当x＜50时，w随x的增大而增大，∴当x=46时，w最大=－10×(46－50)2+4000=3840.答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元.(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.解题秘方：由(2)知w与x的函数关系式，进而利用捐款后每天剩余利润等于3600元，求出对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围.解：令w－150=3600，则w=3750，∴－10x2+1000x－21000=3750，即－10(x－50)2=－250，解得x1=55，x2=45，如图5.5-2所示，由图像得，当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元.方法点拨：根据函数图像求实际问题中最大(小)值的一般策略：①理解实际问题的题意与数量关系，从图像中获取各个变量的信息，求出函数表达式；②讨论最大(小)值时可借助顶点式y＝a(x+h)2+k，然后利用二次函数的性质确定最大(小)值；③在求函数的最大(小)值时，要注意实际问题中自变量的取值范围，有时根据顶点坐标求出的最大(小)值并不一定是函数在实际问题中的最大(小)值，实际问题的最大(小)值应根据实际问题与图像，在自变量的取值范围内取得.例2[中考·连云港]如图5.5-3，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°．若新建墙BC与CD总长为12m，求该梯形储料场ABCD的最大面积.解题秘方：紧扣求图形面积的方法建立二次函数关系，利用二次函数的性质解决问题.解：设CD=xm，梯形储料场ABCD

的面积为Sm2，则BC=(12－x)m.如图5.5-4，过点C作CE⊥AB

于E，则∠CEA=∠CEB=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CD=AE=xm，∠DCE=90°，∴∠BCE=∠BCD－∠DCE=30°在Rt△CBE

中，∵∠

CEB=90°，∴BE=BC=m，∴CE=BE=m，AB=AE+BE=x+6－x=m，∴S=(CD+AB)·CE=∴当x=4时，S

最大=．故当CD长为4m时，该梯形储料场ABCD的面积最大，为m2．方法点拨：几何图形中求最值，常用的建立函数关系的方法：几何图形中的最值问题，一般都是利用二次函数的最值求解，根据几何图形建立二次函数关系是解题的关键.一般在几何图形中建立函数关系有如下常用方法：①面积法：利用几何图形面积公式建立函数关系.②勾股法：利用勾股定理建立函数关系.③和差法：利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系.新知二用二次函数解实际问题生活中常见的拱桥洞、涵洞、隧道、运动轨迹等都呈抛物线形状，解决这些问题往往构建二次函数模型，借助于二次函数的性质进行计算.1.解决抛物线型问题的一般步骤(1)根据题目给出的数据建立恰当的直角坐标系；(2)根据建立的坐标系，结合条件确定图像上点的坐标；(3)根据点的坐标特点设出函数表达式，再运用待定系数法确定函数表达式；(4)根据二次函数的性质解决问题.2.在解答这类问题时，建立恰当的坐标系非常重要，基本原则是尽量选取抛物线的顶点为原点，尽量选取抛物线的对称轴为y轴.特别解读：一般地，通过建立坐标系，得到抛物线y＝ax2＋bx

＋c，或y＝

(a≠0)，确定顶点坐标为当x=时，抛物线有最高(低)点，函数有最大(小)值为例3[月考·淮安]一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后运行的水平距离为4米时达到最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米．(1)在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式；解题秘方：结合图像，利用待定系数法与二次函数的性质解决实际问题．解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为(4，4)，球出手位置的坐标为.∴设抛物线的表达式为y＝a(x－4)2+4．将点

的坐标代入表达式，得16a+4＝，解得a＝－．∴抛物线的表达式为y＝－(x－4)2+4.(2)小明的这次投篮未能命中篮圈中心，请说明理由；解题秘方：结合图像，利用待定系数法与二次函数的性质解决实际问题．解：∵球出手时与篮圈中心的水平距离为8米，篮圈中心距离地面3米．∴当x＝8时，y＝－(x－4)2+4＝－(x－4)2+4=－×(8－4)2+4＝≠3．(3)假设球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？解题秘方：结合图像，利用待定系数法与二次函数的性质解决实际问题．解：∵球出手的角度和力度都不变，∴设小明向前走或向后退能命中篮圈中心时，抛物线的表达式为y＝－(x

－4+m)2+4．将点(8，3)的坐标代入得3＝－(8－4+m)2+4，整理，得(4+m)2

＝9．解得m1＝－1，m2＝－7．∵向前走7米不合题意，舍去．∴小明应该向前走1米才能命中篮圈中心．思路点拨：当“球出手的角度和力度都不变”时，抛物线的形状不变，小明向前走或向后退时，相当于抛物线左右平移，故可设抛物线的表达式为y＝－(x－4+m)2+4，将点(8，3)的坐标代入求得m的值，根据m值的正负与抛物线平移左加右减的特点，判断抛物线平移的方向，即可得出答案．例4[期末·南京]如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的表达式为y=－x2+4．(1)一辆货运车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？解题秘方：紧扣二次函数的图像与性质，把车的宽转化为点的横坐标，代入抛物线的表达式求函数值，然后与货运车的高进行比较．解：当货运车从该隧道中间通过时，∵车宽2m，∴

x＝1，则y=－×12+4=3.75.∵3.75+2＝5.75＞4．∴货运车能通过该隧道．(2)如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这辆货运车是否可以通过？解题秘方：紧扣二次函数的图像与性质，把车的宽转化为点的横坐标，代入抛物线的表达式求函数值，然后与货运车的高进行比较．解：当该隧道内设双行道时，∵车宽2m，中间遇车间隙为0.4m，∴x＝2.2，则y=－×2.22+4=2.79.∵2.79+2＝4.79＞4，∴这辆货运车可以通过该隧道．方法技巧：解决车过隧道(桥等)问题的一般策略：①固定车的宽，得到抛物线上点的横坐标，然后代入抛物线表达式，求出点的纵坐标，与限制的高(车的高)比较得出结论；②固定车的高，得