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文档简介
常微分方程与差分方程第一页,共十四页,2022年,8月28日1、常微分方程的基本概念,变量可分离的微分方程.一、考试内容4、二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程.—————————————————————————————————————3、线性微分方程解的性质及解的结构定理.5、差分与差分方程的概念,差分方程的通解与特解.2、齐次微分方程,一阶线性微分方程.7、微分方程的简单应用.6、一阶常系数线性差分方程.第二页,共十四页,2022年,8月28日1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.二、考试要求4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解某些简单的非齐次线性微分方程.—————————————————————————————————————3、会解二阶常系数齐次线性微分方程.5、了解差分与差分方程的概念及其通解与特解等概念.7、会用微分方程求解简单的经济应用问题.6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.第三页,共十四页,2022年,8月28日—————————————————————————————————————三、真题选讲例1:已知是微分方程的解,则的表达式为().
(B)
(C)(D)例2:设函数在上可导,,且其反函数为.若求第四页,共十四页,2022年,8月28日例3:设位于第一象限的曲线过点,其上任一点处的法线与轴的交点为,且线段被轴平分.(1)求曲线的方程;(2)已知曲线在上的弧长为,试用表示曲线的弧长.第五页,共十四页,2022年,8月28日例4:在坐标平面上,连续曲线过点,其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于(常数).(1)求的方程;(2)当与直线所围成平面图形的面积为时,确定的值.第六页,共十四页,2022年,8月28日例5:设函数在上连续.若由曲线,直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积为,试求所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件的解.第七页,共十四页,2022年,8月28日例6:设是一条平面曲线,其上任意一点到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在轴上的截距,且经过点,(1)试求曲线的方程;(2)求位于第一象限部分的一条切线,使该切线与以及两坐标轴所围图形的面积最小.第八页,共十四页,2022年,8月28日例7:设具有连续偏导数,且满足求所满足的一阶微分方程,并求其通解.例8:设函数在上连续,且满足方程求.第九页,共十四页,2022年,8月28日例9:设(是任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为——————.例10:设是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解,则当时,函数的极限().(A)不存在(B)等于1(C)等于2(D)等于3第十页,共十四页,2022年,8月28日例11:设函数具有二阶连续导数,而满足方程,求例12(1)验证函数
满足微分方程;(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数
.第十一页,共十四页,2022年,8月28日例13:差分方程的通解为————.例14:已知某商品的需求量和供给量都是价格的函数:其中和为常数;价格是时间的函数且满足方程(为正的常数)假设当时价格为1,试求(1)需求量等于供给量时的均衡价格;(2)价格函数;(3)极限第十二页,共十四页,2022年,8月28日—————————————————————————————————————四、课外习题习1:差分方程的通解为————.习2:已知某商品的需求量对价格的弹性,而市场对该商品的最大需求量为1(万件).求需求函数.习3:设函数具有连续的一阶导数,且满足,求的表达式.习4:设函数满足条件求广义积分.第十三页,共十四页,2022年,8月28日习6:设是第一象限内连接点的一段连续曲线,为该曲线上任意一点,点为在轴上的投影,为坐标原点.若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为求的表达式.习5:设,其中函数在内满
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