差分法和变分法解决平面问题

差分法和变分法解决平面问题第一页，共一百六十七页，2022年，8月28日弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件、形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。近似解法

因此，弹性力学问题属于微分方程的边界问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。

§5-1差分公式的推导

第二页，共一百六十七页，2022年，8月28日

对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有变分法、差分法和有限单元法。近似解法第三页，共一百六十七页，2022年，8月28日

差分法是微分方程的一种数值解法。它不是去求解函数，而是求函数在一些结点上的值。 fxo差分法第四页，共一百六十七页，2022年，8月28日

差分法的内容是：差分法将微分方程用差分方程（代数方程）代替，于是，求解微分方程的问题化为求解差分方程的问题。将导数用有限差商来代替，将微分用有限差分来代替，第五页，共一百六十七页，2022年，8月28日

导数差分公式的导出：导数差分公式在平面弹性体上划分等间距h的两组网格，分别∥x、y轴。网格交点称为结点，h称为步长。第六页，共一百六十七页，2022年，8月28日应用泰勒级数公式将在点展开，(a)第七页，共一百六十七页，2022年，8月28日抛物线差分公式─略去式(a)中以上项，分别用于结点1、3，抛物线差分公式结点3，结点1，第八页，共一百六十七页，2022年，8月28日抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出高阶导数公式。从上两式解出o点的导数公式，第九页，共一百六十七页，2022年，8月28日

应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一的格式，避免任意性，并可估计其误差量级，式(b)的误差为。抛物线差分公式第十页，共一百六十七页，2022年，8月28日线性差分公式─在式(a)中仅取一、二项时，误差量级为。线性差分公式式(c)称为向前差分公式。对结点1，得：第十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日对结点3，得：

式(d)称为向后差分公式。

线性的向前或向后差分公式，主要用于对时间导数的公式中。第十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日 稳定温度场中的温度场函数T(x，y)应满足下列方程和边界条件：

（在A中）, (a)

（在上）,

(b)

（在上）.

(c)

例1第十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一类边界条件是已知边界上的温度值；在上的第二类边界条件是已知热流密度值，其中是导热系数。第十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日 现在我们将式(a)、(b)、(c)转化为差分形式。应用图5－1网格，和抛物线差分公式，第十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日（1）将化为差分公式，得（2）若x边界516上为第一类边界条件，则已知。（3）若y边界627上为第二类边界条件，已知，则

(d)第十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日

由于所以得

这时，边界点2的是未知的，对2点须列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可将式（e）代入。(e)第十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日

例2

稳定温度场问题的差分解。设图中的矩形域为6m×4m，取网格间距为h=2m，布置网格如图，各边界点的已知温度值如图所示，试求内结点a、b的稳定温度值。ab40353025322224222017第十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：对a、b列出方程如下：解出

（度）.第十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。2.应用抛物线差分公式(5-2)，试导出三阶导数的差分公式。思考题第二十页，共一百六十七页，2022年，8月28日对于单连体，按应力函数求解时，应满足:§5-2

应力函数的差分解按求解第二十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日（3）求出后，由下式求应力（假设无体力）:

按求解第二十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日差分法求解1.应力公式(c)的差分表示。对于o点，

差分法求解：第二十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日相容方程(e)化为：对每一内结点，为未知，均应列出式(e)的方程。2.相容方程(a)的差分表示，第二十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日对边界内一行结点列式(e)方程时，需要求出边界点和边界外一行结点（虚结点）的值。 为了求虚结点的值，需要求出边界点的、值。相容方程第二十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日

3.应用应力边界条件(b)，求出边界点的、、值。边界条件第二十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日⑴应力边界条件用表示取出坐标的正方向作为边界线s的正向（图中为顺时针向），当移动时，为正，而为负，∴外法线的方向余弦为边界条件第二十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日(f)边界条件即将上式和式(d)代入式(b)，得第二十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日边界条件式(f)、(g)分别是应力边界条件的微分、积分形式。再将式(f)对s积分，从固定的基点A到边界任一点B，得第二十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日通过分部积分从A到B积分，得边界条件(h)⑵由全微分求边界点的

第三十页，共一百六十七页，2022年，8月28日⑶∵A为定点，、和、、均为常数，而式(h)中，加减x，y的一次式不影响应力，∴可取 故边界结点的和导数值，由式(g)、(h)简化为边界条件第三十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日

式(i)的物理意义是：第一式表示从A到B边界上x向面力的主矢量；第二式表示从A到B边界上y向面力的主矢量改号;第三式表示从A到B边界上面力对B点的力距，图中以顺时针向为正。因此，可以按物理意义直接求边界条件和第三十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日⑷由式(i)的第三式，可求出边界点的值;由式(i)的前两式，可求出边界点的、值，然后再求出边界外一行虚结点的值。边界条件第三十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日求解步骤（2）由边界结点的、值，求出边界外一行虚结点的值；（1）在边界上选定基点A，令，然后计算边界上各结点的、、；4.应力函数差分解的步骤第三十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，联立求各结点的值；求解步骤（5）按式(d)求各结点的应力。（4）求出边界外一行虚结点的值；第三十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日思考题1、将应力函数看成是覆盖于区域A和边界s上的一个曲面，则在边界上，各点的值与从A（基点）到B面力的合力距有关，的一阶导数值与A到B的面力的合力（主矢量）有关；而在区域内，应力分量与曲面的曲率、扭率有关。第三十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日§5－3应力函数差分解的实例问题此题无函数式解答。应用差分法求解。

正方形深梁,上边受均布荷载，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力。第三十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日1.本题具有对称性，取y轴如图，并取以反映对称性。取网格如图。第三十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日 首先考虑对称性，可以减少未知值数目，并大量减少计算工作量。 按照物理意义，求出边界点上的和其导数值（如书中所示）：

第三十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日─AB间y向面力主矢量号，─AB间x向面力主矢量，

─AB间面力对B点力矩，注意符号为正.第四十页，共一百六十七页，2022年，8月28日5.求出应力，如AM线上各点应力，并绘出分布图。4.求出边界外一行虚结点的

值。3.对每一内点列差分方程，求出。2.由边界点的导数值，求出边界外一行

虚结点的值。第四十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日

比较：材料力学解─AM上为直线分布，弹性力学解─AM上为曲线分布，

由此又说明，材料力学解法只适用于杆件。比较第四十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日

（1）差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法。（2）差分法简便易行，且总能求出解答。（3）差分法可配合材料力学、结构力学解法，精确地分析结构的局部应力状 态。

差分法优点：差分法评价第四十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日（1）对于曲线边界和不等间距网格的计算较麻烦。（2）差分法比较适用于平面问题或二维问题。（3）凡是近似解，在求导运算时会降低精度。如的误差为，则应力的误差为。

缺点：差分法评价第四十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日思考题：1.试用线性向前或向后差分公式，导出的差分方程。a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差分法计算图中A点的应力分量。第四十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日§5－4弹性体的形变势能

外力势能弹性力学变分法，又称为能量法。因其中的泛函就是弹性体的能量。泛函─是以函数为自变量（宗量）的一种函数。变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。第四十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日应力变分法─取应力函数为自变量，并以余能极小值条件导出变分方程。本章只介绍位移变分法。位移变分法─取位移函数为自变量，并以势能极小值条件导出变分方程。弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法。其中分为：第四十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日外力势能─外力做了功，必然消耗了相同值的势能。当取时的外力功和能为零，则：(b)外力功和外力势能1.弹性体上的外力功和外力势能外力功：第四十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日形变势能（2）∵应力和应变均从0增长到，故单位体积上，应力所做的功是非线性关系─线性关系─（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，可看成是作用于微小单元上的“外力”。2.应力的功和形变势能（内力势能）第四十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日线性的应力-应变关系非线性的应力-应变关系第五十页，共一百六十七页，2022年，8月28日（3）对于平面应力问题或平面应变问题

单元体积上应力所做的功都是

(c)形变势能第五十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日（4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部转化为弹性体的

内力势能，又称为形变势能，或应变

能，存贮于物体内部。─单位体积的形变势能（形变势能密度）。形变势能第五十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日（5）整个弹性体的形变势能是

(d)形变势能第五十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日形变势能对于平面应变问题，将，。再将几何方程代入，可用位移表示为（6）将物理方程代入，平面应力问题的形变势能密度，可用形变表示为第五十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日3.形变势能的性质（1）是应变或位移的二次泛函， 故不能应用叠加原理。（2）应变或位移发生时，总是正的，即（3）的大小与受力次序无关。（4）对应变的导数，等于对应的应力：

(g)形变势能的性质第五十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日

4.弹性体的总势能，是外力势能和内力（形变）势能之和，(h)第五十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日1.试证明在线性的应力与应变关系下，。2.试由式(e)导出式(g)。3.试列出极坐标系中平面应力问题的形变势能公式，并与式(d)、(e)和(f)相比较。思考题第五十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日§5－5位移变分方程

在位移变分法中，所取泛函为总势能，其宗量为位移状态函数

，。 现在来导出位移变分方程。第五十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的应力边界条件（在上）⑶位移边界条件（在上）。实际位移(a)其中⑴、⑵属于静力平衡条件，⑶属于约束条件。 对于实际位移，可将⑶看成是必要条件，而⑴、⑵是充分条件。1.实际平衡状态的位移、，必须满足第五十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日

2.虚位移状态

⑴虚位移（数学上称为位移变分），

表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如图所示。 虚位移应满足上的约束边界条件，即

虚位移(b)（在上）。第六十页，共一百六十七页，2022年，8月28日

虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态

就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。(c)虚位移第六十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日微分─是在同一状态下，研究由于位置

(坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y；而因变量为函数，如位移，有

(d)⑵变分与微分的比较变分与微分第六十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日变分─是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如，，，有

变分与微分(e)第六十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日由于微分和变分都是微量，所以a.它们的运算方式相同，如式(d)，(e)；b.变分和微分可以交换次序，如

变分与微分(f)第六十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日当发生虚位移（位移变分）时，虚位移上功和能由于虚位移引起虚应变，外力势能的变分：外力的虚功（外力功的变分）：3.在虚位移上弹性体的功和能

第六十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日

形变势能的变分，即实际应力在虚应变上的虚功,

由于实际应力在虚应变之前已存在,∴作为常力计算，故无系数。虚位移上功和能(j)第六十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加应等于外力势能的减少（即等于外力所做的虚功）。∴位移变分方程4.弹性力学中位移变分方程的导出第六十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日（2）位移变分方程─将式(g)的代入上式,得它表示，在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。位移变分方程第六十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日位移变分方程它表示，在实际平衡状态发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。（3）虚功方程─将式(j)的代入上式，得第六十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日其中─形变势能的变分，如式(j)所示，─外力功的变分，如式(g)所示。位移变分方程（4）最小势能原理─式(k)可写成其中U─弹性体的形变势能，如§5-4式(d),

W─弹性体的外力功，如§5-4式(a)。可以证明，式(n)可以写成为第七十页，共一百六十七页，2022年，8月28日证明如下：位移变分方程第七十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日由于弹性体的总势能为故式(o)可以表示为

再将总势能对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得

综合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移变分方程第七十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日位移变分方程

这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。第七十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日最小势能原理：数学表示如图(a)，物理意义如图(b)uu（实际位移）(a)(b)第七十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日（5）位移变分方程的又一形式─式(l)

中可化为

又一形式第七十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日应用分部积分公式和格林公式（其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将进行转换。又一形式第七十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日∵在上，虚位移，∴

对其余几项进行同样的转换，并代入式(),可得又一形式的位移变分方程：又一形式例如，对第一项计算，(s)第七十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日因，都是任意的独立的变分，为了满足上式,必须（在A中）(v)（在上）(w)又一形式第七十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日

由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。第七十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日⑴实际平衡状态的位移必须满足

a.上的约束(位移)边界条件；

b.上的应力边界条件；c.域A中的平衡微分方程。5.结论结论⑵位移变分方程可以等价地代替静力条件b,c。第八十页，共一百六十七页，2022年，8月28日结论⑶由此得出一种变分解法，即预先使位移函数满足上的位移边界条件，再满足位移变分方程，必然也可以找出对应于实际平衡状态的位移解答。第八十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日

1.微分和变分各是由什么原因引起的？2.试导出式(u)。3.试比较4.中变分方程

(1)-(5)的不同的物理解释。4.试证明二阶变分。思考题第八十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日

位移变分法是取位移为基本未知函数的。位移函数应预先满足上的位移边界条件，然后再满足位移变分方程。§5-6位移变分法第八十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日(a)瑞利-里茨法（1）因位移函数是未知的，在变分法中采用设定位移试函数的方法，令

1.瑞利-里茨法

第八十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日其中和均为设定的x，y的函数，并在边界上，令

（在上）（在上）(c)(b)瑞利-里茨法第八十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日 ∴u，v已满足了上的位移边界条件。 而，用来反映位移状态的变化， 故位移的变分为瑞利-里茨法(d)第八十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日瑞利-里茨法位移的变分通过，的变分来反映，故形变势能的变分为（2）位移(a)还必须满足位移变分方程第八十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日将式(d)，(f)代入(e)得因虚位移（位移变分）中的，是完全任意的、独立的，为了满足上式，必须:第八十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨变分方程。它是关于，的线性代数方程组，由上式可解出，,从而得到位移的解答。第八十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日

2.伽辽金法（1）设定位移试函数如式(a)所示，但令

u,v

不仅满足上的位移边界条件，而且也满足上的应力边界条件（用u,v表示）。伽辽金法第九十页，共一百六十七页，2022年，8月28日将位移的变分，（式(d)）代入，同样由于，为完全任意的和独立的变分，得到伽辽金法（2）于是，由§5-5中式(u)可见，由于上的应力边界条件已满足，设定的位移只需满足下列变分方程第九十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日将上式括号内的应力用位移来表示，得伽辽金变分方程:伽辽金法第九十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日 式(j)也是关于，的线性代数方程组，从上式解出，，便得到位移的解答。伽辽金法第九十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日试从位移函数的设定，应满足的变分方程和求解的计算工作量等方面对瑞利-里茨法和伽辽金法进行比较。思考题第九十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日例1

图示矩形板a×b，在上边及右边受有均布压力及，而左边和下边受有法向连杆的约束。§5-7位移变分法例题第九十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日

应用瑞利-里茨法，设定位移满足两个约束边界条件

例题(a)(b)第九十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日其余的应力边界条件及平衡微分方程由下列变分方程代替（其中）：(c)对式(c)右边的积分，应包含所有的应力边界条件（当或处积分为0），例题第九十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日且其中的，应代入相应的边界方程。将式(a)代入U，计算式(c)的左边项。共建立两个方程，求出和，得位移解答：例题(d)对于图示的简单问题，式(d)正好是其精确解。第九十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题(e)例2本题全部为位移边界条件：第九十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日本题以y轴为对称轴，∴

u应为x的奇函数,

v应为x的偶函数。例题(f)设定位移势函数为第一百页，共一百六十七页，2022年，8月28日位移(g)已满足对称性条件(f)和全部边界条件(e)。因全部为位移边界条件且均已满足，∴从§5－5式(u)可见，也可应用伽辽金变分法。例题第一百零一页，共一百六十七页，2022年，8月28日将位移(g)代入上式，求出得出的位移解答与书中用瑞利-里茨法给出的结果相同。因，故伽辽金变分方程为例题(h)第一百零二页，共一百六十七页，2022年，8月28日第五章例题例题1例题2例题3例题4例题5例题7例题6例题第一百零三页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题1设图中的矩形域为，取网格间距为h=2m,布置网格如图，各边界点的已知温度值（度）如图所示，试求内结点a,b的稳定温度值。ab40353025322224222017第一百零四页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：对a,b列出方程如下：解出第一百零五页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题2用差分法计算图中A和B点的应力分量。FaBxy3aaaA.71（Z向厚度）F65第一百零六页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：为反映对称性，取A为基点。令

边界点的应力函数值：边界点的导数值：

由上式及，求出边界外一行虚结点的值：

第一百零七页，共一百六十七页，2022年，8月28日对1点列差分方程：代入各值，解出。再求出应力分量：

第一百零八页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题3

正方形的板块，厚度，受一对集中力F的作用，如图。试取，应用差分法求解该问题的应力分量。1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xyh=l/4FF第一百零九页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：⑴本题具有的两个对称轴，为了反映对称性，在y

向外荷载作用下，取

网格结点编号如图所示。

第一百一十页，共一百六十七页，2022年，8月28日⑵计算各边界结点处的、、值。在A点及J点，各取布置于两侧，以反映荷载的对称性，按公式（其中即AB之间面力对B点的力矩，图中以顺时针方向为正）。第一百一十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日求出边界上各结点的值，如下图所示。 结点 A B CDEGHI J

00000000

读者可检验，上述的值反映了边界结点和边界外一行虚结点上值的对称性。

F/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh第一百一十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日⑶计算边界外一行结点的值。由得到

由得到第一百一十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日⑷对内结点1、2、3、4分别列出下列类型的方程：0点：对结点1，对结点2，第一百一十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日对结点3，对结点4，解出第一百一十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日⑸按照应力公式及，求得AJ及EI截面上的应力分量：第一百一十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题4

试证明，在同样的应变分量，和下，平面应变情况下单位厚度的形变势能大于平面应力情况下的形变势能。例题第一百一十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日对于平面应变情况，只需将上式中，变换为解：平面应力情况下，单位厚度的形变势能是：例题(a)第一百一十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日代入，得显然，方括号内将式⑴中的，都作为式(b)的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式，

例题(c)第一百一十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日从式⑶可见，在平面应变情况下，形变势能中的第一、二、三项均大于平面应力情况下的值，而第四项不变。因此，平面应变的形变势能大于平面应力的形变势能U

。例题第一百二十页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题5

图中表示一板块，受到铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB时，试说明板的形变势能将发生什么变化？例题CDEFAB第一百二十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：⑴当AB线切开时，AB线上的应力趋于0。而形变势能是正定的，，当这部应力时，相应的形变势能也失去因此，板的总的形变势能减少。 ⑵当AB线切开后，边界CD和EF仍是固定的，我们可以比较两种状态：例题第一百二十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日(b)AB线张开，出现裂纹。这是稳定的平衡状态。由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而(a)、(b)两种状态的外力势能不变，因此，(b)的形变势能小于(a)，即形变势能将减少。例题(a)AB切开后，仍然处于闭合状态，不发生张开。这是不稳定的平衡状态；第一百二十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题6

单位厚度的深梁，两侧边固定，上下边受均布荷载q作用，如图所示。试用位移变分法求解其位移。（取，并设）。例题qyxbuvbaaoq第一百二十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：在图示荷载作用下，深梁的位移应对称于x轴，而反对称于y轴。因此，位移分量u应为、的奇函数，而v为x、y的偶函数，xy如图所示。可以设定位移势函数如下：第一百二十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日上式已满足两端的约束边界条件，以及对称和反对称性条件。以下按瑞利-里茨法进行计算。例题第一百二十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日假设只取u，v中一项，即将u和v代入形变势能公式（平面应力问题），得：例题第一百二十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日

在本题中体力，在边界上只有的均布荷载，。由此，瑞利-里茨方程成为

例题再积分求U，第一百二十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日边界是，且，从到积分。再将U代入上式，得到两个求的方程：第一百二十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日当取，且时，上两式方程简化为由此解出,位移分量的解答是例题第一百三十页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题7图中所示的薄板，厚度，三边固定，一边受到均布压力q的作用。试用瑞利-里茨的位移变分法求解，其中取，。例题第一百三十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日aabxyq第一百三十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日解：在瑞利-里茨法中，设定位移试函数应满足位移边界条件，并应反映图示问题的对称性。取第一百三十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日上式已反映了位移对称于y轴的要求：v为x的偶函数，u为x的奇函数。仅取各一项进行运算，由于体力，面力只存在于AB边（），因此求解的位移变分方程为：例题第一百三十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日当，且取泊松系数时，形变势能简化为将u、v代入,例题（a）（b）第一百三十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日形变势能U为将U及代入式(a)，(b)，得(c)(d)第一百三十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日从式(c)、(d)解出例题于是得到位移分量，再求应力分量，取，得：第一百三十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日例题在对称轴上，x=0，,在边界，,第一百三十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日本题中，由于u，v中各只取一项，且取，因此，求出的位移解的精度较低；而由近似解的位移求应力时，其应力精度要降低一阶，其精度更差些。对于实际问题，应取更多的项数进行计算。第一百三十九页，共一百六十七页，2022年，8月28日

第五章习题提示和答案习题提示和答案5-1参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。5-2参见书中的方程。5-3注意对称性的利用，取基点A如图。答案见书中。5-4注意对称性的利用,并相应选取基点

A。答案见书中。第一百四十页，共一百六十七页，2022年，8月28日5-7按位移求微分方程的解法中，位移应满足:

(1)上的位移边界条件，

(2)上的应力边界条件，(3)区域A中的平衡微分方程。习题提示和答案5-5注意对称性的利用，本题有一个对称轴。5-6注意对称性的利用，本题有二个对称轴。第一百四十一页，共一百六十七页，2022年，8月28日5-8在拉伸和弯曲情况下，引用的表达式，再代入书中的公式。在扭转和弯曲情况下，引用的表达式，再代入书中的公式。习题提示和答案用瑞利-里茨变分法求解时，设定的位移试函数应预先满足(1)上的位移边界条件，而(2)和(3)的静力条件由瑞利-里茨变分法来代替。第一百四十二页，共一百六十七页，2022年，8月28日5-9对于书中图5-15的问题，可假设

对于书中图5-16的问题中，y轴是其对称轴，x轴是其反对称轴，在设定u、v试函数时，习题提示和答案第一百四十三页，共一百六十七页，2022年，8月28日为满足全部约束边界条件，应包含公共因子。此外，其余的乘积项中，应考虑：u应为x和y的奇函数，v应为x和y的偶函数。第一百四十四页，共一百六十七页，2022年，8月28日5-10答案见书中。第一百四十五页，共一百六十七页，2022年，8月28日5-11在u,v

中各取一项,并设时,用瑞利-里茨法得出求解的方程是代入后,上两式方程是解出习题提示和答案第一百四十六页，共一百六十七页，2022年，8月28日习题提示和答案位移分量的解答为应力分量为第一百四十七页，共一百六十七页，2022年，8月28日

第五章教学参考资料

（一）本章学习重点及要求

1.弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变和位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件建立微分方程和边界条件，并由此求解应力、形变和位移。从数学上看，弹性力学问题可化为微分方程的边值问题，通过求解，得出函数式的精确解答。教学参考资料第一百四十八页，共一百六十七页，2022年，8月28日 但是对于工程实际问题，由于荷载、边界等较为复杂，难以求出函数式的解答。从弹性力学基本理论建立以来，为了解决工程实际问题，人们就探讨了各种可供应用的近似解法。弹性力学中最主要的近似解法是变分法、差分法和有限单元法分法。教学参考资料第一百四十九页，共一百六十七页，