第三章时间序列分析与预测

第三章时间序列分析与预测本章内容：了解时间序列的意义、种类及其编制原则；掌握运用时间序列进行水平、速度分析的各种方法；掌握趋势变动分析中线性趋势分析方法；了解季节变动、循环变动分析的基本原理、方法。2023/2/41本章主要内容第一节时间序列的描述性分析；第二节时间序列及其构成因素；第三节趋势变动分析；第四节季节变动分析；第五节循环变动分析。2023/2/42第一节时间序列的描述性分析本节需要把握三个问题：一、时间序列及其分类；二、时间序列的水平分析；三、时间序列的速度分析。2023/2/43一、时间序列及其分类把握三个问题：1、时间序列的概念；2、时间序列的分类；3、编制时间序列的原则。2023/2/441、时间序列的概念

（1）概念：为了研究某种事物在不同时间的发展状况，分析其随时间推移的发展趋势，揭示其演变规律，预测事物在未来的数量，通常把某种事物或现象在不同时间上的统计数据按时间顺序排列起来形成时间序列，又称动态数列。例如表8-1排列的中国1978年到2012年的GDP、年末人口等数据形成的序列。2023/2/45

表8-1中国国内生产总值及人口数据6

1、时间序列的概念

（2）时间序列的基本要素：A、所属的时间；B、在不同时间上的统计数据。2023/2/471、时间序列的概念（3）时间序列分析的目的A、描述事物在过去时间的状态；B、分析事物发展变化的规律性；C、根据事物过去行为预测他们的将来行为。2023/2/481、时间序列的概念分析目的分析过去描述动态变化认识规律揭示变化规律预测未来未来数量趋势2023/2/492、时间序列的分类时间序列的类型相对数时间序列绝对数时间序列平均数时间序列时期序列时点序列2023/2/4102、时间序列的分类按排列指标或观察值的性质分：（1）绝对数时间序列A、一系列总量指标按时间先后顺序排列形成，反映现象在各期达到的绝对水平。它是计算相对数、平均数时间序列的基础。例如表8-1中的GDP、年末总人口形成的数列。2023/2/4112、时间序列的分类B、分类a、时期数列：排列的指标为时期指标，反映现象在各段时期内发展过程的总量。数列中指标具有可加性，数值大小与时期长短有关。如表8-1中的GDP形成的数列。b、时点数列：排列的指标为时点指标，反映现象在某一时点上所处的状态。数列中指标数值不可加，数值大小与时点间隔长短无关。例如表8-1中年末人口形成的数列。2023/2/4122、时间序列的分类（2）相对数时间序列一系列同类的相对数按时间顺序排列形成的数列，反映现象相互关系的发展变化过程。例如表8-1中GDP年增长率形成的数列。2023/2/4132、时间序列的分类（3）平均数时间序列一系列同类平均数按时间顺序排列而成的数列，反映现象一般水平的发展变化。例如表8-1中人均GDP、年平均人口形成的数列。相对数、平均数时间序列都是绝对数时间序列的派生，指标数值相加没有意义。2023/2/4143、编制时间序列的原则基本原则是可比性。具体：（1）各指标数值所属时间可比。时期数列指标数值所属时间长短应一致；时点数列数值时点间隔一般相等。（2）各指标数值总体范围可比，即在数列中各时间现象所属空间范围必须一致，否则指标数值不能直接对比。2023/2/4153、编制时间序列的原则（3）各指标数值的经济内容、计算口径、计算方法可比。同一名称的统计指标在不同时间的经济内容、计算口径、计算方法可能不相同。2023/2/416二、时间序列的水平分析为研究现象时间上的发展水平和速度，分析其发展规律，在时间序列基础上确定一系列分析指标。把握以下分析指标：1、发展水平；2、平均发展水平概念；3、平均发展水平的计算；4、增减量与平均增减量。2023/2/4171、发展水平（1）时间序列中每一项指标数值又称为相应时间上的发展水平。它可以是绝对数、相对数或平均数，分别反映现象在该时间上实际达到的总水平、相对水平或平均水平。2023/2/4181、发展水平（2）在一个时间数列中各指标数值按时间记为a0，a1，a2，…，an，把首项a0称为数列的最初水平，把末项an称为最末水平，其余各项称为中间水平。在对各时间的发展水平比较时，把作为比较基础的那个时期称为基期；所研究的那个时期称为报告期，相对应的发展水平分别称为基期水平、报告期水平。2023/2/4192、平均发展水平的概念为综合说明现象在一段时期的一般水平，将不同时间上的指标数值加以平均，称为序时平均数，又称这段时期的平均发展水平。它平均的是现象在不同时间上的数量差异，说明现象在某一段时间内发展的一般水平，是根据时间数列计算的。2023/2/4202、平均发展水平的概念区别：一般平均数是将总体各单位某一数量标志值在同一时间上的数量差异抽象化，从静态上说明其在具体历史条件下的一般水平，根据变量数列编制。联系：都是现象的个别数量差异抽象化，概括地反应一般水平。2023/2/4213、平均发展水平的计算

（1）由绝对数时间序列计算又分为A、由时期数列计算：数列中指标数值可加，则公式为：2023/2/4223、平均发展水平计算（1）绝对数数列计算B、由时点数列计算：分为连续、间断时点数列a、前者数据逐日排列，公式：例如，已知某企业一个月每天的工人数，要计算该月内每天平均工人数，可将每天的工人数相加，除以该月的日历天数。2023/2/4233、平均发展水平的计算B、时点数列：b、后者数据每隔一段时间，是间断的。假设相邻两点数量变动是均匀的，则计算两点数值的平均数，设时间间隔为f1，f2，…，fn-1，则公式为：2023/2/424例题

某银行某储蓄所储蓄存款余额资料如表8-2所示，计算本年度该储蓄所平均存款余额。表8-2某银行某储蓄所1997年储蓄存款余额6113112.316112810.31911268.311201155.3131871.3109212.31与上一期间隔（天）存款余额（百万元）

时间2023/2/425例题的解解：2023/2/4263、平均发展水平的计算b、间断数列：当时点间隔相等时，即f1=f2=…=fn-1时，有2023/2/4273、平均发展水平的计算（2）由相对数或平均数计算序时平均数设相对数或平均数为ci=ai/bi，计算平均数不能对各项相对数或平均数直接简单平均，而是先分别计算相对数或平均数的分子、分母数列的序时平均数，再用下式计算：2023/2/4283、平均发展水平的计算（2）由相对数或平均数计算：A、当分子分母都是时期数列时公式为：2023/2/4293、平均发展水平的计算（2）由相对数或平均数数列计算：B、分子分母数列都是时点数列时a、都是连续的时点数列，公式为：2023/2/4303、平均发展水平的计算b、间断且间隔相等的时点数列，公式：2023/2/431例题

根据下表计算第四季度生产工人人数占全部职工人数的平均比重。2023/2/432例题的解2023/2/4333、平均发展水平的计算C、分子分母数列性质不同：遵循总原则，即分子分母数列分别用不同的公式计算，看下题（习题）：2023/2/434

表某地区1999年下半年各月的社会劳动者人数和国内生产总值资料如表又知1999年末社会劳动者人数为2100万人，试计算该地区1999年下半年以国内生产总值计算的月平均劳动生产率。2023/2/4354、增减量与平均增减量（1）增减量：一个时间序列中报告期水平与基期水平之差。逐期增减量：报告期水平与前期水平之差，即ai-ai-1（i=1，2，…，n）累计增减量：报告期水平与某一固定基期水平之差，即ai-a0（i=1，2，…，n）2023/2/4364、增减量与平均增减量累计增减量与逐期增减量的关系各逐期增减量之和等于相应时期的累计增减量，即

∑（ai-ai-1）=an-a0

相邻累计增减量之差等于相应时期的逐期增减量，即

(ai-a0)-(ai-1-a0)=ai-ai-1(I=1,2,…,n)2023/2/437例表8-3为GDP各年的逐期增长量和各年以1990年为基期的累计增长量表8-3单位：亿元2023/2/4384、增减量与平均增减量(2)平均增减量逐期增减量的序时平均数，说明现象在一段时期内平均每期的增减量。2023/2/4394、增减量与平均增减量(2)平均增减量其中n为逐期增减量的个数，也即时间数列项数减一。例如，表8-3中1990年至1996年GDP的平均增长量=50178.7/6=8363.12（亿元）2023/2/440附加：年距增长量年距增长量=本期发展水平-去年同期发展水平，可以消除季节变动的影响。例如去年某企业九月份销售额为92万元，今年九月份为131万元，则年距增长量=131-92=39（百万元）2023/2/441三、时间序列的速度分析

把握以下问题：1、发展速度；2、增减速度；3、平均发展速度和平均增减速度。2023/2/4421、发展速度（1）它是时间序列中报告期水平与基期水平之比，说明现象报告期水平较基期水平的相对发展程度。由于所选基期不同可分为环比发展速度和定基发展速度。2023/2/4431、发展速度

（2）环比发展速度：报告期水平与前一期水平之比，又称年速度，即ai/ai-1定基发展速度：报告期水平与某一固定基期水平（或称最初水平）之比，又称总速度，即ai/a0

。二者关系：各环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度；相邻的两个定基发展速度之商等于相应的环比发展速度，即2023/2/4441、发展速度

2023/2/4451、发展速度（3）年距发展速度实际工作中，用报告期发展水平与上年同期发展水平相比，说明报告期较上年同期发展的相对程度。公式：ai+L/ai，其中L=12或4；I=1，2，…，n）例：表8-2中1997年12月31日存款余额与1996年12月31日的存款余额相比，发展速度为131/92=142.39%2023/2/4462、增减速度（1）它是增减量与基期水平相比，说明报告期水平较基期水平增减的相对程度。增减速度=增减量/基期水平=（报告期水平-基期水平）/基期水平=发展速度-12023/2/4472、增减速度（2）分为环比、定基增减速度：环比增减速度=环比发展速度-1定基增减速度=定基发展速度-1结果有正负，正表示报告期在基期水平上的增长速度；负表示报告期在基期水平上的降低速度。2023/2/4482、增减速度（2）环比、定基增减速度的关系先将环比增减速度加1转化为环比发展速度，再将环比发展速度连乘计算定基发展速度，再减1，得到定基增减速度。2023/2/449从表中看出环比发展、增长速度的关系以及定基发展、增减速度间的关系。表8-4中国人均国内生产总值及增长数据单位：元50例题表中以1990年为基期，1991年至2006年人均GDP的环比发展速度的连乘积为978.10%，与以1990年为基期的2006年定基发展速度相等。又如,2005年的定基发展速度857.62%除以2004年的定基发展速度750.12%等于2005年的环比发展速度114.33%2023/2/4513、平均发展速度和平均增减速度（1）概念：平均速度是各期环比发展速度的平均数，反映现象逐期发展的平均程度。平均增减速度是现象逐期增减的平均程度，二者关系：平均增减速度=平均发展速度-1平均增减速度可为正负，为正表示现象在该段时间内平均来说是递增的，为负表示现象在该段时间内平均是递减的。2023/2/4523、平均发展速度与平均增减速度（2）计算：用几何平均法或方程式法A、几何平均法（水平法）计算：由于各期环比发展速度之连乘积等于总速度，所以用几何平均计算，设xi（i=1，2，…，n）为各期环比发展速度，表示平均发展速度，公式为：

2023/2/453例题根据表8-4数据计算1990年到2006年我国人均GDP的平均发展速度：2023/2/454例题根据表8-4数据计算1990年到2006年我国人均GDP的平均增长速度：2023/2/4553、平均发展速度与平均增减速度A、几何平均法计算：因为各期环比发展速度连乘积等于定基发展速度，所以可以由定基发展速度计算平均发展速度，公式2023/2/456例题我国1990年到2006年人均GDP的平均发展速度的计算：2023/2/457例题我国1990年到2006年人均GDP的平均增长速度的计算：2023/2/4583、平均发展速度与平均增减速度A、几何平均法计算特点着眼于期末水平，不论中间水平怎样，有期初、期末水平就可计算，所以又称“水平法”

2023/2/4593、平均发展速度与平均增减速度B、方程式法（累计法）计算：设最初水平为a0，各期实际发展速度xi（i=1，2…，n），则a1=a0×

xia2=a1×x2=a0×x1×x2…an=a0×x1×x2×…×xn上式左右相加，得a1+a2+a3+…+an=∑ai即a0x1+a0x1x2+…+a0x1x2…xn=∑ai2023/2/4603、平均发展速度与平均增减速度B、方程式法计算：假设都按平均发展速度发展，则2023/2/4613、平均发展速度与平均增减速度B、方程式法计算根据上式，解高次方程的正根，得到平均发展速度。特点着眼于各期水平的累计之和，又称累计法。实际工作中通过查编好的《平均增长速度查对表》加以计算。2023/2/4623、平均发展速度与平均增减速度B、方程式法计算：使用查对表时首先要判断现象是递增的还是递减的，当表明现象是递增的，应查找递增速度部分；当表明现象是递减的，应查递减部分。看下例。2023/2/463例某地区“九五”期间固定资产投资额资料如下表，用方程法计算各年平均发展速度

表某地区“九五”期间固定资产投资额单位：百万由于684.26%÷5>1，所以为递增型。与此有关的《平均增长速度查对表》资料摘录如下2023/2/464例题684.26%介于683.33%和685.28%之间，对应的平均增长速度是10.6%和10.7%，按比例推算，平均增长速度为10.65%。2023/2/4653、平均发展速度与平均增减速度（3）两种计算方法比较计算平均发展速度的依据和出发点不同，同一时间序列计算的结果不同。具体根据现象的特点去选择。若侧重现象的最末水平，如最后的生产能力、产值等，选用水平法；若侧重现象各期发展水平的总和，如累计新增固定资产数、累计毕业生数等，选用累计法。2023/2/4663、平均发展速度与平均增减速度（4）应用中注意与基期水平相联系，因为基期水平的低，平均速度高，实际发展水平还是低，反之亦然，即高速度可能掩盖低水平，低速度可能掩盖高水平。与各环比发展速度相结合，因为平均速度可能掩盖各期特殊发展的情况。2023/2/467附加：增长1%的绝对值（1）它是逐期增减量与环比增长速度之比，表明现象报告期比基期每增减1%所包含的绝对量是多少。公式：增长1%绝对值=逐期增长量/(环比增长速度×100)==前期水平/1002023/2/468附加：增长1%的绝对值（2）计算增长1%绝对值的原因增减速度指标只能说明现象在一定时期内增减的相对程度；增减量指标只能说明现象在一定时期内增减的绝对量。动态分析中应从相对数、绝对数两方面分析。当两个增减速度相等时,不一定每增减一个百分点的绝对量也相同。2023/2/469例题甲乙企业有关资料如下表分析：乙企业的增长率等于甲企业，但二者对比基期值不同，高速度可能绝对值小，低速度可能绝对值大，计算甲、乙企业增长1%绝对值：甲企业为5万元，乙企业为0.6万元，甲企业经营好于乙企业。2023/2/470附加：增长1%的绝对值由于相同的增长速度指标，可以从差别很大的绝对数计算而得，用以计算增长速度指标的基期水平越高，增长速度提高1%所包含的增长量就越多，因此进行动态分析时，必须把速度指标与增长量结合起来研究。例如，2002年我国国内生产总值为10.24万亿元人民币，折合1.24万亿美元，国内生产总值增长速度达到8％，增长１％的绝对值是113.99亿美元；而同期美国国内生产总值约为10.45万亿美元，是我国的8.4倍，增长速度只有2.2%，远远低于我国，但其增长１％的绝对值达到1020.8亿美元。美国GDP增长１％的绝对量相当于我国GDP增长9%的绝对量。2023/2/471附加：增长1%的绝对值通过比较可以看到，我国经济发展速度比较快，正在缩小与发达国家的差距。但从经济规模上看还不够大，特别是人均水平还不高。在进行统计对比时，要做到客观全面，就必须把相对数与绝对数结合起来分析，比较好的形式就是计算"增长1%绝对值"。

2023/2/472第二节时间序列及其构成因素把握以下问题：1、影响时间序列的构成要素；2、时间序列的模型。2023/2/4731、影响时间序列的构成要素（1）事物的发展变化同时受多种因素的影响。在诸多因素中，有的是起长期、决定性的作用，使事物发展呈现某种趋势和一定的规律；有的起短期、非决定性作用，使事物发展呈现不规律性。影响时间序列的因素大体分为四种：长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动。

2023/2/4741、影响时间序列的构成要素（2）长期趋势指现象在一段相当长的时期内所表现的沿着某一方向的持续发展变化。它可能呈现不断向上增长的态势，也可能呈现不断降低的趋势，它受某种固定、起根本作用的因素影响的结果。例如我国改革开放以来经济持续增长，表现GDP的逐年增长态势。2023/2/4751、影响时间序列的构成要素（3）季节变动狭义指受自然因素的影响，在一年中随季节的更替而发生的有规律的变动；广义指一年内由于社会、政治、经济、自然因素影响形成的以一定时期为周期的有规律的重复变动。例如气候、生产、节假日或人们的风俗习惯引起的农业、运输、建筑、旅游、工业商品销售明显的季节变动。2023/2/4761、影响时间序列的构成要素（4）循环变动指以若干年（或月、季）为一定周期的有一定规律性的周期波动（近乎规律性的从低到高再从高到低的周而复始的变动）。它不同于趋势变动，不是单方向的持续变动而是有涨有落的交替波动；也不同于季节变动，它周期长短不一致，周期多在一年以上，无固定规律，而季节变动有固定规律，周期大多为一年。2023/2/4771、影响时间序列的构成要素（5）不规则变动也称随机变动，指现象受偶然因素的影响而出现的不规则变动。时间序列的变动一般是上述四种构成要素或其中一部分要素形成的。时间序列分析任务之一，是对这几种要素进行统计测定和分析，从中划分出各要素的具体作用，揭示其变动的规律和特征。2023/2/4782、时间序列的模型上述四种因素，按照它们的影响方式的不同，可以设定不同的组合模型，其中最常见的有乘法模型和加法模型。乘法模型是假定四个因素对现象发展的影响是相互的，以长期趋势成分的绝对量为基础，其余成分均以比率表示；加法模型则假定各因素的影响是独立的，每个成分均以绝对量表示。2023/2/4792、时间序列的模型

乘法模型：Y=T·S·C·I

加法模型：Y=T+S+C+I

公式中：Y表示时间序列的指标数值，T表示长期趋势，S表示季节变动，C表示循环变动，I表示不规则变动。2023/2/480第三节趋势变动分析

把握以下问题：1、长期趋势测定和分析的目的；2、线性趋势的特点；3、线性趋势的测定方法—移动平均法；4、线性趋势的测定方法—指数平滑法；5、线性趋势的测定方法—直线趋势方程拟合法。

6、非线性趋势的线性拟合法；7、趋势线的选择2023/2/4811、长期趋势测定和分析的目的（1）认识现象随时间发展变化的趋势和规律性；（2）对现象未来的发展趋势作出预测；（3）从时间序列中剔除长期趋势成分，以便分解出其他影响因素。长期趋势就一个较长时期而言，时期越长越好。长期趋势分为线性、非线性趋势。2023/2/4822、线性趋势的特点当时间序列的长期趋势近似的呈现为直线而发展，每期的增减数量大致相同时，称时间序列具有线性趋势。线性趋势的特点是其变化率或趋势线的斜率保持不变。2023/2/4833、线性趋势的测定—移动平均法（1）它是扩大原时间序列的时间间隔，选定的时距项数N，采用逐次递移的方法对原数列递移的N项计算一系列序时平均数，形成新数列消除或消弱原数列中的由于短期偶然因素引起的不规则变动和其他成分，对原数列起到修匀作用，从而呈现出现象在较长时期的发展趋势。2023/2/4843、线性趋势的测定—移动平均法（2）移动平均法的特点A、移动平均对原数列有修匀作用，平均的时距项数N越大，对数列的修匀作用越强；B、移动平均时距项数N为奇数时，只需一次移动平均，其均值作为移动平均项数中间一期的数值；时距项数N为偶数时，移动平均值无法对正某一期，需要再进行相邻两平均值的移动平均，使其均值对正某一期，这叫移正平均。2023/2/4853、线性趋势的测定—移动平均法（2）移动平均法的特点C、当数列包含季节变动，移动平均时距项数N应与季节变动长度一致（如4个季度或12个月），消除季节变动；数列包含周期变动时，时距项数N应和周期长度基本一致，较好消除周期波动；2023/2/4863、线性趋势的测定—移动平均法D、移动平均后数列比原数列的项数更少。奇数项移动平均所形成的新数列，首尾各少（N-1）/2项；偶数项移动平均所形成的新数列，首尾各少N/2项。所以移动平均使原数列失去部分信息，平均项数越大失去信息越多，因此项数不宜过大。

E、它适用于分析时间序列的长期趋势，不适合对现象未来的发展趋势进行预测。2023/2/487例：表8-5为某市某客运站旅客运输量及其三项移动平均和五项移动平均的计算结果

表8-5某市某客运站旅客运输量单位：万人公里2023/2/488例为消除季节变动对表8-5中的数列作四次移动平均,结果见表8-6表8-6某客运站旅客运输量四次移动平均计算表单位:万人公里2023/2/4894、长期趋势的测度—指数平滑法（1）指数平滑法可以弥补移动平均法的不足，能够充分利用所有的数据信息，同时又体现近期数据对未来预测影响作用更大的特点。它是通过计算一系列指数平滑值消除不规则变动，揭示现象的基本趋势。具体来讲，指数平滑法是一种特殊的加权平均法，就是利用本期实际观察值和本期预测值，分别给予不同的权数进行加权，求得一个指数平滑值（Et)，作为下一期趋势预测值(Tt+1)的预测方法。2023/2/4904、长期趋势的测度—指数平滑法（2）其基本思想是：如果第t期趋势估计值与第t期实际值完全一致，二者之间没有误差，则可以第t期趋势估计值直接作为第（t+1）期的趋势估计值；如果二者之间有误差，则这种误差可分为两部分：一部分是不规则随机误差，另一部分是现象从第（t-1）期到第t期的实质性变化。2023/2/4914、长期趋势的测度—指数平滑法（3）为了合理估计趋势值，就要剔除不规则随机误差，反映出现象的实质性变化。误差中属于现象实质性变化部分的比例可由平滑系数（权数）ɑ决定，ɑ值越大，即认为误差种现象实质性变化的比例越大，在下期的趋势估计中本期的误差就保留的越多；反之，ɑ值越小，则认为误差中不规则随机因素引起的随机误差所占比例越大，在下期的趋势估计中本期的误差就剔除的越多。2023/2/4924、长期趋势的测度—指数平滑法（4）指数平滑有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等。一次指数平滑的计算公式：从公式可知，指数平滑具有递推性质，各期指数平滑值均在上期平滑值的基础上递推而得，即第t期指数平滑值Et是在第（t-1）期指数平滑值Et-1的基础上，加上第t期的实际观测值yt与作为第t期趋势估计值的第（t-1）期指数平滑值Et-1间误差的一部分组合而成。2023/2/4934、长期趋势的测度—指数平滑法（5）将上式改写，即因指数平滑法是将一个指数平滑值Et作为下一期趋势预测值Tt+1

，则一次指数平滑趋势预测值：可以看出，第t期指数平滑值（即第t+1期的预测值）等于第t期的实际值与第t期的预测值的加权平均，指数平滑是加权平均的一种特殊形式。2023/2/4944、长期趋势的测度—指数平滑法（6）平滑系数（权系数）的选择：分析公式2023/2/4954、长期趋势的测度—指数平滑法（6）由于a是介于0与1之间的小数，随着时间t的增大，最后一项系数（1-a）t几乎为零，将此略去后，有可见指数平滑值Et实质上是各期观测值Yt的加权平均数（权数和为1），各期权数（a,a(1-a),a(1-a)2,…)呈指数递减形式，故称指数平滑。第t期平滑值包含了以前所有数据的信息，但又对不同时期的数据给与不同的权数，越是近期的数据，给予权数越大,且权系数之和为1，即2023/2/4964、长期趋势的测度—指数平滑法（7）平滑系数（权系数）的选择：第一，a值越小，对序列的平滑作用越强，对时间序列的变化反映越慢，因而序列中随机波动较大时，为了消除随机波动的影响，可选择较小的a，使序列较少受随机波动的影响；a值越大，对序列的平滑作用越弱，对时间序列的变化反映越快，因而为了反映出序列的变动状况，可选择较大的a，使数据的变化很快反映出来。2023/2/4974、长期趋势的测度—指数平滑法第二，如果对将来趋势的估计主要依靠近期信息，a值选择得大一些；如果希望充分重视历史信息，a值选择得小一些。第三，看对初始值的重视程度，如果对初始值的正确性把握不大，希望减小初始值的影响，则a值宜大些；反之，对初始值的正确性把握较大，希望突出初始值的影响，则a值宜小些。第四，通常可以选择几种不同的a数值进行比较，最后选择使实际值和估计值均方误差最小的a。2023/2/4984、长期趋势的测度—指数平滑法（8）初始值的选择：分两种情况当大样本时，初始值以时间数列的首项替代；当小样本时，初始值以时间数列的前几项求简单平均数作为替代。2023/2/499例题：某客运站旅客运输量指数平滑值

计算结果单位：万人公里2023/2/4100例题利用下表数据运用一次指数平滑法对1981年1月我国平板玻璃月产量进行预测（取α=0.3，0.5，0.7）。并计算均方误差选择使其最小的α进行预测。拟选用α=0.3，α=0.5，α=0.7试预测。结果如下表：2023/2/41012023/2/4102例题由上表可见：α=0.3，α=0.5，α=0.7时，均方误差分别为：

MSE=287.1MSE=297.43MSE=233.36因此可选α=0.7作为预测时的平滑常数。1981年1月的平板玻璃月产量的预测值为：最小2023/2/4103附加：二次指数平滑法线性二次指数平滑法是在一次指数平滑的基础上，对一次指数平滑值再进行一次平滑预测，只利用三个数据和一个α值就可进行计算。在大多数情况下，一般更喜欢用线性二次指数平滑法作为预测方法。2023/2/4104附加：二次指数平滑法计算公式：一次指数平滑值二次指数平滑值2023/2/41055、线性趋势的测度—直线趋势

方程拟合法（1）是利用直线回归的方法对原始时间序列拟合线性方程，消除其他成分变动，从而揭示出数列长期直线趋势的方法。直线趋势方程的一般形式为:式中：为时间序列的趋势值，t表时间，a为截距项，是t=0时的初始值，b为趋势线斜率，表时间t变动一个单位时趋势值的平均变动数量。参数a、b用最小二乘法估计。2023/2/41065、线性趋势的测度—直线趋势

方程拟合法（2）其思想：对时间序列配合一条较为理想的趋势线，它是一条最接近原数列的趋势线，趋势线满足下面条件：A、原数列数值Y与趋势值的离差平方和为最小，即B、原数列数值Y与趋势值离差和为零，即2023/2/41075、线性趋势的测度—直线趋势方程拟合法（3）最小二乘法估计参数a、b：根据设Q是a、b的函数，Q为最小值，则对a、b求偏导数应为0，即整理得：∑Y-na-b∑t=0∑tY-a∑t-b∑t2=0即方程组：2023/2/41085、线性趋势的测度—直线趋势

方程拟合法（3）最小二乘法估计参数a、b：

∑Y=na+b∑t∑tY=a∑t+b∑t2

克莱姆法则解：方程中t取值一般按时间顺序取0，1，2，…，n连续的整数，t=0表明具体某一年是趋势直线方程的原点。｛2023/2/41095、线性趋势的测度—直线趋势方程拟合法（4）最小二乘法估计参数的评价由上知拟合直线就是找a、b的适当取值。a、b是两个未知常数，其估计量是随机变量Y观察值的线性函数，因此一方面a、b是随机变量，另一方面对一组既定的观察值总有确定的a、b，使用时视为常数。数学定理已证明最小二乘法确定的参数是最佳线性无偏估计。测定线性、非线性趋势均可应用。2023/2/4110例对表8-5中旅客运输量，可得直线趋势方程拟合计算表，如表8-7

表8-7直线方程拟合计算表单位：万人公里2023/2/4111例题将计算表中数据代入公式得：所以，直线趋势方程为：这里1995年第四季度为方程原点。趋势方程具有外推功能，可以对未来趋势值进行预测，如预测该客运站1999年一季度的客运量为：

Y1999=93.61+2.521×13=126.4（万人公里）2023/2/41125、线性趋势的测度—直线趋势

方程拟合法（5）最小二乘法拟合线性趋势简算当取时间序列中间时期为趋势方程的原点，有∑t=0，此时方程组简化为：

∑Y=na

解得

∑tY=b∑t2｛2023/2/41135、线性趋势的测度—直线趋势

方程拟合法注意：数列项数为奇数时，计算容易，将中间时期作为原点，以每期为单位，t依次取值…-3，-2，-1，0，1，2，3，…；当数列项数为偶数时，可以中间两期中点为原点，t以每半期为单位取值，如有10年资料，原点在第5、6年之间，t的取值为…，-3，-1，1，3，…计算。2023/2/4114例对表8-5中旅客运输量，可得直线趋势方程拟合计算表，如下表2023/2/4115例题将计算表中数据代入公式得：所以，直线趋势方程为：预测该客运站1999年一季度的客运量为：

2023/2/41166、非线性趋势把握以下问题：1、非线性趋势的概念；2、抛物线的方程拟合；3、指数曲线型的方程拟合。2023/2/41176.1非线性趋势的概念

事实上，现象的长期趋势不总是线性，即现象变动的变化率或趋势线的斜率在一个较长时期是有变动的，当这种变动明显时，长期趋势是非线性的，但又有一定规律，称非线性趋势，它常呈现某种形态的曲线变化，又称曲线趋势。非线性趋势变动的形式多样，有抛物线型、指数曲线型、修正指数曲线型等，这里只介绍抛物线型和指数曲线型。2023/2/41186.2抛物线型的方程拟合（1）当现象的长期趋势近似于抛物线形态时，或每期的二级增长量（指各期增长量的逐期增长量）基本相等时，拟合二次曲线方程：2023/2/41196.2抛物线型的方程拟合需要估计参数a、b、c，据最小二乘法导出标准方程：2023/2/41206.2抛物线型的方程拟合（2）简算：将时间序列的中间时期设为原点，则∑t=0，∑t3=0，方程式简化为：例8-13略，请看书第253-254页。2023/2/41216.3指数曲线型的方程拟合（1）当现象的长期趋势每期大体上按相同的增长速度递增或递减变化时，或各期环比增长速度大体相同，即时间序列的趋势值按一定的百分比递减或递增时，拟合指数曲线方程：上式a、b为未知参数，当b>1时，为递增曲线；当0<b<1时，为递减曲线。2023/2/41226.3指数曲线型的方程拟合（2）参数的估计：对8-15式两端取对数：设运用最小二乘法可估计出㏒a和㏒b，再取反对数可得参数a、b的估计值。例8-14略，请看书第255-256页。2023/2/41237、趋势线的选择长期趋势方程的拟合，需要判断现象发展的基本规律和态势，采用最合适的形式，方法如下：（1）进行定性分析：研究现象的客观性质，分析其一般的发展规律，从而对现象长期趋势的性质作出基本判断。（2）绘散布图：根据时间序列的观测值画图，从分布的基本态势判断现象随时间变化的类型。2023/2/41247、趋势线的选择（3）分析序列的数据特征：若序列指标数值一次差（逐期增长量）大体相同，拟合直线；若二次差大体相同，拟合二次曲线，K次差大体相同，拟合K次曲线；若数据的对数一次差大体相同，拟合指数曲线。（4）分段拟合：现象实际变化复杂，可分段考察，分别拟合不同的曲线趋势。2023/2/41257、趋势线的选择（5）最小均方误差分析：当有多种曲线可供选择时，可将多种曲线的拟合结果加以比较，分别计算各曲线的均方误差或估计的平方误差s2，以估计的平方误差最小的曲线为宜。估计s2的方法为：2023/2/41267、趋势线的选择2023/2/4127第四节季节变动分析把握以下问题：一、季节变动及其测定目的；二、季节变动分析原理与方法-原始资料平均法；三、季节变动分析原理与方法-趋势剔除法；四、季节变动的调整。2023/2/4128一、季节变动及其测定目的把握以下两个问题：1、季节变动的概念；2、季节变动测定的目的。2023/2/41291、季节变动的概念季节变动指客观现象因受自然因素或社会因素影响形成的有规律的周期性变动。如商业活动中的销售旺季、淡季，旅游业的旺季、淡季等。它不仅指随一年中四季变动，泛指有规律的、按一定周期（年、季、月、周、日）重复出现的变化。季节变动的原因与自然、生产、风俗等有关，它会影响人们的社会经济生活。2023/2/41302、季节变动测定的目的主要在于认识规律、分析过去、预测未来。（1）分析与测定过去的季节变动规律，为当前的决策提供依据；（2）对未来现象季节变动作出预测，以便提前做出合理的安排；（3）为了消除季节变动对数列的影响，以便更好地分析其他因素。2023/2/4131二、季节变动分析原理与方法-原始资料平均法把握以下问题：1、原始资料平均法的含义；2、基本步骤；3、季节指数的意义；4、原始资料平均法的假定及其适用条件。2023/2/41321、原始资料平均法的含义又称按月（或季）平均法，这种方法不考虑长期趋势影响，根据原始数据直接计算季节指数，测定季节变动。2023/2/41332、基本步骤（1）计算各年同月(季)的平均数(i=1~12月或i=1~4季)，目的消除各年同一季度（月份）数据上的不规则变动；（2）计算全部数据的总平均数，找出整个数列的水平趋势；（3）计算季节指数S

i，即

(i=1~12月或i=1~4季)2023/2/41343、季节指数的意义季节指数以全部数值的均值等于100%为条件，反映某一月或季度的数值占全年均值的大小。若无季节变动，季节指数应为100%，若有季节变动，季节指数应大于或小于100%，季节指数大于100%，即通常说的旺季，反之小于100%，即为淡季，由此测定季节变动的程度。若按月平均则12个季节指数和应为1200%；若按季平均则4个季节指数和应为400%。看例子：2023/2/4135例中国民航旅客周转量及所计算的各年同月平均数和季节指数，如下表所示

表某旅行社经营收入单位：万元2023/2/41363、季节指数的意义对季节比率的调整：季节比率的总和应当等于季节周期的长度L，如果计算的季节比率总和接近季节周期长度L，则不必调整。但是，计算的季节比率总和有时不一定等于L，这是需要对其进行调整。调整的方法是以作为调整系数，将其误差分摊到各期的季节比率中去，经调整的季节比率为。则2023/2/41374、原始资料平均法的假定

及其适用条件基本假定是:原时间序列没有明显的长期趋势和循环变动,通过各年同期数据的平均,可以消除不规则变动,且当平均的期间与循环周期基本一致时,也在一定程度上消除循环波动。2023/2/41384、原始资料平均法的假定

及其适用条件当时间序列有明显的长期趋势时，会使季节变动分析不准确，如有明显上升趋势时，年末季节指数高于年初季节指数，反之，有明显下降趋势时，年末季节指数低于年初指数。所以原始资料平均法适合于数列的长期趋势和循环变动不明显的情况。2023/2/4139三、季节变动分析原理与方法-趋势剔除法

把握以下问题：1、趋势剔除法的含义；2、基本步骤；3、例题。2023/2/41401、趋势剔除法的含义在具有明显的长期趋势变动的数列中，为了测定季节变动，必须先将趋势变动因素在数列中加以剔除，然后用平均的方法消除不规则变动，而后计算季节比率的，就称为趋势剔除法。数列的长期趋势可用移动平均或趋势方程拟合法测定。2023/2/41412、趋势剔除法的基本步骤

假定包含趋势变动的时间序列的各影响因素以乘法模型形式组合，其结构为Y=T·C·S·I，以移动平均法测定趋势值，则确定季节变动的步骤如下：（1）对原序列进行12个月（或4个季度）移动平均数，消除季节变动S和不规则变动I

，结果只包含趋势变动T和循环变动