第三章平面任意力系

第三章平面任意力系

作用线位于同一平面内而任意分布的一群力构成的力系称为平面任意力系.平面任意力系是工程上最常见的一种力系,很多工程实际问题都可以简化成平面任意力系来处理.§3–1平面任意力系向作用面内一点简化力的平移定理:

作用在刚体上的某点A的力F可以平行移动到刚体内任意一点B,但必须同时附加一力偶,这个附加力偶的力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩.注意:上述力的平移目的是,平移前后对刚体的作用等效我们还可以这样叙述力的平移定理:

作用在刚体上某点A的力F,可以等效于作用在B点的同样大小和方向的力F'以及一力偶,此力偶的力偶矩等于作用在A点的力对B点的矩.简言之,在刚体上力的平行移动中‘力’‘力+力偶’下面通过静力学公理和力偶的定义用图示法来证明:ABABMABd加任意一对平衡力力偶的定义减任意一对平衡力力偶的性质由上可知,力的平移定理的逆定理也成立的.ABdABABABABd2.平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主矩主矢:力系所有各力的矢量和.记为主矩:力系所有各力对某点O力矩的矢量和.记为OOO诸力向O点平移两个简单力系的合成平面任意力系向作用面内的任意一点O简化可得一力和一力偶.这一力等于原力系的主矢,这一力偶的力偶矩等于原力系对O点的主矩.OOxy为与x轴所夹锐角.

平面任意力系向任意一点O简化,可得一力和一力偶,这个力的大小和方向等于原力系的主矢,(即力系各力的矢量和)作用线过简化中心O.这个力偶的力偶矩等于原力系对O点的主矩(即力系各力对O点的力矩的代数和).鉴于书上对力系简化理论的叙述方式,为消除某些模糊概念,有必要对和含意的二重性予以说明.就一次具体的向O点简化的结果而言:是过O点的力.是向O点简化而得到的附加力偶.就力系向任意一点O简化结果的度量而言:代表力系的主矢.代表力系对任意一点O的主矩.例一.某平面任意力系如图示分布.已知P1=450kN,P2=200kN,F1=300kN,F2=70kN.求合力的大小和方向,以及合力作用线方程.(参见书上例3–1P45)xyAOBC3m3m9m5.7m3.9m1.5m解:先将力系向O点简化xyCABO合力的作用线方程:原力系对O点的主矩表达式为xyO由力的平移定理的逆定理,可将图示的力和力偶进一步简化为一个力.力为原力系的合力上式也自然得出合力矩定理设合力的作用线过A点,则上式在图示坐标系下的解析表达式为:dA所以,合力作用线方程为.注意:上式中每一个量都是代数量,本身含正副号.将前面的简化结果带入上式:xyBOAC3m3.514m★固定端约束及其约束反力:ABABABABAB§3–2平面任意力系简化结果的理论分析任何平面力系都有两个基本的特征量,这就是力系的主矢量和力系对某一点O

的主矩,这两个特征量可完整地描述此力系对刚体的作用.原力系是一力偶系,可简化为一力偶原力系可简化为O点的合力.原力系最终可简化为过某O点的合力.OOOO'原力系为平衡力系.由上面的分析,我们可得到如下的结论:

平面任意力系如果不平衡,则最终的简化结果或是一个力,或是一个力偶.这种结果说明原力系的主矢和对任意一点的主矩至少有一个不为零.由此,便得到平面任意力系平衡的充分和必要条件.▲平面任意力系平衡的充分和必要条件是:力系的主矢和对任意一点的主矩都等于零.在直角坐标系下,有:§3–3平面任意力系平衡方程式的应用.例一.(书上p23例2–1)图示由两杆组成的三角架受力如图示.已知C为AB杆的中点,力P=10kN,杆重不计.

求A端的支反力和DC杆所受到的力.ABCACBD45º例一.(书上p23例2–1)图示由两杆组成的三角架受力如图示.已知C为AB杆的中点,力P=10kN,杆重不计.求A端的支反力和DC杆所受到的力.解:取AB杆为研究对象.(画受力图)45ºllxyA端受水平力为20kN,铅垂力为10kN.方向均与图示相反.DC杆为二力杆,受压力,大小为28.28kN.qABM4a2a例二:(书上p47例3–3)已知简支梁均质,自重为P.梁的AC段承受均布载荷为q,力偶M=Pa,梁长为4a.求A,B处的约束反力.xy解:取整体分析例三.(书上p48例3–4自重为P=100kN的T字形刚架ABD,置于铅垂面内,

载荷如图示.其中M=20kN.m,F=400kN,q=20kN/m,l=1m.

试求固定端A的约束反力.解:为便于计算,先将线性分布载荷等效简化为一合力.合力的大小就是载荷面积合力的作用点可由合力矩定理求得.ll3l30ºABDqC于是,T形刚架的受力情况如后面之图所示.dll3l30ºABD2lCll3l30ºABD2lCxy平面上,对同一个平衡的研究对象,运用的平衡方程的个数不能超过3个,但是方程的形式可以有一些变化.解法2:ll3l30ºABD2lC解法3

从上一例我们可知,平面任意力系的平衡方程组可以有若干种形式.实际上,就是我们上面用的三种形式.

解法1用的是平衡方程的基本形式,是由平衡的充要条件直接得到的,称为两投影一矩式.

解法2用的是两矩一投影式.解法3用的是三矩式方程.两投影一矩式两矩一投影式三矩式方程限制条件:AB连线不能与x轴垂直.限制条件:A,B,C三点不能共线.

从前面平面任意力系的简化理论我们已经知道,平面力系最终的简化结果只有三种情况:一个力,或一个力偶,或平衡.对于两投影一矩式原力系不可能简化为一力.原力系不可能简化为一力偶.所以,原力系是平衡力系.对于两矩一投影式原力系不可能简化为一力偶.只能平衡,或为过AB连线的力当x轴不与AB连线垂直,表明过AB连线的力不存在.所以,当x轴不与AB连线垂直,原力系是平衡力系.对于三矩式方程原力系不可能简化为一力偶.只能平衡,或为过AB连线的力当C点不过AB连线,表明过AB连线的力不存在.所以,当A,B,C三点不共线,原力系是平衡力系.★平面平行力系的平衡方程:xyO自然满足(不平衡也成立)还有两矩式方程A,B连线不与力的方向平行.ABCaaa60º例四.边长为a的均质等边三角形平板ABC在铅垂面内用三根无重连杆铰接,

如图所示.BC边水平,三角形板自重为P,一力偶其矩为M作用在三角板上.

求:三杆对平板的约束力.解:取三角板分析§3–3物体系统的平衡•静定和超静定问题

一个系统的平衡,是指系统内每一个物体都平衡.如果系统内有n个物体,对于平面力系,可至多有3n个独立的静力学平衡方程,如果系统内有特殊力系作用的物体,如二力构件,力偶系作用的物体或汇交力系作用的物体等,则独立的平衡方程的个数便小于3n.静定问题:如果力学系统内未知量的个数等于或少于独立的平衡方程的个数,这个力学系统是静定的.即,可以用静力学的平衡方程‘定下来’.超静定问题(也称为静不定问题):

如果力学系统内未知量的个数多于独立的平衡方程的个数,这个力学系统是超静定的.即,用静力学的平衡方程‘定不下来’.需要通过寻找其他的补充方程联合求解.已知物块的重量,欲求连杆受力.问:哪个为静定问题,哪个为超静定问题?已知结构中载荷Q为已知,欲求各处约束反力.问:哪个为静定问题,哪个为超静定问题?ACBDABD例五.图示曲轴冲床系统简图.由飞轮O,连杆AB和冲头B组成.OA=R,AB=l.

不计摩擦和自重.当OA在水平位置时,系统处于平衡状态.这时,测得冲头上的作用力为F.求:(1)飞轮上力偶M的大小;(2)轴承O处的约束反力;(3)连杆AB受的力;(4)冲头对导轨的力.BxyOABM解:此题是系统的力系平衡问题.一个平衡任意力系的平衡,一个二力平衡,一个平衡汇交力系的平衡.共有6个独立的平衡方程.解6个未知数.首先,取冲头B分析BxyOABMBAMOAxy再取飞轮为研究对象由作用与反作用公理及二力平衡公理可知轴承O处的约束反力与图示相反,

其余处的受力如图所示.例六.(书上p53例3–6)图示组合梁不计自重,由AC与BC梁铰接而成.已知

F=20kN,均布载荷集度q=10kN/m,M=20kN.m,l=1m.

试求A,B处的约束反力.ACBDllll60º30ºqM30º60ºCBDq解:取BD梁分析qMAC取AC梁为研究对象B支座处的约束力如图示,A处的竖直约束力与图示相反,水平约束力和约束力偶如图示.30º60ºCBDq例七.如图结构,水平杆上有铅垂力P的作用.求证:不论P的位置如何,AC

杆总是受大小等于P的压力.(书上例3–9p56)ABDCPxabEABDPxaEbABbPx证明:整体分析取AB杆分析取AB杆,AD杆的组合体分析AB杆上A点的力与上面的FA等值反向,故受常压力为P.习题3–19构架由杆AB,AC和DF铰接而成.在杆DEF上作用一力偶矩为M的力偶,不计个杆的自重.求铰链A,D,和B处所受的力.ADBCEFaaaaM解:先整体分析,由力偶力系的平衡可知方向如图示DMEF取DF杆为研究对象取ADB杆为研究对象DBA习题3–23(p68)图示结构中,已知力F=40kN.求铰链A,B,C处的约束反力.2m2m2m2mABCDEF解:取AC杆分析45ºABCFED45º

取DF杆分析由(1),(2)式联立再取AC杆分析AC杆A处受力与图示相反.习题3–29(p70)图示构架,由直杆BC,CD及直角弯杆AB组成,各杆自重不计.载荷及尺寸如图.销钉B上作用一铅垂力F.图中的q,a,M均为已知,M=qa².

求:固定端A的约束力及销钉B对杆BC,AB的作用力.解:取DC杆为研究对象DCq解:取BC杆(带B铰链)为研究对象aa3aDABCqqMaBCMBCM取直角弯杆AB分析:qABMBC取BC杆(不含B铰)分析:B弯杆AB上B点的力为销钉B对AB杆的力.BC杆(不含B铰)上B点的力为销钉B对BC杆的力.方向均如图示.销钉B的受力情况如图示§3–4平面简单桁架的内力计算桁架是一种由杆件在两端互相连接而成的承载结构,它在受力后几何形状不变.

工程上采用桁架的结构有很多,如高压输电线塔,水利工程的闸门,塔式起重机的塔身,铁路桥梁的两侧结构等.桁架中的杆件与杆件的连接点,称为节点.桁架的优点是:内部的杆件主要承受拉力或压力,可以充分发挥材料的作用,

节约材质,减轻结构的重量.

平面桁架内力计算的基本假定:(1)所有的杆件都是直杆;(2)杆件的连接点都是光滑铰链;(3)桁架所受的力都作用在节点上,而且在桁架的平面内;(4)各杆的重量一般略去不计,若计则平均分配在杆件两端的节点上.所有杆件的轴线都在同一平面的桁架,称为平面桁架简单的平面静定桁架:

以一个铰接的三角形框架为基本结构,每增加一个节点的同时增加两根杆件.这样构成的桁架就是简单的平面静定桁架.设杆数为m,节点数为n.简单平面桁架的杆数与节点数的关系为:(m–3)=2(n–3)即是m=2n–3★平面静定桁架的内力计算:1.节点法视具体情况求支反力.依次取每一个节点分析和计算内力.每个节点上的未知力一般不超过2个.2.截面法视具体情况求支反力.将整体截开,求被截杆内力.一般截杆不超过三根.注意力的汇交点.例一.(书上例3–10p58)求简单平面桁架的各杆的内力.已知F=10kN.30º30º2m2m12345ABCDF解:整体分析,求支反力.依次取节点A,D,C分析其受力.30ºAFD60º60ºCA点:D点:C点:30º30º2m2m12345ABCDF30ºAFD60º60ºC由上面的计算可以得出:1号和4号杆受压,大小为10kN.2号和5号杆受拉,大小为8.66kN.3号杆受拉,大小为10kN.例二.