高中数学苏教版本册总复习总复习 2023版学业分层测评26

学业分层测评(二十六)两角和与差的正切(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.若0＜α＜eq\f(π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，且tanα＝2，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝________.【解析】∵tanα＝2，tanβ＝3，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2＋3,1－2×3)＝－1.【答案】－12.已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于________.【解析】tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2,1－tanαtanβ)＝4，∴1－tanα·tanβ＝eq\f(1,2)，tanαtanβ＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)3.已知A，B都是锐角，且tanA＝eq\f(1,3)，sinB＝eq\f(\r(5),5)，则A＋B＝________.【解析】∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinB＝eq\f(\r(5),5)，∴cosB＝eq\f(2\r(5),5).∴tanB＝eq\f(1,2).∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.又A，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴A＋B∈(0，π).∴A＋B＝eq\f(π,4).【答案】eq\f(π,4)4.已知tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)的值等于________.【解析】由已知tanα＝－3＋eq\r(2)，tanβ＝－3－eq\r(2)或tanα＝－3－eq\r(2)，tanβ＝－3＋eq\r(2)，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝±eq\f(\r(2),4).【答案】±eq\f(\r(2),4)5.若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，则eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)＝________.【导学号：48582138】【解析】由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2，得tanα＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋1,2tanα＋1)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)\f(tan55°－tan385°,1－tan－305°tan－25°)＝________.【解析】原式＝eq\f(tan55°－tan25°,1－tan305°tan25°)＝eq\f(tan55°－tan25°,1＋tan55°tan25°)＝tan(55°－25°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).【答案】eq\f(\r(3),3)7.在△ABC中，若0<tanBtanC<1，则△ABC是________三角形.【解析】易知tanB>0，tanC>0，B，C为锐角.eq\f(sinBsinC,cosBcosC)<1，∴cosBcosC>sinBsinC.∴cosBcosC－sinBsinC>0，∴cos(B＋C)>0，故A为钝角.【答案】钝角8.已知sinα＝eq\f(3,5)，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值为________.【解析】∵sinα＝eq\f(3,5)，α是第二象限角，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4).∴tanβ＝eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1＋1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝eq\f(1＋\f(3,4),1－\f(3,4))＝7.【答案】7二、解答题9.求下列各式的值：(1)tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°；(2)tan70°－tan10°－eq\r(3)tan70°tan10°.【解】(1)因为tan(17°＋28°)＝eq\f(tan17°＋tan28°,1－tan17°tan28°)，所以tan17°＋tan28°＝tan45°(1－tan17°tan28°)＝1－tan17°tan28°，所以tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝1.(2)因为tan60°＝tan(70°－10°)＝eq\f(tan70°－tan10°,1＋tan70°tan10°)，所以tan70°－tan10°＝eq\r(3)＋eq\r(3)tan10°tan70°，所以tan70°－tan10°－eq\r(3)tan10°tan70°＝eq\r(3).10.若△ABC的三内角满足：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tanAtanC＝2＋eq\r(3)，求角A，B，C的大小.【导学号：48582139】【解】由题意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋B＋C＝180°,2B＝A＋C))解之得：B＝60°且A＋C＝120°，∴tan(A＋C)＝tan120°＝－eq\r(3)＝eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)又∵tanAtanC＝2＋eq\r(3)，∴tanA＋tanC＝tan(A＋C)·(1－tanAtanC)＝tan120°(1－2－eq\r(3))＝－eq\r(3)(－1－eq\r(3))＝3＋eq\r(3).∵tanA，tanC可作为一元二次方程x2－(3＋eq\r(3))x＋(2＋eq\r(3))＝0的两根，又∵0＜A＜B＜C＜π，∴tanA＝1，tanC＝2＋eq\r(3).即A＝45°，C＝75°.所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°.[能力提升]1.化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于________.【解析】∵tan30°＝tan(10°＋20°)＝eq\f(tan10°＋tan20°,1－tan10°tan20°)＝eq\f(\r(3),3).∴tan10°＋tan20°＝eq\f(\r(3),3)(1－tan10°tan20°)∴tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝tan10°tan20°＋tan60°(tan10°＋tan20°)＝tan10°tan20°＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)(1－tan10°tan20°)＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.【答案】12.已知tanα，tanβ是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则eq\f(sinα＋β,cosα－β)＝________.【解析】∵tanα，tanβ是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，∴tanα＋tanβ＝－6，tanα·tanβ＝2.则eq\f(sinα＋β,cosα－β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(－6,1＋2)＝－2.【答案】－23.已知α、β均为锐角，且tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，则tan(α＋β)＝________.【解析】∵tanβ＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)，∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1.【答案】14.如图3­1­2，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq\f(\r(2),10)，eq\f(2\r(5),5).图3­1­2求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小.【导学号：48582140】【解】由已知得cosα＝eq\f(\r(2),10)，cosβ＝eq\f(2,5)eq\r(5)，又α，β是锐角.则sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(7,10)eq\r(2)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(\r(5),5).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝7，tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝eq\f(1,2).(1)tan(α＋