工业机器人运动学

工业机器人运动学第一页，共五十四页，2022年，8月28日§2.1工业机器人位姿描述

第2章工业机器人运动学1.点的位置描述图2-1点的位置描述其中,px、py、pz是点P的三个位置坐标分量。

(2.1)

如图2-1所示,在直角坐标系{A}中,空间任一点P的位置可用(3×1)的位置矢量AP表示为第二页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学

2.点的齐次坐标

齐次坐标并不是惟一的,当列阵的每一项分别乘以一个非零因子ω时,即

(2.2)

如用四个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P,则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标,如下:第三页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学(2.3)

其中:a=ωpx,b=ωpy,c=ωpz。该列阵也表示P点,齐次坐标的表示不是惟一的。第四页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学3.坐标轴方向的描述

②列阵［abcω］T中第四个元素不为零,则表示空间某点的位置。规定:

①列阵［abc0］T中第四个元素为零,且a2+b2+c2=1,表示某轴(或某矢量)的方向;图2-2坐标轴方向的描述如图，用i、j、k来表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量,用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向,则有第五页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学例如,在图2-2中,矢量v的方向用(4×1)列阵表示为

其中:a=cosα,b=cosβ,c=cosγ。

当α=60°,β=60°,γ=45°时,矢量为第六页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学4.动坐标系位姿的描述

动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为(4×4)的方阵。如上述直角坐标系可描述为:

(2.4)

第七页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学5.刚体位姿的描述

机器人的每一个连杆均可视为一个刚体,若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空中的姿态,则这个刚体在空间上是唯一确定的,可用唯一一个位姿矩阵进行描述。图2-3刚体的位置和姿态描述

如图2-3所示,设O′X′Y′Z′为与刚体Q固连的一个坐标系,称为动坐标系。刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式表示为:第八页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学令n、o、a分别为X′、

Y′、Z′坐标轴的单位方向矢量,即

刚体的位姿表示为(4×4)矩阵:

第九页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学例1如图表示连于刚体的坐标系{B}位于OB点，xb=10，yb=5，zb=0。ZB轴与画面垂直，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30°的偏转，试写出表示刚体位姿的坐标系{B}的（4×4）矩阵表达式。OAYAXAOBYBXB{A}{B}30°(xb,yb,zb)解：XB的方向阵列：n=[cos30°cos60°cos90°0]T=[0.8660.5000.0000]TYB的方向阵列：o=[cos120°cos30°cos90°0]T=[-0.5000.8660.0000]TZB的方向阵列：a=[0.0000.0001.0000]T坐标系{B}的位置列阵：p=[10.05.00.01]T所以坐标系{B}的（4×4）矩阵表达式为：第十页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学6.手部位姿的描述

机器人手部的位姿如图2-4所示,可用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示。坐标系{B}由原点位置和三个单位矢量惟一确定,即:图2-4机器人手部的位置和姿态描述

(1)原点:取手部中心点为原点OB;(2)接近矢量:关节轴方向的单位矢量a;(3)姿态矢量:手指连线方向的单位矢量o;(4)法向矢量:n为法向单位矢量,同时垂直于a、o矢量,即n=o×a。第十一页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学

手部位姿矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标系{B}原点的矢量p,手部的方向矢量为n、o、a。手部的位姿可由(4×4)矩阵表示:

(2.5)

第十二页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学例2图表示手部抓握物体Q，物体为边长2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵式。XZYY’X’Z’oanQO’解：因为物体Q形心与手部坐标系O’X’Y’Z’的坐标原点O’相重合，所以手部位置的（4×1）列阵为P=[1111]T手部坐标系X’轴的方向可用单位矢量n来表示：n：α=90°，β=180°，γ=90°nx=cosα=0;ny=cosα=-1;nz=cosα=0同理，手部坐标系Y’与Z’轴的方向可分别用单位矢量o和α来表示。手部位姿可用矩阵表达为：第十三页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学图2-5目标物的位置和姿态描述

7.目标物位姿的描述

任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵来表示,如图2-5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点描述,矩阵表达式为

第十四页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学(2.6)

若让其绕Z轴旋转90°,记为Rot(z,90°);再绕Y轴旋转90°,即Rot(y,90°),然后再沿X轴方向平移4,即Trans(4,0,0),则楔块成为(b)图位姿,其齐次矩阵表达式为用符号表示对目标物的变换方式可以记录物体移动的过程,也便于矩阵的运算,所以应该熟练掌握。

第十五页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学§2.2齐次变换及运算一.平移的齐次变换图2-6点的平移变换

如图2-6所示为空间某一点在直角坐标系中的平移,由A(x,y,z)平移至A′(x′,y′,z′),即或写成：

(2.7)第十六页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学a′=Trans(Δx,Δy,Δz)a

记为:

其中,Trans(Δx,Δy,Δz)称为平移算子,Δx、Δy、Δz分别表示沿X、Y、Z轴的移动量。即:(2.8)

(2.9)

第十七页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学

注:①算子左乘:表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。②算子右乘:表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。③

该公式亦适用于坐标系的平移变换、

物体的平移变换,如机器人手部的平移变换。

第十八页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学例3：有下面两种情况（如图2-7），动坐标系{A}相对于定坐标系的X0、Y0、Z0轴作（-1，2，2）平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系（即动系）的X、Y、Z轴分别作（-1，2，2）平移后到{A”}。已知：试写出坐标系{A’}、{A”}的矩阵表达式。图2-7坐标系的平移变换Z0Y’Y0X0X’Z’X”Y”Z”{A}{A”}{A’}YXZ第十九页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学解：动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为

{A’}坐标系是动系{A}沿固定坐标系作平移变换得来的，因此算子左乘，{A’}的矩阵表达式为22-12第二十页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学

{A”}坐标系是动系{A}沿自身坐标系作平移变换得来的，因此算子右乘，{A”}的矩阵表达式为

经过平移坐标变换后，坐标{A’}、{A”}的实际情况已图解在图2-7中。第二十一页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学二.旋转的齐次变换

点在空间直角坐标系中的旋转如图2-8所示。A(x,y,z)绕Z轴旋转θ角后至A′(x′,y′,z′),A与A′之间的关系为图2-8点的旋转变换(2.10)

第二十二页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学写成矩阵形式为

(2.17)

记为:a′=Rot(z,θ)a

其中,绕Z轴旋转算子左乘是相对于固定坐标系,即

(2.18)

第二十三页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学同理,(2.19)

(2.20)

第二十四页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学

图2-9所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角的情况。kx、ky、kz分别为k矢量在固定参考坐标轴X、Y、Z上的三个分量,且k2x+k2y+k2z=1。可以证明,其旋转齐次变换矩阵为

图2-9点的一般旋转变换

第二十五页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学(2.21)

注:①该式为一般旋转齐次变换通式,概括了绕X、Y、Z轴进行旋转变换的情况。反之,当给出某个旋转齐次变换矩阵,则可求得k及转角θ。②变换算子公式不仅适用于点的旋转,也适用于矢量、坐标系、物体的旋转。③

左乘是相对固定坐标系的变换;右乘是相对动坐标系的变换。

第二十六页，共五十四页，2022年，8月28日三.平移加旋转的齐次变换

第2章工业机器人运动学平移变换和旋转变换可以组合在一起，计算时只要用旋转算子乘上平移算子就可以实现在旋转上加平移。不再赘述。练习：已知坐标系中点U的齐次坐标U=[7321]T，将此点绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，还要作4i-3j+7k的平移，求变换后得到的点W的列阵表达式。end第二十七页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学§2.3工业机器人连杆参数及其齐次变换矩阵一.连杆参数及连杆坐标系的建立图2-10连杆的几何参数

1、连杆参数描述该连杆可以通过两个几何参数:

连杆长度an和扭角αn。第二十八页，共五十四页，2022年，8月28日第2章工业机器人运动学

描述相邻杆件n与n-1的关系参数的两个参数：

连杆距离dn和连杆转角θn图2-11连杆的关系参数

第二十九页，共五十四页，2022年，8月28日第2章工业机器人运动学

这样,每个连杆可以由四个参数来描述,其中两个是连杆尺寸,两个表示连杆与相邻连杆的连接关系。确定连杆的运动类型,同时根据关节变量即可设计关节运动副,从而进行整个机器人的结构设计。已知各个关节变量的值,便可从基座固定坐标系通过连杆坐标系的传递,推导出手部坐标系的位姿形态。第三十页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学

建立连杆n坐标系(简称n系)的规则如下:①连杆n坐标系的坐标原点位于n+1关节轴线上,是关节n+1的关节轴线与n和n+1关节轴线公垂线的交点。2、连杆坐标系的建立②Z轴与n+1关节轴线重合。③X轴与公垂线重合;从n指向n+1关节。④Y轴按右手螺旋法则确定。第三十一页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学表2.1连杆参数及坐标系

连杆的参数名称含义“±”号性质θn转角连杆n绕关节n的Zn-1轴的转角右手法则转动关节为变量移动关节为常量dn距离连杆n沿关节n的Zn-1轴的位移沿Zn-1正向为+转动关节为常量移动关节为变量an长度沿Xn方向上，连杆n的长度，尺寸参数与Xn正向一致常量αn扭角连杆n两关节轴线之间的扭角，尺寸参数右手法则常量连杆n的坐标系OnZnXnYn原点On轴Zn轴Xn轴Yn位于关节n+1轴线与连杆n两关节轴线的公垂线的交点处与关节n+1轴线重合沿连杆n两关节轴线之公垂线，并指向n+1关节按右手法则确定第三十二页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学二、连杆坐标系之间的变换矩阵

各连杆坐标系建立后,n-1系与n系间变换关系可用坐标系的平移、旋转来实现。从n-1系到n系的变换步骤如下:该变换过程用一个总的变换矩阵An来表示连杆n的齐次变换矩阵:(1)令n-1系绕Zn-1轴旋转θn角,使Xn-1与Xn平行,算子为Rot(z,θn)。(2)沿Zn-1轴平移dn,使Xn-1与Xn重合,算子为Trans(0,0,dn)。(3)沿Xn轴平移an,使两个坐标系原点重合,算子为Trans(an,0,0)。(4)绕Xn轴旋转αn角,使得n-1系与n系重合,算子为Rot(x,αn)。

第三十三页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学

实际中,多数机器人连杆参数取特殊值,如αn=0或dn=0,可以使计算简单且控制方便。

第三十四页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学§2.4工业机器人运动学方程一.机器人运动学方程A变换矩阵(A矩阵):描述一个连杆坐标系与下一个连杆坐标系间相对关系的齐次变换矩阵。T6=A1A2A3A4A5A6

(2.23)

（六连杆）机器人运动学方程：第三十五页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学分析该矩阵:前三列表示手部的姿态;第四列表示手部中心点的位置。可写成如下形式:(2.24)第三十六页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学二.正向运动学及实例

1、平面关节型机器人运动学方程如图2-12所示,SCARA装配机器人。

图2-12SCARA装配机器人的坐标系

第三十七页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学表2.2SCARA装配机器人连杆参数

连杆转角（变量）θ两连杆间距离d连杆长度a连杆扭角α连杆1θ1d1=0a1=l1=100α1=0连杆2θ2d2=0a2=l2=100α2=0连杆3θ3d3=0a3=l3=20α3=0该机器人的参数如表2.2所示。第三十八页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学该平面关节型机器人的运动学方程为

T3=A1A2A3

(2.25)

T3为手部坐标系(即手部)的位姿。由于其可写成(4×4)的矩阵形式,即可得向量p、n、o、a,把θ1、θ2、θ3代入可得。

(2.26)(2.27)(2.28)第三十九页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学当转角变量分别为θ1=30°,θ2=-60°,θ3=-30°时，则可根据平面关节型机器人运动学方程求解出运动学正解,即手部的位姿矩阵表达式

(2.29)

第四十页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学2、斯坦福机器人的运动学方程图2-13斯坦福(STANFORD)机器人坐标系第四十一页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学表2.3斯坦福机器人连杆参数

杆号关节转角θ两连杆间距离d连杆长度a连杆扭角α连杆1θ100-90°连杆2θ2d2090°连杆30d300°连杆4θ400-90°连杆5θ50090°连杆6θ6H00°第四十二页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学图3.14斯坦福（STANFORD）机器人的连杆坐标系齐次变换矩阵Ai:第四十三页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学所以：斯坦福机器人运动学方程：第四十四页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学三、反向运动学及实例

反向运动学解决的问题是:已知手部的位姿,求各个关节的变量。T6=A1A2A3A4A5A6

(2.30)

如图2-13所示,以6自由度斯坦福(STANFORD)机器人为例,其连杆坐标系如图2-13所示,设坐标系{6}与坐标系{5}原点重合,其运动学方程为:第四十五页，共五十四页，2022年，8月28日

第2章工业机器人运动学图2-13斯坦福(STANFORD)机器人图3.14斯坦福（STANFORD）机器人的连杆坐标系现在