层次分析法与一元回归

层次分析法与一元回归第一页，共五十八页，2022年，8月28日3.1层次分析法第二页，共五十八页，2022年，8月28日问题：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，比较的因素有景色、费用、居住、饮食、旅途条件等，你如何决定选择哪个旅游胜地呢？第三页，共五十八页，2022年，8月28日层次分析法的思想人的决策过程—层次分析的原理首先，你会确定这些因素在你的心目中各占多大比重，其次，你会就每一个因素将3个地点进行对比。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。这就是层次分析法解决问题的思路。第四页，共五十八页，2022年，8月28日层次分析法的适用层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，简称AHP）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。第五页，共五十八页，2022年，8月28日层次分析法基本原理与步骤运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i）建立递阶层次结构模型；（ii）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii）层次单排序及一致性检验；（iv）层次总排序及一致性检验。第六页，共五十八页，2022年，8月28日1.递阶层次结构的建立层次分析法的前提是首先把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。原始问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。第七页，共五十八页，2022年，8月28日这些层次可以分为三类：（i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。（ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。（iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。第八页，共五十八页，2022年，8月28日例1假期旅游有3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。第九页，共五十八页，2022年，8月28日〔例2〕购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：

第十页，共五十八页，2022年，8月28日〔例3〕选拔干部模型对三个干部候选人y1、y2、y3，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：第十一页，共五十八页，2022年，8月28日思考：各因素之间的重要度（或者权重）用何种方法确定会比较准确呢？第十二页，共五十八页，2022年，8月28日构造判断矩阵在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较，建立成对比较矩阵的办法。比较第i个元素与第j个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。设共有n个元素参与比较，全部比较结果用矩阵表示，则称为成对比较判断矩阵。容易看出，若xi与xj对相对上一层某个因素的影响之比为aij，则xj与xi的影响之比应为1/aij。第十三页，共五十八页，2022年，8月28日关于如何确定的值，Saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。下表列出了1~9标度的含义：第十四页，共五十八页，2022年，8月28日思考：两两因素之间的关系一共要做多少次比较？做n-1次比较的弊病在哪里？合理的比较次数？第十五页，共五十八页，2022年，8月28日a14=5表示品德与年龄重要性之比为5，即决策人认为品德比年龄明显重要。

第十六页，共五十八页，2022年，8月28日3层次单排序及一致性检验3.1层次单排序任务：得出同一层次中的每个因素对于上一层次某因素相对重要性的权重。做法：判断矩阵对应于最大特征值的特征向量，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。第十七页，共五十八页，2022年，8月28日3.2一致性检验必要性：综合判断矩阵中全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。在做层次单排序之前，需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵是否严重地非一致，以便确定是否接受。定理3n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根，且当正互反矩阵非一致时，必有。第十八页，共五十八页，2022年，8月28日第十九页，共五十八页，2022年，8月28日第二十页，共五十八页，2022年，8月28日对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：第二十一页，共五十八页，2022年，8月28日例：对选拔干部一例作一致性检验计算得到查得RI=1.12，

这说明A不是一致阵，但A具有满意的一致性，A的不一致程度是可接受的。第二十二页，共五十八页，2022年，8月28日此时A的最大特征值对应的特征向量为U=

(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。该特征向量标准化后变成U=(0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)。

第二十三页，共五十八页，2022年，8月28日思考如何求得？其对应的特征向量如何求得？第二十四页，共五十八页，2022年，8月28日特征值与特征向量的简便算法：在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵A=(aij)的最大特征值λmax(A)和相应特征向量的近似值。

上式可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。

上式可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由λ来判断矩阵A的一致性。

第二十五页，共五十八页，2022年，8月28日4.层次总排序及一致性检验上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。第二十六页，共五十八页，2022年，8月28日思考：对层次总排序是否需作一致性检验？第二十七页，共五十八页，2022年，8月28日层次分析法的应用以选拔干部为例第二十八页，共五十八页，2022年，8月28日1.递阶层次结构的建立第二十九页，共五十八页，2022年，8月28日2.构造成对比较矩阵

a14=5表示品德与年龄重要性之比为5，即决策人认为品德比年龄重要。

第三十页，共五十八页，2022年，8月28日作一致性检验计算得到查得RI=1.12，

这说明A不是一致阵，但A具有满意的一致性，A的不一致程度是可接受的。此时A的最大特征值对应的特征向量为U=

(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。该特征向量标准化后变成U=(0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)Z。

第三十一页，共五十八页，2022年，8月28日对三个候选人y=y1,y2,y3分别比较他们的品德(x1)，才能(x2)，资历(x3)，年龄(x4)，群众关系(x5)。先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵

第三十二页，共五十八页，2022年，8月28日经计算，B1的权向量ωx1(Y)=(0.082,0.244,0.674)z故B1的不一致程度可接受。ωx1(Y)可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。

第三十三页，共五十八页，2022年，8月28日类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵

第三十四页，共五十八页，2022年，8月28日通过计算知，相应的权向量为它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。经检验知B2,B3,B4,B5的不一致程度均可接受。

第三十五页，共五十八页，2022年，8月28日4.层次总排序及决策最后计算各候选人的总得分。y1的总得分同理可得y2,Y3的得分为

ωz(y2)=0.243,ωz(y3)=0.452比较后可得：候选人y3是第一干部人选。

第三十六页，共五十八页，2022年，8月28日层次分析法的局限性在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（i）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（ii）如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。其局限性，主要表现在：（i）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。（ii）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法。第三十七页，共五十八页，2022年，8月28日回归分析第三十八页，共五十八页，2022年，8月28日定义：回归分析预测法，是在分析自变量和因变量之间相关关系的基础上，建立变量之间的回归方程，进而进行因变量的变化预测的方法。作用：回归方程可以作为预测模型，根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量关系，因此，回归分析预测法是一种重要的预测方法。做法：当我们在对交通现象（例如轨道交通客流量）未来发展状况和水平进行预测时，如果能将影响交通预测对象的主要因素找到，并且能够取得其数量资料，就可以采用回归分析预测法进行预测。第三十九页，共五十八页，2022年，8月28日Q=aX+b第四十页，共五十八页，2022年，8月28日回归分析法的分类依据相关关系中自变量的个数不同分类，可分为一元回归分析预测法和多元回归分析预测法。在一元回归分析预测法中，自变量只有一个，而在多元回归分析预测法中，自变量有两个以上。依据自变量和因变量之间的相关关系不同，可分为线性回归预测和非线性回归预测。第四十一页，共五十八页，2022年，8月28日回归分析预测的步骤1．根据预测目标，确定自变量和因变量明确预测的具体目标，也就确定了因变量。如预测具体目标是下一年度某一小区的产生交通量，那么产生交通量Y就是因变量。通过交通调查、经济调查和查阅资料，寻找与预测目标相关的影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响因素。2．建立回归预测模型依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立回归分析方程，即回归分析预测模型。第四十二页，共五十八页，2022年，8月28日3．进行相关分析回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。第四十三页，共五十八页，2022年，8月28日4．检验回归预测模型，计算预测误差回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检验和对预测误差的计算。回归方程只有通过各种检验，且预测误差较小，才能将回归方程作为预测模型进行预测。5．计算并确定预测值利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确定最后的预测值。第四十四页，共五十八页，2022年，8月28日第四十五页，共五十八页，2022年，8月28日第四十六页，共五十八页，2022年，8月28日第四十七页，共五十八页，2022年，8月28日线性回归中未知参数的确定第四十八页，共五十八页，2022年，8月28日线性回归中未知参数的确定第四十九页，共五十八页，2022年，8月28日未知参数的计算结果第五十页，共五十八页，2022年，8月28日某公司的销售额与电视广告费如下所示，请做两者的回归分析：年份销售额（万元）

电视广告费用（万元）199792025199895030199994035200094025200194030第五十一页，共五十八页，2022年，8月28日解：B2=90/70=1.28B1=900.7Y=900.7+1.28xyxxyx^2-18-472161211212612362-4-81621219070第五十二页，共五十八页，2022年，8月28日新兴的计算方法第五十三页，共五十八页，2022年，8月28日主成分分析法第五十四页，共五十八页，2022年，8月28日聚类分析法第五十五页，共五十八页，2022年，8月28日灰色模型灰色系统是既含有已知信息，又含有未知信息或非确知信息的系统，这样的系统普遍存在。研究灰色系统的重要内容之一是如何从一个不甚明确的、整体信息不足的系统中抽象并建立起一个模型，该模型能使灰色系统的因素由不明确到明确，由知之甚少发展到知之较多提供研究