高中数学北师大版2第一章推理与证明 第1章2分析法

分析法1.了解分析法的思维过程、特点.(重点)2.会用分析法证明数学问题.(难点)[基础·初探]教材整理分析法阅读教材P9～P11，完成下列问题.1.分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法.2.分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P2⇐P3)→…→eq\x(\a\al(得到一个明显成立的条件))3.综合法和分析法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知.()(2)分析法的推理过程要比综合法优越.()(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明.()【解析】(1)错误.分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程.(2)错误.分析法和综合法各有优缺点.(3)正确.一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明.【答案】(1)×(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]应用分析法证明不等式已知a>b>0，求证：eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(（a－b）2,8b).【精彩点拨】本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件.【自主解答】要证eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(（a－b）2,8b)，只需证eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(（\r(a)－\r(b)）2,2)<eq\f(（a－b）2,8b).∵a>b>0，∴同时除以eq\f(（\r(a)－\r(b)）2,2)，得eq\f(（\r(a)＋\r(b)）2,4a)<1<eq\f(（\r(a)＋\r(b)）2,4b)，同时开方，得eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(a))<1<eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(b))，只需证eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(a)，且eq\r(a)＋eq\r(b)>2eq\r(b)，即证eq\r(b)<eq\r(a)，即证b<a.∵a>b>0，∴原不等式成立，即eq\f(（a－b）2,8a)<eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)<eq\f(（a－b）2,8b).1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式.2.分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.[再练一题]1.(2023·合肥高二检测)已知a>0，求证：eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.【导学号：94210013】【证明】要证eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只需证eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2)，即证eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋\f(1,a2))＋2))eq\s\up8(2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋\r(2)))eq\s\up8(2)，即a2＋eq\f(1,a2)＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))＋4≥a2＋eq\f(1,a2)＋2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋4，只需证2eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))).只需证4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋2＋\f(1,a2)))，即a2＋eq\f(1,a2)≥2.上述不等式显然成立，故原不等式成立.用分析法证明其他问题(2023·合肥高二检测)求证：以过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－eq\f(p,2)相切.【精彩点拨】【自主解答】如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|.由抛物线的定义有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，因此只需证|MM′|＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|).根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－eq\f(p,2)相切.1.分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法.2.分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等.[再练一题]2.已知eq\f(1－tanα,2＋tanα)＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα).【导学号：94210014】【证明】要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需证eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝3，只需证eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝3，只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－eq\f(1,2).∵eq\f(1－tanα,2＋tanα)＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1.∴tanα＝－eq\f(1,2)显然成立，∴结论得证.[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2综合法与分析法有什么区别？【提示】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).【精彩点拨】可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来.【自主解答】由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝x＋y，,b2＝cx，,c2＝by，))消去x，y得2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，且a>0，b>0，c>0.要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需证a＋1≥eq\r(（b＋1）（c＋1）)，因eq\r(（b＋1）（c＋1）)≤eq\f(（b＋1）＋（c＋1）,2)，只需证a＋1≥eq\f(b＋1＋c＋1,2)，即证2a≥b＋c.由于2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，故只需证eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)≥b＋c，只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.[再练一题]3.已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).【证明】要证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，即证eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2.∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.∵c2＋a2－b2＝2accosB，∴c2＋a2－b2＝ac，∴c2＋a2＝ac＋b2，∴eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)成立.[构建·体系]1.要证明eq\r(2)＋eq\r(7)>2eq\r(3)，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A.综合法 B.分析法C.比较法 D.归纳法【解析】由分析法和综合法定义可知选B.【答案】B2.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()≤eq\f(1,2) ≥eq\f(1,2)＋b2≥2 ＋b2≤3【解析】∵a＋b＝2≥2eq\r(ab)，∴ab≤1.∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.【答案】C\r(3,a)－eq\r(3,b)<eq\r(3,a－b)成立的充要条件是()(b－a)>0 >0且a>b<0且a<b (b－a)<0【解析】eq\r(3,a)－eq\r(3,b)<eq\r(3,a－b)⇔(eq\r(3,a)－eq\r(3,b))3<(eq\r(3,a－b))3⇔a－b－3eq\r(3,a2b)＋3eq\r(3,ab2)<a－b⇔eq\r(3,ab2)<eq\r(3,a2b)⇔ab2<a2b⇔ab(b－a)<0.【答案】D4.设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值为________.【导学号：94210015】【解析】因为a＋b＋c＝1，且a>0，b>0，c>0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(a,c)＋eq\f(c,a)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立.【答案】95.已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.【证明】法一：(分析法)要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0成立.所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立.法二：(综合法)因为a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a，b，c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若a，b∈R，则eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)成立的一个充分不必要条件是()>0 >a<b<0 (a－b)<0【解析】由a<b<0⇒a3<b3<0⇒eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)，但eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)不能推出a<b<0，∴a<b<0是eq\f(1,a3)>eq\f(1,b3)的一个充分不必要条件.【答案】C2.求证：eq\r(7)－1>eq\r(11)－eq\r(5).证明：要证eq\r(7)－1>eq\r(11)－eq\r(5)，只需证eq\r(7)＋eq\r(5)>eq\r(11)＋1，即证7＋2eq\r(7×5)＋5>11＋2eq\r(11)＋1，即证eq\r(35)>eq\r(11)，∵35>11，∴原不等式成立.以上证明应用了()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法配合使用D.间接证法【解析】该证明方法符合分析法的定义，故选A.【答案】A3.(2023·汕头高二检测)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()－1－a2b2≤0＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0\f(（a＋b）2,2)－1－a2b2≤0D.(a2－1)(b2－1)≥0【解析】要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.【答案】D4.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()<b2＋c2 ＝b2＋c2>b2＋c2 ≤b2＋c2【解析】由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，∴b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.【答案】C5.分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”，索的因应是()－b>0 －c>0C.(a－b)(a－c)>0 D.(a－b)(a－c)<0【解析】由题意知eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a⇐b2－ac<3a2⇐b2＋a(a＋b)<3a2⇐b2＋a2＋ab<3a2⇐b2＋ab<2a2⇐2a2－ab－b2>0⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选C.【答案】C二、填空题6.(2023·烟台高二检测)设A＝eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)，B＝eq\f(2,a＋b)(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________.【解析】∵A－B＝eq\f(a＋b,2ab)－eq\f(2,a＋b)＝eq\f(（a＋b）2－4ab,2ab（a＋b）)＝eq\f(（a－b）2,2ab（a＋b）)≥0，∴A≥B.【答案】A≥B7.(2023·西安高二检测)如果aeq\r(a)>beq\r(b)，则实数a，b应满足的条件是________.【导学号：94210016】【解析】要使aeq\r(a)>beq\r(b)成立，只需(aeq\r(a))2>(beq\r(b))2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.【答案】a>b>08.如图1­2­5，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写出一个条件即可).图1­2­5【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)三、解答题9.设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】法一：分析法要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立.而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证.法二：综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，∴a3＋b3>a2b＋ab2.10.(2023·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.【证明】要证a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcosC)≥2eq\r(3)absinC，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立，所以a2＋b2＋c2≥4eq\r(3)S.[能力提升]1.已知a，b，c，d为正实数，且eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，则()\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d)\f(a＋c,b＋d)<eq\f(a,b)<eq\f(c,d)\f(a,b)<eq\f(c,d)<eq\f(a＋c,b＋d)D.以上均可能【解析】先取特殊值检验，∵eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，则eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(2,5)，满足eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).∴B，C不正确.要证eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)，∵a，b，c，d为正实数，∴只需证a(b＋d)<b(a＋c)，即证ad<bc.只需证eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，而eq\f(a,b)<eq\f(c,d)成立，∴eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d).同理可证eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).故A正确，D不正确.【答案】A2.(2023·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是()＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(a＋b)(a>0，b>0)\r(a)－eq\r(a－1)<eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)\r(2)＋eq\r(10)>2eq\r(6)【解析】对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对于B，∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(a＋b))2＝a＋b，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(a＋b)；对于C，要证eq\r(a)－eq\r(a－1)<eq\r(a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)成立，只需证明eq\r(a)＋eq\r(a－3)<eq\r(a－2)＋eq\r(a－1)，两边平方得2a－3＋2eq\r(a（a－3）)<2a－3＋2eq\r(（a－2）（a－1）)，即eq\r(a（a－3）)<eq\r(（a－2）（a－1）)，两边平方得a2－3a<a2－3a＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(eq