第4章 排列、组合与概率

第4章排列、组合与概率分类计数原理与分步计数原理排列组合4.1分类计数原理与分步计数原理

问题1某人从甲地到乙地，可以乘汽车、轮船或火车，一天中汽车有3班，轮船有2班，火车有1班．一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？实例考察

问题2某人从甲地出发，经过乙地到达丙地．从甲地到乙地有A，B，C共3条路可走；从乙地到丙地有a，b共2条路可走．那么，从甲地经过乙地到丙地共有多少种不同的走法？4.1分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理（加法原理）：如果完成一件事有n类办法，在第1类办法中有k1种不同的方法，在第2类办法中有k2种不同的方法……在第n类办法中有kn种不同的方法，那么，完成这件事共有

N＝k1＋k2＋…＋kn

种不同的方法．4.1分类计数原理与分步计数原理

分步计数原理（乘法原理）：4.1分类计数原理与分步计数原理如果一件事需要分成n个步骤完成，做第1步有k1种不同的方法，做第2步有k2种不同的方法……做第n步有kn种不同的方法，那么，完成这件事共有

N＝k1×k2×…×kn

种不同的方法．例题解析

例1书架上层放有5本不同的语文书，中层放有6本不同的数学书，下层放有4本不同的外语书．求解下列问题：

（1）从中任取1本，有多少种不同的取法？

（2）从中任取语文、数学和外语书各1本，有多少种不同的取法？4.1分类计数原理与分步计数原理

解（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从上层取语文书，可以从5本书中任取1本，有5种方法；第2类办法是从中层取数学书，可以从6本书中任取1本，有6种方法；第3类办法是从下层取外语书，可以从4本书中任取1本，有4种方法．根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是

N＝5＋6＋4＝154.1分类计数原理与分步计数原理

（1）从中任取1本，有多少种不同的取法？解从书架上任取语文、数学和外语书各1本，可以分成3个步骤完成：第1步是从上层取1本语文书，有5种方法；第2步是从中层取1本数学书，有6种方法；第3步是从下层取1本外语书，有4种方法．根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是

N＝5×6×4＝120

4.1分类计数原理与分步计数原理（2）从中任取语文、数学和外语书各1本，有多少种不同的取法？例2甲、乙两个同学做“石头、剪刀、布”的游戏，出手一次，共有多少种不同的情况发生？如果三个人做此游戏，出手一次，又有多少种不同的情况发生？4.1分类计数原理与分步计数原理

分析虽然甲、乙两个同学是同时出手，但不妨看作甲先出手、乙后出手，这是两个接连进行的过程．解甲出手有3种选择，乙出手也有3种选择，所以两人做游戏出手一次，共有3×3＝9种不同的情况．类似地，如果甲、乙、丙三人做此游戏，出手一次，共有3×3×3＝27种不同的情况．

课堂练习1．在一次读书活动中，指定的书目包括：不同的文学书3本，历史书5本，科技书7本，某同学任意选读其中1本，共有多少种不同的选法？2．某班三好学生中男生有5人，女生有4人，从中任选1人去领奖，共有多少种不同的选法？从中任选男女各1人去参加座谈会，共有多少种不同的选法？4.1分类计数原理与分步计数原理3．某手机生产厂为某种机芯设计了3种不同的外形，每种外形又有5种不同色彩的外壳及6种不同的屏幕背景灯光，问这种手机共可设计多少种不同的款式？

4．由1，3，5，7这4个数字组成的没有重复数字的两位数共有多少个？4.1分类计数原理与分步计数原理4.2排列要从甲、乙、丙3名工人中选取2名，分别安排上日班和晚班，找出所有的选择方法，将下表补充完整．实例考察4.2排列有分别编号的4个小球和3个盒子，要选取其中的3个小球分别放入盒子中，每个盒子只能放一个球，下表已给出两种放置方法，请你补充列出其余所有方法．一、排列与排列数的概念4.2排列4.2排列从n个不同元素中取m个元素（n，m∈N，m≤n）的所有排列的个数，称为从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号P

表示．mn4.2排列

一般地，从n个不同的元素中任取m个元素（n，m∈N

*，m≤n），按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列．课堂练习１1．判断下列问题是不是求排列数的问题，如果是，请写出相应的排列数的符号：

（1）把5只苹果平均分给5个同学，计算共有多少种分配方法．（2）从5只苹果中取出2只给某位同学，计算共有多少种选择方法．

（3）10个人互写一封信，计算共写多少封信．

（4）10个人互通一次电话，计算共通几次电话．4.2排列

2．按要求写出排列，并写出相应的排列数的符号：

（1）3个元素a，b，c全部取出的所有排列．

（2）从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列．4.2排列

4.2排列

二、排列数公式4.2排列

求排列数P：假定有排好顺序的m个空位，从n个不同的元素a1，a2

，a3

，…，an中任取m个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同的填法的种数就是排列数P.mnmn由此可得排列数公式：4.2排列排列数公式的特点是：等号右边第1个因数是n，后面的每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数为n－m＋1，共有m个因数相乘．根据分步计数原理，全部填满m个空位共有

n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）从n个不同元素中取出全部n个元素的一个排列称为n个元素的一个全排列．这时排列数公式中m＝n，即有P＝n×（n－1）×（n－2）×…×3×2×1正整数1，2，3，…，n的连乘积称为n的阶乘，记作n！即nn4.2排列

例题解析例1计算下列各题：4.2排列解（2）本题也可以直接用计算器计算．计算的按键过程为：计算的按键过程为：4.2排列解由于即解得所以例2若，求4.2排列

例3有5本不同的书，发给3名同学，每人1本，共有多少种不同的分法？35解分书方法的种数就是从5本书中任取3本书的排列数，即P＝5×4×3＝60种例4某信号兵用红、黄、蓝3面旗挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的悬挂顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种信号？4.2排列

（种）解用1面旗表示的信号有种，用2面旗表示的信号有种，用3面旗表示的信号有种.根据分类计数原理，所求信号种数是4.2排列

例5用0～9这10个数字可以组成多少个没有重复数字

的三位数？解法1符合条件的三位数可以分为3类：第1类：每位数字都不是0的三位数，有个.第2类：个位数字是0的三位数，有个.第3类：十位数字是0的三位数，有个.根据分类计数原理，符合条件的三位数的个数是4.2排列

解法2因为百位上的数字不能是0，所以可分两个步骤来完成：第1步，先排百位上的数字，它只能从除0以外的1～9这9个数字中任选一个，有P种选法．

第2步，再排十位和个位上的数字，它可以从余下的9个数字（包括0）中任选两个，有P种选法．根据分步计数原理，所求的三位数的个数是1929解法3从0～9这10个数字中任选3个数字的排列数为P，其中0排在百位上的排列数为P，因此所求的三位数的个数是310294.2排列

4.2排列

例6以所有26个英文字符组成一个26位的密码，规定在一个密码中不出现相同的字符，那么可以组成多少种不同的密码？以单台计算机去解密，若计算机解密的速度是每秒钟检查107个不同的密码，那么最多需要多少时间才能解密？（结果以年为单位，保留6位有效数字）解26个英文字符是26个不同的元素，一个密码是26个元素的一个全排列，总计密码数是26的全排列数．所以组成的密码数是26！．计算机解密耗时最长的情况是直到最后一个才检查到设置的密码，此时耗时T为

所以，用题中所给计算机解密，最多需要时间约为

12788.3亿年．

4.2排列

课堂练习2１．计算：2．若，求n。3．由0，1，2，3，5，7，9这7个数字能组成多少个没有重复数字的三位数？4．（1）7人排队，甲必须站在正中间有多少种排法？（2）7人排队，甲，乙必须站头尾有多少种排法

4.2排列

4.3组合在一个4人（甲、乙、丙、丁）参加的小型工作会议上，任何一位与会者都要同其他与会者每人握手一次．下表已给出两次握手的双方名单，请补充列出其他各次握手的双方名单．实例考察4.3组合列出各次握手的双方名单就是要从4个人中选出两人，且不计两人间的顺序，并将各种选法罗列出来．要从甲、乙、丙3名工人中选取2名，共同值晚班，有多少种选择方法？请逐一列出．一般地，从n个不同元素中取出m个元素（n，m∈N*，m≤n），不考虑顺序组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．mn4.3组合

一、组合与组合数的概念例题解析（1）在人数为60人的班级中，选出5人参加专业知识竞赛，有多少种选法？

（2）由20人组成的足球队中，除守门员外，还需选10人作为首发阵容，可组成多少种不同的首发阵容？又要在50名拉拉队员中挑选20人前往助阵，有多少种挑选方案？4.3组合

例把下列的问题归结为组合问题，并写出相应的组合数的符号：4.3组合

（2）除去守门员，从19位球员中选10人出阵，因为10人将分别担当右后卫、左前锋等不同职责，因此与顺序有关，是排列问题，共有Ｐ种不同的首发阵容；选助阵拉拉队员与顺序无关，是组合问题，共有Ｃ种挑选方案．

10192050560解（1）一般来说，专业知识竞赛的选手之间无分工问题．所以选择过程与顺序无关，是组合问题，共有C种选法．课堂练习１1．把下列的问题归结为组合问题，并写出相应的组合数的符号：

（1）6位朋友互相握手道别，共握手多少次？

（2）6道习题任意选做4道题，有多少种不同的选法？

（3）正16边形有多少条对角线？4.3组合2．按要求写出下列组合：

（1）从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有组合．

（2）从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有组合．4.3组合10.3组合

二、组合数公式34

第1步，从４个不同元素中取出３个元素作组合，共有Ｃ种。34从４个不同元素中取３个元素的排列数Ｐ：10.3组合

通常，从n个不同元素中取出m个元素的排列数P，可以按以下两步求得：

第1步，先求出从n个不同元素中取出m个元素的组合数C.mnmn33第2步，对每一个组合中的3个不同元素作全排列，各有P＝6种．

根据分步计数原理，得因此

由此得到组合数公式：4.3组合mn第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数P.根据分步计数原理，得10.3组合

组合数C同样也可以利用计算器直接计算，其按键顺序是：mn

因为所以组合数公式还可写成根据组合数公式，当m＝n时有例题解析4.3组合例1计算：解4.3组合解因为12个点中任何3个点都不在同一直线上，所以任取3个点都可以画出一个三角形．因此所求三角形的个数，就是从12个不同的元素中取出3个元素的组合数，即

所以一共可画220个三角形．

例2平面内有12个点，任何3个点不在同一直线上，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形？解设与会的人数为n．根据题意，互相握手的次数为C＝15，即

解得所以，共有6人参加这次集会．

2n4.3组合

例3一次小型聚会，每一个与会者都和其他与会者握一次手，共有15次握手，问有多少人参加这次聚会？例4100件商品中含有3件次品，其余都是正品，从中任取3件：（1）3件都是正品，有多少种不同的取法？

（2）3件中恰有1件次品，有多少种不同的取法？

（3）3件中最多有1件次品，有多少种不同的取法？

（4）3件中至少有1件次品，有多少种不同的取法？

解

（１）因为3件都是正品，所以应从97件正品中取，

所有不同取法的种数是

4.3组合4.3组合解从97件正品中取2件，有C种取法；从3件次品中取1件，有C种取法．因此，根据分步计数原理，任取的3件中恰有1件次品的不同取法的种数是

29713（2）3件中恰有1件次品，有多少种不同的取法？解３件中最多有１件次品的取法，包括只有１件是次品和没有次品两种，其中只有１件是次品的取法有CC种，没有次品的取法有C种，因此，3件中最多有1件次品的取法的种数是132973974.3组合（3）3件中最多有1件次品，有多少种不同的取法？解3件中至少有1件次品的取法，包括1件是次品，2件是次品和3件是次品，因此3件中至少有1件次品的取法的种数是

4.3组合（4）3件中至少有1件次品，有多少种不同的取法？课堂练习24.3组合１．计算：2．平面内有8个点，其中只有3个点在一条直线上，过每2个点作一条直线，一共可以作几条直线？3．从2，3，5，7，11这5个数中任取2个相加，可以得到多少个不同的和？10.3组合

三、组合数的性质在一般情况下：从n个元素中选出m个元素的组合数，与从n个元素中选出n－m个元素的组合数是相等的．

由此，得到组合数的一种重要性质：例题解析4.3组合解例1计算例题解析4.3组合例2已知，求n．解为使，可令n=3n－2，即n=1又因为，所以成立又因此也可令10－n=3n－2，即n=3因此，n=1或n=3课堂练习34.3组合1.计算：（1）（2）2.已知，求n.专题阅读抽屉原理与电脑算命一:引子《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事，大意是：齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃子；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃。两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳。公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子。并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了。古冶子见了，后悔不迭。仰天长叹道：如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气。如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士！说罢，也拔剑自杀了。晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝的一位无名氏在一首诗中曾不无讽刺的写道：“……一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子!”值得指出的是，在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理——抽屉原理。抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”

二、抽屉原理常识桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。在“二桃杀三士”的故事中，把两个桃子看作两个抽屉，把三名勇士放进去，至少有两名勇士在同一个抽屉里，即有两人必须合吃一个桃子。如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个桃子的羞耻，那么悲剧的结局就无法避免。三、抽屉原理应用抽屉原理虽然简单，但在数学中却有广泛而深刻的运用。例１：400人中至少有两个人的生日相同.解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理可以得知：至少有两人的生日相同.又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”十九世纪德国数学家狄里克雷（Dirichlet，1805—1859）首先利用抽屉原理来建立有理数的理论，以后逐渐地应用到引数论、集合论、组合论等数学分支中，所以现在抽屉原理又称为狄里克雷原理。1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。”这个问题乍看起来，似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屉原理，要证明这个问题是十分简单的：我们用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找一个，例如A吧，把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个“抽屉”里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有三个人。不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三个人，他们是B、C、D。如果B、C、D三人互不认识，那么我们就找到了三个互不认识的人；如果B、C、D三人中有两个互相认识，例如B与C认识，那么，A、B、C就是三个互相认识的人。不管哪种情况，本题的结论都是成立的。四、抽屉原理与电脑算命

所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即根据出生的年、月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命运的句子。其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为“抽屉”数。我国人口按11亿计，我们把它作为“物体”数。由于1.1亿=21526×51100+21400，根据原理，存在21526个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！

1.某班37名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？

4个2.42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？

9只3.口袋中有红、黑、白、黄球各10个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4个颜色相同的球？

13个4.饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？

61个5.一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？9块

6.一个班有40名同学，现在有课外书125本。把这些书分给同学，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

是六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。

订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；

订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；

订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。

总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因为100＝14×7＋2。根据抽屉原理，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。

例题1：一副扑克牌有黑桃、红桃、梅花和方块各13张，为保证至少有4张牌的花色相同，则至少应当抽出多少张牌？3×4＋1＝13张。

例题2：有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的珠子有两颗颜色相同，应至少摸出几粒？例题3：从一副完整的扑克牌中，至少抽出（）张牌，才能保证至少6张牌的花色相同？5×4＋2＋1＝23张，

4.4随机事件及其概率

必然现象——在一定条件下必然出现；

不可能现象——在一定条件下不可能出现；有的现象则既非必然出现，也非不可能．

确定性现象——不可能现象.第一种向上抛一颗石子，石子落回地面．

第二种没有空气和水，种子也能发芽．

第三种抛掷一枚硬币落在桌面上，正面向上．实例考察

随机现象——可能出现也可能不出现的现象．对于随机现象必须注意一点：在相同条件下，试验的所有可能结果都应该是可知的，我们只是不能预测某次试验的结果．4.4随机事件及其概率

一、随机现象和随机事件

随机现象4.4

随机事件及其概率

随机事件不可能事件——在一定条件下不可能发生的事件，用表示．事件——确定事件和随机事件统称为事件．

随机事件——在相同条件下，随机现象的每一种可能的结果．通常用大写字母A，B，C，…表示．若A表示某随机事件，常写作A＝｛事件具体内容｝，例如：随机事件A＝｛某人射击一次，中靶｝．必然事件——在一定条件下必然要发生的事件，用Ω表示．

确定事件——必然事件和不可能事件．例题解析解（2）是必然事件；（3）是不可能事件；（1）、（4）是随机事件．

4.4随机事件及其概率

例下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

（1）明天下雨．

（2）在操场上扔出的篮球落下来．

（3）在标准大气压下，水加热到60℃沸腾．

（4）在混有次品的一批产品中，若事先不知道哪些是次品，抽取一件进行检测，取到是次品．下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

（1）罚点球成功．

（2）自然界中，水从高处流到低处．

（3）投一枚骰子，出现5点．

（4）一个人同时出现在两个不同的地方．

（5）当x是实数时，x2≥0．

课堂练习１4.4随机事件及其概率

相同条件下做试验，重复n次，把随机事件A出现的次数m称为频数，把比值

称为频率．4.4随机事件及其概率

二、概率的概念

一次试验——对随机现象的一次观察．随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，具有偶然性．但是在大量重复试验的情况下，它的发生又呈现出一定的规律性．4.4随机事件及其概率

4.4随机事件及其概率

对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，我们就把这个常数称为事件A的概率，记作P（A）．

必然事件的概率等于1；不可能事件的概率P（）＝0；而对于一般的随机事件A，则有

0≤P（Ａ）≤14.4随机事件及其概率

也就是说，任何事件的概率是区间［0，1］内的一个数，它度量该事件发生的可能性．在一次试验中，小概率（接近0）事件很少发生，而大概率（接近1）事件则经常发生．课堂练习2

1．某医院治愈癌症的概率为10％，前9个病人都未能治愈，第10个病人一定能治好吗？这是必然事件，不可能事件，还是随机事件？

2．某地气象局预报说，明天本地降水概率为70％．你认为下面两个解释中哪个代表气象局的观点？

（1）明天本地有70％的区域下雨，30％的区域不下雨．

（2）明天本地下雨的机会是70％．4.4随机事件及其概率

4.4随机事件及其概率

实

践

下面我们来做抛一枚硬币的试验，观察它落下后，哪一个面向上．

第一步：全班每个同学各取一枚相同的一元硬币，做10次抛硬币的试验，每人记录下试验结果，填入下表4.4随机事件及其概率

第三步：请数学课代表统计全班同学的试验结果，填入下表：第二步：请小组长把本组同学的试验结果统计一下，填入下表：第四步：请同学们找出抛掷硬币时，“正面向上”这个事件发生的规律，并讨论：把1枚硬币抛100次和把100枚硬币各抛1次，结果是相同的吗？4.4随机事件及其概率

4.5等可能事件的概率

抛掷一个骰子，掷出的数可能是1，2，3，4，5，6中的一个，即可能出现的结果有6种．

现在进一步问：事件A＝｛骰子掷出的数是偶数｝的概率是多少？实例考察4.5等可能事件的概率一次试验可能发生的每一个结果称为一个基本事件．设一次试验中总共有n个基本事件，且每一个基本事件发生的可能性都相等（简称等可能）．若试验中的某一事件A由m个（m≤n）基本事件组成，则事件A的概率

如果随机试验具有下列两个特点：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等．

那么，我们把这一试验的概率模型称为等可能概率模型．4.5等可能事件的概率例题解析

例1单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，Ｂ，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内