第5讲二次根式及其运算

第一篇数与代数第一章数与式第5讲二次根式及其运算(a≥0).1．二次根式的有关概念2.二次根式的性质≥0a-a3.二次根式的运算最简二次根式

相同

乘除

1．(2013·宜宾)二次根式的值是()A．－3B．3或－3C．9D．32．(2015·武汉)若代数式

在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥-2

B．x﹥-2C．x≥2D．x≤23．下列运算正确的是()

A.＝±5B．＝1

C.＝9D.

＝6DCD4．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在()

A．2与3之间B．3与4之间

C．4与5之间D．5与6之间5．(1)(2015·黄冈)计算：

(2)(2015·长沙)把进行化简，得到的最简结果是

（结果保留根号）B____【问题】下列各式已给出计算结果：①＝；②＝－3；③＝；④＝4(1)其中正确的是___________；(2)对于错误的结果，请给出正确答案；(3)通过以上的解答，联想二次根式有哪些性质、运算法则？【解析】(1)③；(2)①

，②＝3，④＝2；(3)主要从二次根式性质、运算法则方面去思考．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次根式的性质和运算法则．类型一平方根、算术平方根、立方根例1(1)(2015·黄冈)9的平方根是(

)

A．±3B．C．3D．－3(2)(2015·湖州)4的算术平方根是(

)

A．±2B．2C．－2D.(3)(2015·荆门)64的立方根是(

)

A．4B．±4C．8D．±8【思路分析】(1)9的平方根是：±＝±3；(2)因22＝4，

根据算术平方根的定义即可得4的算术平方根是2；(3)因4的立方等于64，故64的立方根等于4.【答案】(1)A；(2)B；(3)A【解后感悟】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；注意算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误；开立方和立方互为逆运算是解题的关键．1．(1)(2015·南京)4的平方根是

；4的算术平方根是

．(2)如果一个正数的平方根为a＋1和2a－7，则这个数为

.

±229类型二二次根式的有关概念与性质例2(1)(2013·娄底)式子

有意义的x的取值范围是(

)A．x≥－

且x≠1B．x≠1C．x≥－

D．x＞－

且x≠1【答案】(1)根据题意得，2x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－

且x≠1.故选A.

(2)，

，

，可得：k＝3，m＝2，n＝5，则m＜k＜n.故选D.

(2)(2013·台湾)k、m、n为三整数，若，

，

，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确(

)

A．k＜m＝nB．m＝n＜k

C．m＜n＜kD．m＜k＜n【思路分析】(1)根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．(2)根据二次根式的性质化简得到k，m及n的值，即可作出判断．【解后感悟】(1)此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零列不等式组，转化为求不等式组的解集．(2)此题根据二次根式的性质化简，是解本题的关键．1．(2013·广东)的平方根是是最简二次根式，则最小的正整数a=

．2．(2013·广东)若实数a、b满足

，则

＝

．3．(2013·曲靖)若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是

(只需填一个)．【解析】∵|x|≤3，∴－3≤x≤3，∴当x＝－2时，

x＝3时，

，故使为整数的x的值是－2或3(填写一个即可)．21－2类型三二次根式的运算与求值例3(1)(2013·包头)计算：＝

；(2)(2013·泰安)化简：【思路分析】(1)先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．(2)根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．【答案】(1)原式＝

，

故答案为：

；

=-6.故答案为：－6.(2)＝

.5．(2013·泰州)下列计算正确的是()

A．B.

6．(2014·台湾)算式之值为()

A．

B．

C．

D．7．(1)(计算)(－3)2016·(＋3)2015=

.

(2)(2015·南京)计算的结果是

.

【解后感悟】(1)二次根式的加减运算，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并；(2)二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．CDC．D．

5

类型四二次根式的大小比较例4已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋，乙＝3＋，丙＝1＋，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确(

)

A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙

C．甲＜乙＜丙D．甲＝乙＝丙【思路分析】本题可利用“夹逼法”，先估算无理数

，，的整数部分，继而也可得出甲、乙、丙的取值范围，进而可以比较其大小．【答案】∵3＝<<＝4，

∴8＜5＋＜9，∴8＜甲＜9.∵4＝＜＜＝5，∴7＜3＋＜8，∴7＜乙＜8.∵4＝＜＜＝5，∴5＜1＋＜6，∴5＜丙＜6.∴丙＜乙＜甲．故选A.【解后感悟】比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．8．(1)(2015·嘉兴)与无理数最接近的是()

A．4B．5C．6

D．7(2)(2015·杭州)若k<<k+1(k是整数)，则k=（）A．6B．7C．8

D．99．(填“＞”、“＜”或“＝”)C＞D类型五二次根式的综合型问题例5已知实数x，y满足＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(

)

A．20或16

B．20

C．16D．以上答案均不对【思路分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．【答案】由＝0得，x－4＝0，y－8＝0，即x＝4，y＝8.(1)若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20.故选B.【解后感悟】(1)常见的非负数有三种形式：|a|，，a2.(2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．10．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，……，那么第10个数据应是

．11．若y＝＋x3，则10x＋2y的平方根为

；12．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值：(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.±6【答案】因为x＝＋1，y＝－1，所以x＋y＝

，x－y＝2.则(1)x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝()2＝12.(2)x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝4.【探索规律题】(2014·资阳)如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是________．【分析与解】每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是

，故顶点P6的横坐标是

，P5纵坐标是

，

P6的纵坐标为

，

故答案为：(

)．【方法与对策】根据O(0，0)A(2，0)为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再以P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．本题由特殊到一般的规律解题是键，这类题型是中考的热点．【二次根式的化简符号不明确】下列各式中，正确的是(

)

A.＝－3

B．－＝－3

C.＝±