第23章旋转教材分析温柏青2016.3.19

第23章旋转教材分析北京市民族学校温柏青二、教材内容安排一.本章内容的地位、作用四、对本章教学的建议三、本章的课程学习目标五

、各节教学要点一.本章内容的地位、作用图形与几何图形的性质图形的变化图形与坐标平移轴对称旋转（七上）（八上）（九上23）平行线等腰三角形平行四边形圆平移、轴对称、旋转是全等变换的三种形式.平移与轴对称都是以直线为参照物的运动，满足对应点关于某直线的等距的相对运动．而旋转是以点为参照物的运动，满足对应点到某点等距，且旋转角相等的条件．因此，旋转是对图形运动的完善与补充。从知识的背景研究，旋转变换存在的前提是同心圆的知识，即若存在几个同心圆时，我们在不同的同心圆上取点，如果不同圆上的点与圆心连线的夹角相等时，就形成了旋转图形问题，所以说旋转变换的知识在本章的学习只是过渡性质，只有学习完圆的知识后，旋转的知识才可能真正的完善，提升。1.从知识结构分析.一.本章内容的地位、作用2.从变换的高度分析问题；从运动的观点看待图形.

例如：从变换的角度来研究诸如等腰三角形、平行四边形、圆等图形的结构有助于对这些几何图形有更本质的认识.一.本章内容的地位、作用3.从中考命题的角度分析.

07年北京中考DCGPABEFH08年北京中考FDCBAE图1G2G1P1HP209年北京2011年北京2012年北京2013年北京2015年北京二、教材内容安排旋转及其性质中心对称中心对称图形关于原点对称的点的坐标图案设计旋转的最基本的知识特殊的旋转－－中心对称平移、旋转、轴对称的综合运用二、教材内容安排二、教材内容安排

本章共安排三个小节内容与小结（专题形式），教学时间大约需要9课时，具体安排如下（仅供参考）：■23.1图形的旋转

2课时■

23.2中心对称

3课时

■

23.3课题学习图案设计

1课时■小结专题复习

3-4课时课时安排二、教材内容安排本章四基

基本知识：旋转和中心对称的定义和性质；

基本技能：旋转的作图；

基本思想方法：运动变换的思想、类比的思想；

基本实践活动：运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计．重点：

1.图形旋转的基本性质.

2.中心对称的基本性质.

3.两个点关于原点对称时,它们坐标之间的关系.难点：1.图形旋转的基本性质的归纳与运用.

2.中心对称的基本性质的归纳与运用.2016年中考说明三.本章的课程学习目标ABC旋转认识平面图形关于旋转中心的旋转；理解旋转的基本性质；了解中心对称、中心对称图形的概念；理解中心对称的基本性质。能画出简单平面图形关于给定旋转中心的旋转图形；探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质；能利用旋转的性质解决有关简单问题。运用旋转的有关内容解决有关问题。注：在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.三.本章的课程学习目标1．通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2．能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．3．通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质．了解平行四边形、圆是中心对称图形．4．探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．四.对本章教学的建议★清楚学生学习《旋转》的困难在哪儿？（1）当我们把几何变换的认识提升到对图形运动的依据时，对图形认识的困难没有消失仍然存在．（2）相比较平移和轴对称，同学们对旋转问题的理解困难相对较大，究其原因主要是旋转的图形关系打破了图形的均衡与匀称的关系，识别图形之间的关系相对困难．平移轴对称旋转相同点都是全等变换，即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．★注意概念之间的联系与区别四.对本章教学的建议中心对称是特殊的旋转（旋转180°），类比旋转的性质可得到中心对称性质．旋转中心对称图形性质1对应点到旋转中心的距离相等．对称点所连线段被对称中心所平分．2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．对称点所连线段都经过对称中心．3旋转前、后的图形全等．关于中心对称的两个图形是全等图形．

中心对称与轴对称进行对比，进一步明确两种对称的联系与区别，避免混淆．中心对称轴对称1有一个对称中心——点有一条对称轴——直线2图形绕中心旋转180°图形沿轴折叠3旋转后与另一图形重合折叠后与另一图形重合两个图形成中心对称与中心对称图形：中心对称中心对称图形区别中心对称是指两个全等图形之间的位置关系，其中一个图形上所有关于对称中心的对称点都在另一个图形上.中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上.联系把中心对称的两个图形看成一个（整体）图形，则称为中心对称图形；把中心对称图形的互相对称的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称。中心对称图形与轴对称图形：中心对称图形轴对称图形1关于某一点对称关于某一条直线对称2图形绕对称中心旋转180°后，与自身重合．图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分互相重合．四.对本章教学的建议

1、适当借助计算机画图软件进行教学。几何画板、Flash等很多软件都可以为我们呈现图形运动变换的全过程．使得教学过程更好让学生理解，但是当见到试卷上没有颜色，不能运动的题时，学生会觉得很困难。因此应该让学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题,可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观.★重视几何直观的培养四.对本章教学的建议★重视几何直观的培养2、突出圆规等作图工具的重要性旋转的过程中，实际上其运动轨迹均为圆，利用圆规构造旋转变换的图形是学生应该掌握并熟练应用的.3、2015年中考16提示我们作图题不仅要求学生会画图，更要知道为什么这么画。四.对本章教学的建议

几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。

★

从变换的角度重新认识几何图形，建立图形变换的意识，让图形动起来。旋转问题有共顶点的等线段有全等有角等有线段等有旋转有等腰三角形60°90°180°

有等边三角形产生有等腰直角三角形产生有平行四边形产生实现旋转等腰三角形

正方形（正多边形）圆角等边等有中点的线段等边△等腰Rt△

(2)从旋转的角度认识静态图形,发现图形关系;★

从变换的角度重新认识几何图形，建立图形变换的意识，让图形动起来。

(3)从动态旋转的角度还原图形，根据题目需要和图形特征有目的的旋转图形的某一部分，形成新的图形关系，有利于解决问题.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD=∠BCD=90°，且四边形ABCD的面积36，求线段BC与CD的和.

★

从变换的角度重新认识几何图形，建立图形变换的意识，让图形动起来。

(4)理解旋转变换的作用是什么？能解决什么问题？变换的目的是为了实现已知与结论中的相关元素的相对集中或分散重组，（即让图象动起来）使表面上不能发生联系的元素联系起来．例题（教材151页）一个斜边长为29的红色直角三角形纸片，一个斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如图拼成一个直角三角形.问：红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？试说明理由.★

从变换的角度重新认识几何图形，建立图形变换的意识，让图形动起来。

(5)在什么情况下需要利用旋转变换？图形具备什么条件时可以实现旋转？

当条件、结论中的图形位置分散时，即需要通过移动图形集中当图形中存在等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形、正方形、菱形等具有等线段、共顶点的图形的情况下可以考虑用旋转变换.从而借助相关图形的性质为最终的问题解决服务.★

从变换的角度重新认识几何图形，建立图形变换的意识，让图形动起来。

四.对本章教学的建议学生要经历：１．从特殊到一般，再从一般到特殊的思维过程；２．从存在旋转关系到寻求模型，再从模型过渡到构造模型的实践过程；３．从对图形的拆分到图形的组合的认识图形的过程．切忌不要把问题模式化或程式化．★重视学生对知识的形成过程讲解四.对本章教学的建议要进一步规范证明的格式.关于几何变换的表述问题，在严格证明的问题中不能只说“平移”、“翻折”、“旋转”，要说明作辅助线的具体内容：“过某点作××的平行线（或垂线），交××于点×”；“延长××到×点，连结××”；“在××上截取××=××，连结××”；“作∠×××=××度”.★注意规范辅助线的叙述.五.各节教学要点23.1图形的旋转一、建构概念探究性质二、简单作图加深理解;准备巩固五.各节教学要点23.1图形的旋转主要内容：1.旋转的概念从四个层面理解借助旋转移动图形：

①按照要求作图；②从旋转的角度认识静态图形，发

现图形关系，即实际不需要移图；③图形按指令语言要求移动，解决在图形移动过程中形成的问题；

④根据题目需要和图形特征有目的

的旋转图形的某一部分，形成新

的图形关系，有利于解

决问题。2.旋转的性质3.旋转的应用慢落实1.关于旋转概念的处理具体实例形成概念★与实际联系理解概念动态演示OP′P五.各节教学要点23.1图形的旋转

旋转中心全面2.关于旋转的性质的探究★研究对象的选择方案一：课本操作观察猜想证明一、构建概念探究性质五.各节教学要点23.1图形的旋转

动手操作★研究对象的选择方案二：点——线段——三角形——再三角形上的点2.关于旋转的性质的探究：一、构建概念探究性质DD’五.各节教学要点23.1图形的旋转旋转三要素2.关于旋转的性质的探究（平移、旋转、轴对称的联系与区别）平移轴对称旋转相同点都是全等变换，即变换前后的图形全等.定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换，叫~.把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫~.把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫~.图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.类比已学图形变换研究什么？怎么研究？一、构建概念探究性质五.各节教学要点23.1图形的旋转

★旋转和轴对称的关系：

将一个图形关于两条相交直线轴对称两次，则可得到原图形关于两直线交点的旋转两倍夹角后的图形.五.各节教学要点23.1图形的旋转

举例：1.如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位置，则旋转中心是___，旋转角等于___度，△ADP是___三角形.

关于旋转概念和性质的简单应用（60页例题变式）2.如图,正方形ABCD中，E是AD上一点，将△CDE逆时针旋转后得到△CBM.则旋转中心是___，△CDE旋转了___度,△CEM是___三角形.五.各节教学要点23.1图形的旋转主要内容：1.画出旋转后的图形；2.确定旋转中心；3.利用旋转设计图案．3.利用旋转的定义和性质作图．五.各节教学要点23.1图形的旋转★点的旋转：

举例：画出点P绕点O顺（或逆）时针旋转30°（或45°、

60°）后的对应点.3.利用旋转的定义和性质作图．★线段的旋转：举例：画出线段AB绕点A（或点B、点O）顺（或逆）时针旋转30°（或45°、

60°）后的图形.五.各节教学要点23.1图形的旋转3.利用旋转的定义和性质作图．★三角形的旋转：举例：画出△ABC绕点C逆（或顺）时针旋转90°（或180°）后的图形.五.各节教学要点23.1图形的旋转3.利用旋转的定义和性质作图．★其它图形的旋转：

图形的旋转点的旋转转化五.各节教学要点23.1图形的旋转五.各节教学要点23.2

中心对称主要内容：1.中心对称和中心对称图形的概念;2.中心对称的的性质；3.关于原点对称的点的坐标关系.便于提高用中心对称解几何综合题的能力.操作观察猜想证明五.各节教学要点23.2

中心对称

★对第一条性质要使学生明确：（1）对称中心在两个对称点的连线上；（2）对称中心到两个对称点的距离相等.★进一步认识，补充：（3）中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；五.各节教学要点23.2

中心对称常见的中心对称图形，有：线段、平行四边形(包括矩形、菱形、正方形）、圆、正六边形等五.各节教学要点23.2

中心对称★联系旧知类比理解五.各节教学要点23.2

中心对称五.各节教学要点23.2

中心对称二、联系旧知类比理解五.各节教学要点23.2

中心对称中心对称图形轴对称图形1关于某一点对称关于某一条直线对称2图形绕对称中心旋转180°后，与自身重合图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分互相重合二、联系旧知类比理解五.各节教学要点23.2

中心对称借助直角坐标系探究发现：中心对称和轴对称之间的关系★若两对称轴互相垂直,则两次轴对称相当于一次中心对称.五.各节教学要点23.2

中心对称举例：下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()识别举例：如图是

正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，

使图中黑色部分是一个中心对称图形．设计五.各节教学要点23.2

中心对称教材P68五.各节教学要点23.2

中心对称三、关于原点对称点的坐标举例：

已知：如图，△ABC中，A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2）．请画出△ABC关于原点O对称

的△A1B1C1.ABCOxy数形结合五.各节教学要点23.2

中心对称主要内容：1.利用旋转进行图案设计.2.利用平移、轴对称和旋转的组合进行图案设计.－－可以设计一些学生活动，使学生进一步体会平移、轴对称、旋转的作用，发展学生的形象思维和创造性思维，并增强学生数学的应用意识.五.各节教学要点23.3课题学习图案设计作图是本章中不可缺少的重要组成部分，常见的五种：1.按要求作旋转后的图形；2.已知旋转前后的图形（或旋转后图形的一分），确定旋转中心、旋转角；3.作一个图形关于一点成中心对称的图形；4.已知关于某点成中心对称的两个图形（或已知某一图形是中心对称图形），确定对称中心；

5.在平面直角坐标系中，作一个图形关于原点对称

的图形．五.各节教学要点23.3课题学习图案设计一、旋转轴对称平移的再认识二、怎样运用旋转变换解决问题三、运用旋转变换的典型例题五.各节教学要点23.专题练习

从运动变换的角度去认识两个大小相同、形状也相同的图形之间的关系时，仅有对称与平移还不能很方便地说明两个图形之间的相互运动．

轴对称、平移是“直线型”的运动形式，都是图形上的点关于某条直线的存在为前提的，这些点的运动都是以直线为参照对象的运动． 一、

★旋转轴对称平移的再认识五.各节教学要点23.专题练习

如果没有选定对称轴，对称变换就不能实现；如果没有一个确定的方向，而只有平移的距离，图形的平移也不可能实现；而这个“事先规定的方向”就确定了相应运动是直线型的．从运动的角度去认识图形之间的旋转，旋转能够实现的前提是以点为参照对象的运动，而且任何一对对应点与该参照点的距离都相等．可见，轴对称、平移、旋转都是图形中的点保持等距的变换，但是旋转的参照对象是点，而轴对称与平移的参照对象却是直线．一、

★旋转轴对称平移的再认识（一）从旋转的角度认识静态图形，发现图形关系，即实际不需要移图；（二）图形按指令语言要求移动，解决

在图形移动过程中形成的问题；（三）根据题目需要和图形特征有目的

的旋转图形的某一部分，形成新的图形关系，有利于解决问题.层次分明注重时效★怎样运用旋转变换解决问题1.理解旋转变换的作用是什么？旋转可以移动图形的位置而不改变图形的形状、大小.2.在什么情况下需要利用旋转变换？图形具备什么条件时可以实现旋转？当图形过于分散或集中，无法有效利用时，需要移动图形，而移动图形的手段就是三种变换.当图形中只要存在共顶点的等线段时就可以实施旋转变换.

★怎样运用旋转变换解决问题3.怎么旋转？

确定三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.4.旋转之后怎么办？利用旋转的性质.90°等腰直角三角形60°等边三角形★怎样运用旋转变换解决问题★、运用旋转变换的典型例题（一）以等边三角形为背景（二）以等腰三角形或正方形三角形为背景（三）见中点构造中心对称例1：如图，△BCM中，∠BMC＝120°，以BC为边向三角形外作等边△ABC，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.若BM＝2，MC＝3.求：①∠AMB的度数；②求AM的长.（一）以等边三角形为背景例2：（一）以等边三角形为背景例3：如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请写出结论，并说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．（一）以等边三角形为背景例3AEFDBNCM（一）以等边三角形为背景例1：已知，△ABC中,AD⊥BC于D,

且AD=BD,O是AD上一点，OD=CD,连结BO并延长交AC于E.求证：AC=OB（二）以等腰三角形或正方形三角形为背景例2：如图，在边长为1的正方形ABCD中，∠EDF=45°，求△DEF的周长.（二）以等腰三角形或正方形三角形为背景例3：(2014年上海市黄浦区中考模拟第18题）

如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一点，且AD＝3，如果△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至D‘，那么线段DD’的长为

．．由△ABC∽