第16节欧拉方法

第六章微分方程的初值问题第一节欧拉方法微分方程（组）线性微分方程的通解常系数线性微分方程的通解微分方程的初值问题与边值问题一阶微分方程的解一阶微分方程的解一阶微分方程的解一阶微分方程的解欧拉方法也叫做：左矩形数值求积公式建立Euler法

欧拉方法也叫做：右矩形数值求积公式建立Euler法

欧拉方法欧拉方法的误差欧拉方法误差随着迭代次数的增加而增加。欧拉方法的误差clearallcloseallclc

xeu(1)=-3;N=5;foriii=2:6xeu(iii)=xeu(iii-1)+(iii-2+xeu(iii-1)/5);end

tt=0:0.01:5;%figureholdonplot(tt,22*exp(tt/5)-5*tt-25)plot(0:5,xeu)欧拉方法的误差

由于单步误差在迭代过程中产生积累，从而产生的误差为积累误差。欧拉方法的局部误差前向欧拉方法具有一阶精度；同样可以证明，后向欧拉方法具有一阶精度。欧拉方法的收敛性

欧拉方法收敛性分析迭代法与真实解变化趋势的差异。欧拉方法步长与收敛性步长h=1/7步长h=1/10真实值步长选择不同导致数值方法的收敛性不同当h->+0时，欧拉方法的误差->0欧拉方法的稳定性

欧拉方法稳定性分析微小误差在迭代过程中积累的情况。

分析后向欧拉方法的误差，梯形公式几何意义：是欧拉折线法与后向欧拉法的算术平均。精度高于前向/后向欧拉算法。改进型欧拉方法

梯形公式虽然提高了精度，但仍是隐式方法，算法复杂，运算量大。而在实际计算中只迭代一次，这样建立的预测—校正系统称作改进的欧拉公式。先用欧拉折线法得到初步近似值，再用梯形公式校正。改进型欧拉方法改进型欧拉方法clearallcloseallclc

xmeu(1)=-3;N=5;foriii=2:6xmeu(iii)=xmeu(iii-1)+(iii-2+xmeu(iii-1)/5);tmp=xmeu(iii-1)+(iii-1+xmeu(iii)/5);xmeu(iii)=(xmeu(iii)+tmp)/2;end

tt=0:0.01:5;%figureholdonplot(tt,22*exp(tt/5)-5*tt-25)plot(0:5,xmeu)欧拉方法分析微分方程欧拉方法精度低，不适于数值计算应用。当步长h->0+时，欧拉方法的解逼近与微分方程的解。因此，欧拉方法作为一种思考方法，在分析微分方程中具有重要意义。一阶微分方程解的良态性欧拉方法分析微分方程分析思路：迭代法关系欧拉方法分析微分方程不动点clearallcloseallclc

figure;holdon

bb=[0.5,1.5-0.01,1.5,-0.5+0.01,1.5+0.01,2.5,-0.5-0.01,-0.5]*pix=1:10000;x=x*0.001;forkkk=1:10y(1)=bb(kkk);foriii=2:10000y(iii)=y(iii-1)+0.001*cos(y(iii-1));endplot(x,y/pi)end微分方程与迭代法求解方程关系Matlab中的微分方程函数显式微分方程求解函数:ode45,od