第13章控制系统的根轨迹分析与校正

MATLAB

与控制系统仿真第13章控制系统的根轨迹分析与校正主要内容13.1控制系统的根轨迹法分析13.1.1MATLAB根轨迹分析的相关函数13.1.2MATLAB根轨迹分析实例13.2控制系统的根轨迹法校正13.2.1根轨迹法超前校正及基于MATLAB的实例13.2.2根轨迹法滞后校正及基于MATLAB的实例主要内容（续）13.3MATLAB图形化根轨迹法分析与设计13.3.1MATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltool13.3.2基于图形化工具rltool的系统分析与设计实例本章小结根轨迹概念是指当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征根(闭环极点)在复平面上移动的轨迹。通常情况下根轨迹是指增益K由零到正无穷大下的根的轨迹。

根轨迹方程闭环控制系统一般可用图所示的结构图来描述。

根轨迹方程（续）开环传递函数可表示为根轨迹方程（续）系统的闭环传递函数为根轨迹方程（续）系统的闭环特征方程为即（式8）根轨迹方程（续）在s平面上凡是满足上式的点，都是根轨迹上的点。式8称为根轨迹方程。式8可以用幅值条件和相角条件来表示。

幅值条件相角条件式中,分别代表所有开环零点、极点到根轨迹上某一点的向量相角之和。绘制根轨迹的基本法则

根轨迹绘制法则可用来求取根轨迹的起点和终点，根轨迹的分支数、对称性和连续性，实轴上的根轨迹，根轨迹的分离点和会合点，根轨迹的渐近线，根轨迹的出射角和入射角，根轨迹与虚轴的交点等信息，见下表。表中以“*”标明的法则是绘制0根轨迹的法则（与绘制常规根轨迹的法则不同），其余法则不变。

绘制根轨迹的基本法则(续)绘制根轨迹的基本法则(续)绘制根轨迹的基本法则(续)绘制根轨迹的基本法则(续)绘制根轨迹的基本法则(续)13.1控制系统的根轨迹法分析13.1.1根轨迹及根轨迹法概述以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解法是获得系统根轨迹很实用的工程方法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的信息：临界稳定时的开环增益；闭环特征根进入复平面时的临界增益；选定开环增益后，系统闭环特征根在根平面上的分布情况；参数变化时，系统闭环特征根在根平面上的变化趋势等。13.1.2MATLAB根轨迹分析的

相关函数MATLAB中提供了rlocus()函数，可以直接用于系统的根轨迹绘制。还允许用户交互式地选取根轨迹上的值。注：查阅并导读帮助文档

rlocus(G)rlocus(G1,G2,...)rlocus(G,k)[r,k]=rlocus(G)r=rlocus(G,k)绘制指定系统的根轨迹绘制指定系统的根轨迹。多个系统绘于同一图上绘制指定系统的根轨迹。K为给定增益向量返回根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有length(k)列，每列对应增益的闭环根返回指定增益k的根轨迹参数。r为复根位置矩阵。r有length(k)列，每列对应增益的闭环根13.1.2MATLAB根轨迹分析的

相关函数[K,POLES]=rlocfind(G)[K,POLES]=rlocfind(G,P)交互式地选取根轨迹增益。产生一个十字光标，用此光标在根轨迹上单击一极点，同时给出该增益所有对应极点值返回P所对应根轨迹增益K，及K所对应的全部极点值sgridsgrid(z,wn)在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和等自然振荡角频率线。阻尼线间隔0.1，范围从0到1，自然振荡角频率间隔为1rad/s，范围从0到10在零极点图或根轨迹图上绘制等阻尼线和等自然振荡角频率线。用户指定阻尼系数值和自然振荡角频率值13.1.2MATLAB根轨迹分析的

相关函数13.1.3MATLAB根轨迹分析实例

注：演示例2已知单位反馈控制系统的开环传递函数，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹判定系统的稳定性。13.1.3MATLAB根轨迹分析实例

13.1.3MATLAB根轨迹分析实例注：演示例3若单位反馈控制系统的开环传递函数为

绘制系统的根轨迹，确定当系统稳定时，参数的取值范围。注：演示例4若单位反馈控制系统的开环传递函数为

绘制系统的根轨迹，并观察当时的值。绘制时的系统单位阶跃响应曲线。13.1.3MATLAB根轨迹分析实例注：演示例5系统方框图如图所示。绘制系统以k为参量的根轨迹。

13.1.3MATLAB根轨迹分析实例例5求解例5求解绘制系统等效根轨迹。仍然可以利用MATLAB绘制其根轨迹。

13.2控制系统的根轨迹法校正13.2控制系统的根轨迹法校正如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调整时间、超调量、阻尼系统、稳态误差等时域特征量给出时，一般采用根轨迹法校正。根轨迹法校正的基本思路为借助根轨迹曲线进行校正。相位超前校正：如果系统的期望主导极点往往不在系统的根轨迹上。由根轨迹的理论，添加上开环零点或极点可以使根轨迹曲线形状改变。若期望主导极点在原根轨迹的左侧，则只要加上一对零、极点，使零点位置位于极点右侧。如果适当选择零、极点的位置，就能够使系统根轨迹通过期望主导极点s1，并且使主导极点在s1点位置时的稳态增益满足要求。13.2控制系统的根轨迹法校正相位滞后校正：系统的期望主导极点若在系统的根轨迹上，但是在该点的静态特性不满足要求，即对应的系统开环增益K太小。单纯增大K值将会使系统阻尼比变小，甚至于使闭环特征根跑到复平面S的右半平面。为了使闭环主导极点在原位置不动，并满足静态指标要求，则可以添加上一对偶极子，其极点在其零点的右侧。从而使系统原根轨迹形状基本不变，而在期望主导极点处的稳态增益得到加大。13.2控制系统的根轨迹法校正13.2.1根轨迹法超前校正

及基于MATLAB的实例根轨迹超前校正的主要步骤据要求的系统性能指标，求出主导极点期望位置。观察期望主导极点是否位于校正前的系统根轨迹。如果需要设计校正网络，设计校正网络。校正网络零点的确定。可直接在期望的闭环极点位置下方（或在头两个实极点的左侧）增加一个相位超前网络的实零点。校正网络零点的确定。可直接在期望的闭环极点位置下方（或在头两个实极点的左侧）增加一个相位超前网络的实零点。校正网络极点的确定。确定校正网络极点的位置，使期望的主导极点位于校正后的根轨迹上。利用校正网络极点的相角，使得系统在期望主导极点上满足根轨迹的相角条件。估计在期望的闭环主导极点处的总的系统开环增益。计算稳态误差系数。如果稳态误差系数不满足要求，重复不述步骤。13.2.1根轨迹法超前校正

及基于MATLAB的实例13.2.1根轨迹法超前校正

及基于MATLAB的实例注：演示例10对系统进行补偿，使系统单位阶跃响应的超调量不超过40%，调整时间不超过4s（对于2%误差范围）。13.2.1根轨迹法超前校正

及基于MATLAB的实例13.2.2根轨迹法滞后校正

及基于MATLAB的实例滞后校正采用增加开环偶极子来增大系统增益。滞后校正网络的传递函数为根轨迹滞后校正的基本步骤

确定系统的瞬态性能指标。在校正前的根轨迹上，确定满足这些性能指标的主导极点的位置。计算在期望主导极点上的开环增益及系统的误差系数。将校正前的系统的误差系数和期望误差系数进行比较。计算需由校正网络偶极子提供的补偿。确定偶极子的位置。需能提供补偿，又基本不改变期望主导极点处的根轨迹。根轨迹法滞后校正实例注：演示例7设单位反馈系统有一个受控对象为设计滞后补偿使系统满足以下指标：

阶跃响应调整时间小于5s超调量小于17%速度误差系数为1013.3MATLAB图形化根轨迹法分析与设计13.3.1MATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltool

MATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltool是对SISO系统进行分析设计的。既可以分析系统根轨迹，又能对系统进行设计。方便性在于设计零极点过程中，能够不断观察系统的响应曲线，看其是否满足控制性能要求，以此来达到提高系统控制性能的目的。rltool打开在MATLAB命令窗口输入rltool命令即可打开图形化根轨迹法分析与设计工具。也可以指定命令参数。rltool(Gk)指定开环传递函数rltool(Gk,Gc)指定校正环节和待校正传递函数rltool(Gk,Gc,LocationFlag,FeedbackSign)指定校正环节和待校正传递函数，并指定校正环节的位置和反馈类型LocationFlag='forward':位于前向通道LocationFlag='feedback':位于反馈通道FeedbackSign=-1:负反馈FeedbackSign=1:正反馈用户可以通过ControlArchitecture窗口进行系统模型的修改可通过SystemData窗口为不同环节导入已有的模型可以通过CompensatorEditor的快捷菜单进行校正环节参数的修改，如增加或删除零极点、增加超前或滞后校正环节等通过AnalysisPlots配置要显示的不同图形及其位置rltool基本操作13.3.2基于图形化工具rltool

的系统分析与设计实例注：演示例12已知系统开环传递函数，用根轨迹设计器查看系统增加开环零点或开环极点后对系统的性能。本章小结根轨迹是指当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征根（闭环极点）在复平面上移动的轨迹。通常情况下根轨迹是指增益K由零到正无穷大下的根的轨迹。根轨迹方程表达了开环传递函数和闭环特征方程式间的关系。根轨迹方程又可以用幅值条件和相角条件来表示。可以根据根轨迹进行系统的分析。本章小结（续）可以根据