第10章平面图形的几何性质

AppendixⅠPropertiesofPlaneAreas截面的几何性质

——反映平面图形的形状与尺寸的几何量如：本章介绍：

平面图形几何性质的定义、计算方法和性质在轴向拉（压）中：§10.1静矩与形心一、静矩整个图形A对x轴的静矩：整个图形A对y轴的静矩：ydA——微面积dA对x轴的静矩xdA——微面积dA对y轴的静矩定义：（面积矩）其值：+、-、0

单位：m3二.形心坐标由理论力学中,均质薄板求质心的公式即由此得出性质1若某轴过形心，则图形对该轴静矩为零.反之,图形对某轴静矩为零，则该轴必过形心.[例]求三角形ABC对底边BC的静矩解:bhABCOyxy积分得：三、组合图形的静矩和形心

组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等）组成的平面图形如：1.静矩2.形心例

确定形心坐标解：

取参考坐标系xy§10.2

惯性矩惯性积惯性半径一、惯性矩与惯性积整个图形A对x轴的惯性矩整个图形A对y轴的惯性矩y2dA——微面积dA对x轴的惯性矩x2dA——微面积dA对y轴的惯性矩定义：其值：+

单位：m41.惯性矩2.极惯性矩即：

平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和

性质2若x、y轴为一对正交坐标轴整个图形A对x轴和y轴的惯性积定义：xydA——微面积dA对x轴和y轴的惯性积

的坐标轴其值：+、-、0

单位：m4假设：

x轴和y轴为一对相互垂直3.惯性积二.惯性积的性质当x、y轴中有一轴为对称轴

在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这对轴的惯性积为零。

性质3：(1).矩形截面三.常用图形的惯性矩：(2).圆形截面Odrrd由对称性(3).环形截面

惯性矩——对某一轴而言

极惯性矩——对某一点而言特别指出：

惯性积——对某一对正交轴而言——图形对x轴的惯性半径

单位：m四、惯性半径

在力学计算中，有时把惯性矩写成即：——图形对y轴的惯性半径§10.3

平行轴定理定理推导即：ab显然：性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩

中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理惯性矩和惯性积的平行轴定理解：例求和xcCcyc157.5a1a2xC1xC2§10.4

转轴公式主惯性矩一、公式推导规定：角逆时针转向为+两组坐标系之间的关系：代入x1y1x11y显然显然性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个

惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯

性矩。二、主惯性矩

1.定义主惯性轴——惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴主惯性矩——图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴——通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩——图形对形心主惯性轴的惯性矩性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴2.确定主惯性轴的位置设0是旧轴x逆时针转向主惯性轴x0的角度，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得可改写为（注：将负号置于分子上有利于确定20角的象限）由上面tan20的表达式求出cos20、sin20后，再代入惯性矩的转轴公式，化简后可得主惯性矩的计算公式：极大值Imax极小值Imin例计算所示图形的形心主惯性矩.解：该图形形心C的位置已确定，如图所示.过形心C选一对座标轴y

z轴，计算其惯性矩(积).101012025C4020yz20158035在第三象限分别由y轴和z轴绕C点逆时针转113.8º

得出.

形心主惯性轴y0,z0101012025C4020yz20158035101012070形心主惯形矩为C4020yzy00=113.8°z0例题在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主矩.(b