高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程2．2椭圆 学业分层测评7

学业分层测评(七)椭圆的几何性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是________.【解析】椭圆方程可简化为eq\f(x2,\f(1,1＋m))＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，由题意知m>0，∴eq\f(1,1＋m)<eq\f(1,m)，∴a＝eq\f(\r(m),m)，∴椭圆的长轴长2a＝eq\f(2\r(m),m).【答案】eq\f(2\r(m),m)2.设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆的一个交点为M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为________.【解析】由题意知圆F2的半径为c，在Rt△MF1F2中，|MF2|＝c，|MF1|＝2a－c，|F1F2|＝2c且MF1⊥MF2.所以(2a－c)2＋c2＝4c2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))－2＝0，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.【答案】eq\r(3)－13.直线y＝k(x－2)＋1与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的位置关系是________.【解析】直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得eq\f(4,16)＋eq\f(1,9)＜1，∴P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.【答案】相交4.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为________.【解析】根据条件可知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，且4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，c＝1，b＝eq\r(2)，椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.【答案】eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝15.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤eq\f(\r(3),2).则长轴长的取值范围为________.【导学号：24830032】【解析】∵b＝1，∴c2＝a2－1，又eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－1,a2)＝1－eq\f(1,a2)≤eq\f(3,4)，∴eq\f(1,a2)≥eq\f(1,4)，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故长轴长2<2a≤4.【答案】(2,4]6.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在y轴上，且长轴长为12，离心率为eq\f(1,3)，则椭圆方程为________.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝12，,\f(c,a)＝\f(1,3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,c＝2，))由a2＝b2＋c2，得b2＝32.故椭圆的方程为：eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝1.【答案】eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,32)＝17.椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________.【解析】如图，当直线x＝m，过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))解得y＝±eq\f(3,2)，∴|AB|＝3.∴S＝eq\f(1,2)×3×2＝3.【答案】38.已知椭圆方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为________.【导学号：24830033】【解析】方法一：易知直线MN的斜率存在，设为k，则其直线方程为y－1＝k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－1，,\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，))得(4＋9k2)x2－18k(k－1)x＋9k2－18k－27＝0，又设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝eq\f(18kk－1,4＋9k2)＝2，解得k＝－eq\f(9,4)，则所求的直线方程为y－1＝－eq\f(4,9)(x－1)，即4x＋9y－13＝0.方法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),9)＋eq\f(y\o\al(2,1),4)＝1①eq\f(x\o\al(2,2),9)＋eq\f(y\o\al(2,2),4)＝1②①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,9)＝－eq\f(y1＋y2y1－y2,4)∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(4x1＋x2,9y1＋y2)＝－eq\f(4×2,9×2)＝－eq\f(4,9).∴直线l的方程为y－1＝－eq\f(4,9)(x－1)，即4x＋9y－13＝0.【答案】4x＋9y－13＝0二、解答题9.(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率.(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率.【解】(1)由题意得：b＝c，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(c2,b2＋c2)＝eq\f(c2,2c2)＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(\r(2),2).(2)由题意得：2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，即3a2－2ac－5c2＝0，∴3－2·eq\f(c,a)－5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＝0，即5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋2·eq\f(c,a)－3＝0，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5).10.过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1内点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程.【解】方法一：依题意，该直线l的斜率存在.设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝eq\f(82k2－k,4k2＋1).又M为AB的中点，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(42k2－k,4k2＋1)＝2，解之得k＝－eq\f(1,2).故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2,1)为AB的中点.∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A、B两点在椭圆上，则xeq\o\al(2,1)＋4yeq\o\al(2,1)＝16，xeq\o\al(2,2)＋4yeq\o\al(2,2)＝16.两式相减得(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋4(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq\f(1,2)，即kAB＝－eq\f(1,2).故所求直线方程为x＋2y－4＝0.[能力提升]1.点A(a,1)在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的内部，则a的取值范围是________.【解析】∵点A(a,1)在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1内部，∴eq\f(a2,4)＋eq\f(1,2)＜1.∴eq\f(a2,4)＜eq\f(1,2).则a2＜2，∴－eq\r(2)＜a＜eq\r(2).【答案】－eq\r(2)＜a＜eq\r(2)2.如图2­2­2，P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1在第一象限上的动点，F1，F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上的一点，且eq\o(F2M,\s\up12(→))·eq\o(MP,\s\up12(→))＝0，则OM的取值范围是________.图2­2­2【解析】延长F2M交PF1于点N，由已知条件可知OM＝eq\f(1,2)NF1＝eq\f(1,2)(PF1－PF2)＝a－PF2，而a－c<PF2<a，所以OM∈(0，c)，即OM∈(0,3).【答案】(0,3)3.已知椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为________.【解析】设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),36)＋\f(y\o\al(2,1),9)＝1，,\f(x\o\al(2,2),36)＋\f(y\o\al(2,2),9)＝1，))两式相减，得eq\f(x1＋x2x1－x2,36)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,9)＝0，∴eq\f(2x1－x2,9)＝－eq\f(4y1－y2,9)，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)4.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程.【解】(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2＋y2＝1，,y＝x＋m.))消去y得，5x2＋2mx＋m2－1＝0，∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－eq\f(\r(5),2)≤m≤eq\f(\r(5),2).(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2).由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝－eq\f(2,5)m，x1x2＝eq\f(m2－1,5).∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y2