第10章先进控制GPC

第

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章广义预测控制10.1算法原理 10.1.1预测模型 10.1.2丢番图方程的解法 10.1.3滚动优化 10.1.4在线辨识与校正

10.1算法原理10.1.1预测模型在GPC中，采用了最小方差控制中所用的受控自回归积分滑动平均（ControlledAuto-RegressiveIntegratedMovingAverage，CARIMA）模型来描述受到随机干扰的对象。

考虑如下SISO（单入单出）CARIMA模型

式中

(10.1.1)10.1.1预测模型式中，是后移算子，表示后退一个采样周期的相应的量，即，；为差分算子，是均值为零的白噪声序列。、、都是的多项式，其中多项式的若干首项元素可以是零，以表示对象相应的时滞数。例如，对有拍时滞的系统，，。（不能都为零）为了突出方法原理，这里假设。这样，式(10.1.1)实际上用脉冲传递函数给出了对象的描述，即由输入到输出间的脉冲传递函数为

为了利用模型式(10.1.1)导出步后输出的预测值，首先考虑下述丢番图（Diophantine）方程：

(10.1.2)10.1.1预测模型

其中，、是由和预测长度唯一确定的多项式，表达为

在式(10.1.1)两端乘以，得

由丢番图方程式(10.1.3)推得

(10.1.3)10.1.1预测模型可得将左边展开移相，得到步后的输出值

因此可以写出时刻的输出预测值为：

注意到、的形式，可以知道：与有关；与有关；与有关。

(10.1.4)10.1.1预测模型

由于在时刻未来的噪声都是未知的，所以对最合适的预测值可由下式得到：在式(10.1.5)中，记。结合式(10.1.3)可得

因此，多项式中前项的系数正是对象阶跃响应前项的采样值，记做，…，。再引入另一丢番图方程：

(10.1.5)(10.1.6)10.1.1预测模型

其中

则由式(10.1.4)和式(10.1.5)可以得到式(10.1.4)、式(10.1.5)、式(10.1.7)和式(10.1.8)都可作为GPC的预测模型。这样，根据已知的输入输出信息及未来的输入值，就可以预测对象未来的输出。

(10.1.7)(10.1.8)10.1.2丢番图方程的解法为了由式(10.1.4)或式(10.1.5)预测未来输出，必须首先知道、。对于不同的，这相当于并行地求解一组丢番图方程式(10.1.3)，其计算量是很大的。为此，Clarke给出了一个、的递推算法。首先，根据式(10.1.3)可写出两式相减可得

10.1.2丢番图方程的解法记则可得等式(10.1.9)恒成立的一个必要条件是：中所有阶次小于的项为零。由于的首项系数为1，很容易得出结论：使式(10.1.9)恒成立的必要条件是

(10.1.9)(10.1.10)10.1.2丢番图方程的解法进而，使式(10.1.9)成立的充要条件是式(10.1.10)和式(10.1.11)成立：

将式(10.1.11)等式两边各相同阶次项的系数逐一比较，得到这一系数的递推关系亦可用矢量形式记为

(10.1.11)10.1.2丢番图方程的解法其中

此外还可得系数递推公式为

当时，方程式(10.1.3)为

10.1.2丢番图方程的解法故应取、为、初值。这样，、便可按式(10.1.12)来递推计算：

(10.1.12)10.1.3滚动优化在GPC中，时刻的优化性能指标具有以下形式：其中，表示取数学期望；为对象输出的期望值；和分别为优化时域的起始与终止时刻；为控制时域，即在步后控制量不再变化：

为控制加权系数，为简化考虑一般常可假设其为常数。在式(10.1.13)中，对象输出的期望值可采用MAC中参考轨迹的形式，即

(10.1.13)10.1.3滚动优化其中称为柔化因子，是输出设定值。利用预测模型式(10.1.5)，得到

(10.1.14)10.1.3滚动优化其中均可由时刻已知的信息以及计算。

如果记

(10.1.15)10.1.3滚动优化

并且注意到是阶跃响应系数，则可得其中

(10.1.16)10.1.3滚动优化用替换式(10.1.13)中的，从而把性能指标写成矢量形式：

其中

这样，当非奇异时，得到使性能指标式(10.1.13)最优的解：即时最优控制量则可由下式给出：其中，是矩阵的第一行。也可以进一步根据式(10.1.8)将输出预测写成如下向量形式：

(10.1.17)(10.1.18)10.1.3滚动优化

其中从而把性能指标写成矢量形式

10.1.3滚动优化

这样，当非奇异时，得到最优控制律如下：

由于采用了数学期望，不出现在上面的控制律中。即时最优控制量则可由下式给出：(10.1.19)10.1.4在线辨识与校正

考虑将对象模型式(10.1.1)改写为

可得其中，。把模型参数与数据参数分别用矢量形式记为则可将上式写做

10.1.4在线辨识与校正

在此，可用渐消记忆的递推最小二乘法估计参数矢量：其中，为遗忘因子，常可选；为权因子；为正定的协方差阵。在控制起动时，需要设置参数矢量和协方差阵的初值，通常可令，，是一个足够大的正数。在控制的每一步，首先要组成数据矢量，然后就可由式(10.1.20)先后求出、和。