数值分析-插值

§1引言

第二章插值

/*Interpolation*/究函数的变化规律，往往需要求不在表上的函数值。因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函数,用近似。

许多实际问题都用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或计算得到的,并且只是上一系列点的函数值这只是一张函数表。有的问题虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，比如平方根表、立方根表、对数表和三角函数表等等。为了研x0x1x2x3x4xp(x)

f(x)如：通常用代数多项式或分段代数多项式作为,并使对成立。这样确定的就是我们希望得到的插值函数。§1Introduction

已知在点上的值

若存在一简单函数，使设函数在区间上有定义，且插值法定义成立，就称为的插值函数，点插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间，（2.1）称为插值条件，求插值函数的方法称为插值法。称为若为次数不超过的代数多项式，即其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若为分段多项式，就是分段插值。若为三角多项式，就称为三角插值。§1Introduction刘焯(公元554-610)隋代天文学家《皇极历》《历书》插值法+天文计算(公元6世纪)由插值条件可得…

…插值多项式的存在唯一性这是一个关于的元线性方程组。

要证明插值多项式的存在唯一性，只要证明上述方程组存在唯一解，也就是证明方程组的系数行列式的值不为零。

设是形如的插值多项式，用代表所有次数不超过的多项式集合，于是.所谓插值多项式存在且唯一，就是指在集合中有且只有一个满足插值条件。§1Introduction式中称为Vandermond行列式。故方程组存在唯一的一组解。利用行列式性质可得,故所有因子由于以上论述可写成下列定理：于是其系数行列式为§1Introduction§1Introduction定理(唯一性)满足次数不超过n的插值多项式是唯一存在的。证明：(另一证法）反证：若不唯一，则除了pn(x)

外还有另一n

阶多项式Ln(x)满足Ln(xi)=yi

。考察则Qn

的次数nn+1x0…xn而Qn有个不同的零点注：若不将多项式次数限制为n

，则插值多项式不唯一。例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。问题：如何确定n次多项式？§2拉格朗日多项式/*LagrangePolynomial*/求n

次多项式使得条件：无重合节点，即(0使得n=111L已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求y0,(x1L)1y=)x=可见L1(x)是过(x0,y0

)和(x1,y1

)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxL---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl称为拉氏基函数

/*LagrangeBasis*/，满足条件li(xj)=ij

/*KroneckerDelta*/E.Waring(1736-1798)英国数学家、皇家学会院士Lucas教授Lagrange插值法(1779)L.Euler(1707-1783)瑞士数学家最伟大的数学家之一最多产的数学家Lagrange插值法(1783)Lagrange插值法(1795)§2LagrangePolynomialn

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij

；然后令==niiinyxlxL0)()(，则显然有Ln(xi)=

yi

。li(x)每个li有n

个零点x0…

xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(LagrangePolynomial与有关，而与无关节点f=i1注：ixl)(（特别的，f(x)=1）

特别地，一点零次插值多项式为三点二次插值（抛物插值）多项式为两点一次插值（线性插值）多项式为§2LagrangePolynomial

插值余项/*Remainder*/设节点在[a,b]内存在,考察截断误差，且f

满足条件,Rolle’sTheorem:若充分光滑，，则存在使得。推广：若使得使得存在使得Rn(x)至少有个零点n+1=-=niinxxxKxR0)()()(任意固定x

xi(i=0,…,n),考察=-=niixtxKtRnt0)()()()(j(t)有n+2

个不同的零点x0…

xn

x!=0)1()()()1(+-+nxKRxnnx注意这里是对t求导=+--++!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxnxx!)1()()()1(+=+nfxKxnx当时，当时，抛物插值余项为注：

通常不能确定x

,而是估计,x(a,b)

将作为误差估计上限。当

f(x)为任一个次数n

的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。§2LagrangePolynomial§2LagrangePolynomialQuiz:

给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.

下面哪个是l2(x)的图像？

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

ABC§2LagrangePolynomial例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1

以及x1,x2

计算利用这里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的实际误差0.01010利用sin500.76008,内插

/*interpolation*/

的实际误差0.00596内插通常优于外推。选择要计算的x

所在的区间的端点，插值效果较好。§2LagrangePolynomialn=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的实际误差0.00061高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……HW:p.49#2，#3，#4Whenyoustartwritingtheprogram,youwillfindhoweasyitistocalculatetheLagrangepolynomial.Ohyeah?WhatifIfindthecurrentinterpolationnotaccurateenough?Thenyoumigh