第8章1正弦平面电磁波

第8章正弦平面电磁波1

本章内容

8.1时谐电磁场

8.2

理想介质中的均匀平面波

8.3

波的极化特性

8.4

损耗媒质中的均匀平面波

8.5

相速和群速

8.6

对平面分界面的垂直入射28.1时谐电磁场

麦克斯韦方程以及由它导出的波动方程，对于任意方式随时间变化的电磁场都是有用的。在工程上，应用最多的是随时间作正弦变化的电磁场，称为时谐场。因为一则它们易于激励；再则是在线性媒质中，任意的周期性时间函数均可展开成为时谐正弦分量的傅里叶级数。因此，研究正弦电磁场问题是研究一般电磁场的基础。3

复矢量的麦克斯韦方程

正弦电磁场的复数表示

复电容率和复磁导率

时谐场的位函数

亥姆霍兹方程

平均坡印廷矢量本节要讨论的内容4

正弦电磁场的概念

如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为正弦电磁场或时谐电磁场。

研究时谐电磁场具有重要意义

在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信的载波等都是时谐电磁场。

任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。8.1.1正弦电磁场的复数表示5

时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化。

设是一个以角频率随时间t作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成其中时间因子空间相位因子

利用三角公式式中的A0为振幅、为与坐标有关的相位因子。实数表示法或瞬时表示法复数表示法复振幅

时谐电磁场的复数表示6

复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。照此法，矢量场的各分量Ei（i表示x、y

或z）可表示成各分量合成以后，电场强度为

有关复数表示的进一步说明复矢量

真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。

由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关的部分就可表示复矢量。7

例8.1.1

将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（2）解：（1）由于（1）所以8（2）因为故所以9

例8.1.2

已知电场强度复矢量解其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量10以电场旋度方程为例，代入相应场量的矢量，可得

将与交换次序，得8.1.2复矢量的麦克斯韦方程

在时谐电磁场，对时间的导数可用复数形式表示为上式对任何时刻t均成立，故实部符号可以消去，于是得到11从形式上讲，只要把微分算子用代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程

—略去“.”和下标m12例8.1.3已知正弦电磁场的电场瞬时值为式中

解：（1）因为故电场的复矢量为试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。13（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量磁场强度瞬时值14实际的介质都存在损耗：

导电媒质——当电导率有限时，存在欧姆损耗。

电介质——受到极化时，存在电极化损耗。

磁介质——受到磁化时，存在磁化损耗。损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。8.1.3复电容率和复磁导率

导电媒质的等效介电常数其中c=

－jδ

/ω、称为导电媒质的等效介电常数。

对于介电常数为、电导率为δ

的导电媒质，有15

电介质的复介电常数

同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质

磁介质的复磁导率

对于存在电极化损耗的电介质，有，称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。

对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为

对于磁性介质，复磁导率数为，其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。16

损耗角正切

导电媒质导电性能的相对性电介质导电媒质磁介质——弱导电媒质和良绝缘体——一般导电媒质——良导体

工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有

描述了传导电流和位移电流的振幅之比。在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。17理想介质8.1.4亥姆霍兹方程

在时谐时情况下，将、，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。瞬时矢量复矢量如果媒质是有损耗的（δ不为0），即介电常数或磁导率为复数，则k也应变为复数kc，即相应地波动方程为188.1.5时谐场的位函数

在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。洛仑兹条件达朗贝尔方程瞬时矢量复矢量198.1.6平均能量密度和平均能流密度矢量

坡印廷矢量是瞬时值矢量，表示瞬时能流密度。在时谐电磁场中，一个周期内的平均能流密度矢量（即平均坡印廷矢量）更有意义。20推证正弦电磁场的一般表示式为21瞬时形式的坡印廷矢量为先计算平均坡印廷矢量的x分量使用三角函数公式因为是的共轭值是的共轭值23所以同样可导出所以坡印廷矢量的平均值称为平均坡印廷矢量。为简便计，去掉“•”，上式可写为25则平均能流密度矢量为如果电场和磁场都用复数形式给出，即有时间平均值与时间无关例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出26

具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他时变电磁场；而只适用于时谐电磁场。

在中，和都是实数形式且是时间的函数，所以也是时间的函数，反映的是能流密度在某一个瞬时的取值；而中的和都是复矢量，与时间无关，所以也与时间无关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。

利用，可由计算，但不能直接由计算，也就是说

关于和的几点说明27

解：（1）由得（2）电场和磁场的瞬时值为

例8.1.4

已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为，其中k和E0为常数。求：（1）磁场强度复矢量

；（2）瞬时坡印廷矢量

；（3）平均坡印廷矢量

。28

（3）平均坡印廷矢量为或直接积分，得瞬时坡印廷矢量为29例8.1.5

已知截面为的矩形金属波导中电磁场的复矢量为式中H0、ω、β、μ都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。

解：（1）和的瞬时值为30（2）平均坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量318.2理想介质中的均匀平面波

假设在无界空间内充满均匀一致且各向同性的理想介质，现在来讨论均匀平面波在这种理想介质中的传播特性。所谓均匀平面波，是指电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化，在与波传播方向垂直的无限大平面内，电场强度和磁场强度的方向、振幅和相位都保持不变。例如，沿直角坐标系的z轴传播的均匀平面波，在x和y所构成的横平面上无变化。z波传播方向328.2.1理想介质中的均匀平面波函数

假设所讨论的区域为无源区，即，且充满线性、各向同性的均匀理想介质，现在我们来讨论均匀平面波在这种理想介质中的传播特点。首先考虑一种简单的情况，假设我们选用的直角坐标系中均匀平面波沿z轴传播，则电场强度和磁场强度都不是x和y的函数，即同时，由和，有33如果t=0时，电磁场为0，从而得到Ez=0,Hz=0这表明沿z轴方向传播的均匀平面波的电场强度和磁场强度都没有沿传播方向的分量，即电场强度和磁场强度都与波的传播方向垂直，这种波又称为横电磁波(TEM波)

对于沿z方向传播的均匀平面波，电场强度和磁场强度的分量Ex

、Ey

、Hx

、Hy

满足标量亥姆霍兹方程(8.2.1)(8.2.2)34(8.2.3)(8.2.4)方程(8.2.1)的通解为写成瞬时表达式第一项代表沿+z方向传播的均匀平面波，第二项代表沿-z方向传播的均匀平面波。其中，分别为A1、A2的辐角。358.2.2理想介质中的均匀平面波的传播特点

对于无界的均匀媒质中只存在沿一个方向传播的波，这里讨论沿正z方向传播的均匀平面波，即瞬时表达式为(1)在z等于常数的平面上，随时间t作周期变化。ωt为时间相位，ω则表示单位时间内的相位变化，称为角频率，单位为rad/s。由ωT=得到场量随时间变化的周期为可见，场分量既是时间的周期函数，又是空间坐标的周期函数。36（8.2.5）（8.2.6）它表征在给定的位置上，时间相位变化的时间间隔。为电磁波的频率。37(2)在任意固定时刻，随空间坐标z作周期变化。可见，电磁波的波长不仅与频率有关，还与媒质参数有关。kz为空间相位，所以波的等相位面是z为常数的平面，故称为平面波。K表示波传播单位距离的相位变化，称为相位常数，单位为rad/m.在任意固定时刻，空间相位差为的两个波阵面之间的距离称为电磁波的波长，用表示，单位为m.由可得到由于，又可得到38所以k的大小也表示在的空间距离内所包含的波长数，所以又将k称为波数。

电磁波的等相位面在空间中的移动速度称为相位速度，或简称相速，以vp表示，单位为m/s。由式（8.2.6）可见，正弦均匀平面电磁波的等相位面方程为39由于，所以又得到由此可见，在理想介质中，均匀平面波的相速与频率无关，但与媒质参数有关。(3)在自由空间中，由于所以40(4)利用麦克斯韦方程，可得电磁波的磁场表达式。由，有其瞬时表达式为41是电场的振幅与磁场的振幅之比，具有阻抗的量纲，故称为波阻抗。由于值与媒质的参数有关，因此又称炎媒质的本征阻抗。在自由空间电场、磁场与传播方向之间相互垂直，且遵循右手螺旋关系。其中42这表明，在理想介质中，均匀平面波的电场能量密度等于磁场能量密度。因此，电磁能量密度表示为(5)在理想介质中，由于,所以有在理想介质中，瞬时坡印廷矢量为43由此可见，均匀平面波电磁能量沿波的传播方向流动。综合以上讨论，可将理想介质中的均匀平面波的传播特点归纳为：（1）电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波；（2）电场与磁场的振幅不变；（3）波阻抗为实数，电场与磁场同相位；（4）电磁波的相速与频率无关；（5）电场能量密度等于磁场能量密度。平均坡印廷矢量为448.2.3沿任意方向传播的均匀平面波

我们知道均匀平面波的传播方向与等相位面垂直，在等相位面内任一点的电磁场的大小和方向都是相同的，这些与坐标系的选择无关。前面讨论了沿坐标轴方向传播的均匀平面波，这里讨论均匀平面波沿任意方向传播的一般情况。

沿+z方向传播的均匀平面波，其电场矢量可一般地表示为相应的磁场矢量为45等相位面上任一点P的矢径为所以

对照沿方向传播的情况可知，对于沿方向传播的均匀平面波，电场矢量可表示为相应的磁场矢量为47是单位矢量的方向余弦48例8.2.1频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿(+z)方向传播，介质的特性参数为。设电场沿x方向，即；当时，电场等于其振幅值。试求(1)和;(2)波的传播速度；(3)平均坡印廷矢量。解:(1)设的瞬时表示式为式中49又由，得故则50(2)波的传播速度为51(3)平均坡印廷矢量为式中52例8.2.2均匀平面波在均匀理想介质中沿相对于z轴为θ角的方向传播。设电场与y轴平行，试确定磁场的方向。解：由于、及传播方向是相互垂直的，在此情况下，的方向应平行于图中的AOB直线。而且，、、三者之间成右螺旋关系，则可判定应为OB方向，用单位矢量表示为oABxzθ538.3电磁波的极化8.3.1极化的概念一般情况下，沿z方向传播的均匀平面波的和分量都存在，可表示为合成波电场。由于和分量的振幅和相位不一定相同，因此，在空间任意给定点，合成波电场强度矢量的大小和方向都可能会随时间变化，这种现象称为电磁波极化。54

电磁波的极化是电磁理论中的一个重要概念，它表征在空间给定点上电场强度矢量的取值随时间变化的特性，并用电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹来描述。若轨迹是直线，则称为直线极化若轨迹是圆，则称为圆极化；若轨迹是椭圆，则称为椭圆极化。

合成波的极化形式取决于和分量的振幅之间和相位之间的关系。为简单起见，下面取z=0的给定点来讨论。558.3.2直线极化波

当时，可得到合成波电场强度的大小为合成波电场与x轴夹角为由此可见，合成波电场的大小虽然随时间变化，但其矢端轨迹与x

若电场的x分量和y分量的相位相同或相差，即则合成波为直线极化波。56

同样的方法可以证明，时，合成波电场矢量的矢端轨迹是位于二、四象限的一条直线，如图8-6（b）所示，因此称为直线偏振。xyxy57轴夹角始终保持不变，因此为直线极化波。

在工程上，常将垂直于大地的直线极化波称为垂直极化波，而将与大地平行的直线极化波称为水平极化波。例如，中波广播天线架设与地面垂直，发射垂直极化波。收听者要得到最佳的收听效果就应将收音机的天线调整到与电场平行的位置，即与大地垂直；电视发射天线与大地平行，发射平行极化波，这时电视接收天线应调整到与大地平行的位置，我们所见到的电视共用天线都是按照这个原理设计的。

从以上讨论可以得出结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的线极化波，当它们的相位相同或相差为时，其合成波为线极化波。588.3.3圆极化波

若电场的x分量和y分量的振幅相同，但相位差为，即时，则合成波为圆极化波。

当时，故合成波电场强度的大小59合成波电场与x轴夹角为

当时间t的值逐渐增加时，电场的端点沿顺时针方向旋转。若以左手大拇指朝向波的传播方向，则其余四指的转向与电场的端点运动方向一致，这种圆极化波称为左旋圆极化波。由此可见，合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变化，其端点轨迹在一个圆上并以角速度ω旋转，故为圆极化波。60

当时，合成波电场与x轴夹角为当时间t的值逐渐增加时，电场的端点沿逆时针方向旋转。若以右手大拇指朝向波的传播方向，则其余四指的转向与电场的端点运动

方向一致，这种圆极化波称为右旋圆极化波。61左旋圆极化波右旋圆极化波xyoEyExααExEyoxy62

在很多情况下，系统须利用圆极化波才能正常工作，如火箭等飞行器在飞行过程中其状态和位置在不断变换，因此火箭上的天线方位也在不断变化，此时如用线极化的信号来遥控，在某些情况下则会出现火箭上的天线收不到地面控制信号而造成失控。在卫星通信系统中，卫星上的天线和地面站的天线均采用圆极化波。在电子对抗系统中，大多也采用圆极化天线。

从以上讨论可以得出结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的线极化波，当它们的振幅相等且相位差为时其合成波为圆极化波。638.3.4椭圆极化波

当电场的两个分量的振幅和相位都不相等，这样就构成了椭圆极化波。

为简单起见，取有由此二式中消去t，可以得到64这是一个椭圆方程，故合成电场的端点在一个椭圆上旋转。当时，它沿顺时针方向旋转，为左旋椭圆极化；当时，它沿逆时针方向旋转，为右旋椭圆极化。xyαExEyo椭圆极化65

以上讨论了两个正交的线极化波的合成波的极化情况，它可以是线极化波，或圆极化波，或椭圆极化波。反之，任一线极化波、圆极化波或椭圆极化波也可以分解为两个正交的线极化波。而且，一个线极化波还可以分解为两个振幅相等但旋向相反的圆极化波；一个椭圆极化波也可以分解为两个旋向相反的圆极化波，但振幅不等。66例8.3.1判别下列均匀平面波的极化形式：(1)(2)(3)解:(1)由于所以这是一个线极化波，合成波电场与x轴的夹角为67(2)由于所以此波的传播方向为-z轴方向，所以为右旋圆极化波。(3)由于68所以此波沿+z轴方向传播，故应为右旋椭圆极化波。698.4损耗媒质中的均匀平面波

在导电媒质中，由于电导率，当电磁波在导电媒质中传播时，其中必然有传导电流，这将导致电磁波能量损耗。因而，均匀平面波在导电媒质中的传播特性与无损耗介质的情况不同。8.4.1导电媒质中的均匀平面波可得到70由此可见，在均匀导电媒质中，虽然传导电流密度，但不存在自由电荷密度，即。在损耗煤质中麦克斯韦方程可以写为利用第7章推导波动方程的方法可以得到在均匀导电媒质中，电场和磁场满足的亥姆霍兹方程为73复介电常数虚部与实部之比为传导电流越大损耗越大，定义导电媒质的损耗角

为了与传输线理论中惯用的符号一致，定义一个传播系数，即上式方程组可写为——弱导电媒质和良绝缘体——一般导电媒质——良导体对于+z轴方向传播的均匀平面波，仍假定电场只有分量，则方程(1)的解为其中75由于与电磁波的频率不是线性关系，因此在导电媒质中，电磁波的相速是频率的函数，即在同一种导电媒质中，不同频率的电磁波的相速是不同的，这种现象称为色散，相应的媒质称为色散媒质，故导电媒质是色散媒质。76由方程，可得到导电媒质中的磁场强度为式中称为导电媒质的本征阻抗。

由上面的推导可知，磁场强度复矢量与电场强度复矢量之间满足关系77电场和磁场的瞬时表示式为可见，电场和磁场的振幅以因子随z的增大而减小。因此，是表明每单位距离衰减程度的系数，称为电磁波的衰减系数，单位是Np/m；表示每单位距离落后的相位，称为电磁波的相位系数，单位是rad/m。78导电媒质中的平均电场能量密度和平均磁场能量密度分别为由此可见，在导电媒质中，平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。79综合以上讨论，可将导电媒质中的均匀平面波的传播特点归纳为：（1）电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波；（2）电场与磁场的振幅呈指数衰减；（3）波阻抗为复数，电场与磁场不同相位；（4）电磁波的相速与频率有关；（5）平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。在导电媒质中，平均坡印廷矢量为808.4.2弱导电媒质中的均匀平面波

弱导电媒质是指满足条件的导电媒质。在这种媒质中，位移电流起主要作用，而传导电流的影响很小，可忽略不计。因此，弱导电媒质是一种良好的但电导率不为零的非理想绝缘材料。在条件下，传播系数可近似为衰减常数和相位常数可近似为81本征阻抗可近似为828.4.3强导电媒质中的均匀平面波

强导电媒质是指的媒质。在强导电媒质中，传导电流起主要作用，而位移电流的影响很小，可忽略不计。在条件下，传播系数可近似为衰减常数和相位常数可近似为83本征阻抗可近似为在良导体中，磁场相位滞后于电场450。在良导体中，波的相速为波长为84

从式可知，在良导体中，电磁波的衰减常数随波的频率、媒质的磁导率和电导率的增加而增大。因此，高频电磁波在良导体中的衰减非常大。例如，频率为f=3MHz时，电磁波在铜（）中的。

由于电磁波在良导体中的衰减很快，故在传播很短的一段距离后就几乎衰减完了。因此，良导体中的电磁波局限于导体表面附近的区域，这种现象称为趋肤效应。工程上常用趋肤深度σ（或穿透深度）来表征电磁波的趋肤程度，其定义为电磁波的幅值衰减为表面值的时电磁波所传播的距离。按此定义，有85良导体的本征阻抗为它具有相同的电阻分