第5章正弦稳态电路

第二单元动态电路的相量分析和s域分析

动态电路的“变换（域）”分析法

——相量分析法s域（复频域）分析法2.阻抗和导纳的概念及计算

——相量模型相量分析相量图3.其他内容

——功率三相电路多频耦合电感等第5章正弦稳态相量分析一、变换方法相量的概念二、两类约束的相量形式三、阻抗导纳相量模型四、正弦稳态电路分析5.1正弦电量及稳态响应1.正弦电量的表示瞬时值表达式i(t)=Imcos(wt+y)ti0T频率f

：每秒重复变化的次数。周期T

：重复变化一次所需的时间。单位：赫(兹)，Hz单位：秒，S波形——三要素1）表示变化快慢的量：T、f、ω角频率ω

：每秒重复变化的角度。单位：弧度/秒，rad/Sω

=2πf，f=ω/2πti02）表示大小的量：——瞬时值i、最大值Im、有效值I有效值——方均根值。幅度瞬时值3）表示起点和相位：——初相位ψ、相位ωt+ψ

在瞬时表达式i(t)=Imcos(ωt+ψ)中，(ωt+ψ)决定了i(t)随时间的变化进程——相位（角）。当t=0时，(ωt+ψ)=ψ——初相位（角），定义为正最大值超前计时0点的相角。ψ>0同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。一般规定：||

。=0>0<0ot注意iii2.正弦响应1）在图中施加以正弦激励：u(t)=Umcos(wt+y),t>=0则有：对微分方程求解得到电路的瞬时响应：和稳态响应：见P231，图6-67所示2）若uc(0)≠0

则可得：0输入相应0状态响应瞬态响应稳态响应5.2变换方法及相量——将复杂问题变换为更简单的问题求解原问题结果变换域（更简单的）变换域的解直接求解（复杂）变换求解反变换求解过程一般有三个步骤：即：变换、求解、反变换5.2.2复数的复习1.复数的表示形式FbReImao|F|下页上页代数式指数式极坐标式三角函数式返回用欧拉公式展开几种表示法的关系：或2.复数运算加减运算——

采用代数式，实部、虚部分别相加减。下页上页FbReImao|F|返回则

F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)若

F1=a1+jb1，F2=a2+jb2图解法下页上页F1F2ReImoF1+F2-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F2返回乘除运算——

采用极坐标式，模相乘除，幅角相加减。若

F1=|F1|1，F2=|F2|2则:下页上页模相乘角相加模相除角相减返回例1

解下页上页例2解返回④旋转因子复数

ejq

=cosq+jsinq=1∠qF•ejqFReIm0F•ejq下页上页旋转因子返回二复数相等——实部虚部分别相等；二复数共轭——实部相等，虚部等值异号；复数为0——实部虚部均为0。

+j,–j,-1

都可以看成旋转因子。特殊旋转因子ReIm0下页上页注意返回5.2.3振幅相量P91.问题的提出在正弦稳态电路中，各支路的响应与激励为同频率正弦波，需要完成两个同频正弦电量的相加：如KCL、KVL方程运算：i1i1+i2i3i2www角频率

同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和幅度即可。因此采用正弦量复数下页上页I1I2I3有效值123初相位变换的思想tu,ii1

i2oi3结论返回引入一个复函数对F(t)取实部

任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。无物理意义是一个正弦量有物理意义2.正弦量的相量表示下页上页结论返回利用欧拉公式展开F(t)包含了三要素：Im、、，复常数包含了两个要素：Im,

。F(t)还可以写成复常数下页上页正弦量对应的相量相量的模表示正弦量的最大值（振幅）相量的幅角表示正弦量的初相位注意返回同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知例1试用相量表示i,u.解下页上页例2试写出电流的瞬时值表达式。解返回根据线性电路的比例性，写成振幅或有效值是同样的关系。在复平面上用向量表示相量的图

相量图下页上页q+1+j返回5.3两类约束的相量形式5.3.1.线性性质——若干同频正弦量线性组合的相量等于各正弦量相量的线性叠加。——同频正弦量之和仍为同一频率正弦量。同频率正弦量的加减相量关系为：i1i2=i3下页上页例返回借助相量图计算+1+j首尾相接下页上页+1+j返回正弦量的微分、积分运算微分运算积分运算下页上页返回例用相量运算：把时域问题变为复数问题；把微积分方程的运算变为复数方程运算；可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。下页上页Ri(t)u(t)L+-C相量法的优点返回①正弦量相量时域频域相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图相量图下页上页注意不适用线性线性w1w2非线性w返回5.3.2基尔霍夫定律的相量形式同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：

流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。下页上页表明返回KCL相量形式KVL相量形式5.3.3单一元件VCR的相量形式阻抗/导纳1.电阻元件VCR的相量形式时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系相位关系R+-URu相量关系：UR=RIu=i下页上页返回欧姆定律相量形式瞬时功率

波形图及相量图

itouRpRu=iURI

瞬时功率以2交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率同相位下页上页返回时域形式：相量形式：相量模型相量关系：2.电感元件VCR的相量形式下页上页有效值关系：

U=wLI相位关系：u=i+90°

i(t)uL(t)L+-jL+-返回欧姆定律相量形式L的阻抗单位：欧姆感抗的性质表示限制电流的能力；感抗和频率成正比。wXL相量表达式XL=L=2fL，称为感抗，单位为

(欧姆)BL=-1/L=-1/2fL，

称为感纳，单位为S

感抗和感纳下页上页返回功率t

iouLpL2

瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。i波形图及相量图电压超前电流900下页上页返回时域形式：相量形式：相量模型iC(t)u(t)C+-+-相量关系：3.电容元件VCR的相量形式下页上页有效值关系：

IC=wCU相位关系：i=u+90°

返回欧姆定律相量形式C的阻抗单位：欧姆XC=-1/wC，

称为容抗，单位为(欧姆)BC

=wC，

称为容纳，单位为

S

容抗和频率成反比

0，|XC|

直流开路(隔直)w，|XC|0

高频短路w|XC|容抗与容纳相量表达式下页上页返回功率t

iCoupC

瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。u波形图及相量图电流超前电压900下页上页2返回4.阻抗/导纳欧姆定律的相量形式1）由前述得到的RLC元件的伏安关系：引入阻抗/导纳的概念，即：2）则前述三式可写成相同的形式：欧姆定律的相量式3）结合前述有：——两类约束均与直流电路具有相同的形式例1试判断下列表达式的正、误。L下页上页返回例2已知电流表读数：A1＝8A下页上页＝6AA2A1A0Z1Z2A2A0＝?＝I0max=?A0A0＝I0min=?＝?A2A0＝A1解返回5.4相量模型——与电阻电路分析方法的类比1.变换关系模型时域相量模型结构约束元件约束R元件约束C元件约束L变换方法：时域→相量模型→复数解→时域解变换复数运算反变换1.变换关系2.方法（步骤）例8-11P27，求i(t)已知，us(t)=10cos2tV1）建立相量模型us(t)→电路结构及符号不变RLC→Z2）用类比电阻电路方法求解列KVL：运用VCR：即：得：3）反变换：其中：即，u超前于i，呈感性。例2解相量模型下页上页+_15Wu4H0.02Fij20W-j10W+_15W返回下页上页j20W-j10W+_15W返回例3解下页上页+_5WuS0.2Fi相量模型+_5W-j5W返回5.4.3正弦混联电路分析1.RLC混联电路的基本关系1）同一元件或网络的同一端口间Z与Y互为倒数，即：2）元件的Z与Y关系见P32，表8-1所示，即：ZYRRGCL3）RLC串并联：串联：并联：即：任一无源RLC网络均可等效为一个阻抗Z或者一个导纳Y。例8-13，P33：已知us(t)=40cos3000tV,求i(t)1）相量模型：2）相量计算：3）反变换：i(t)=16cos(3000t-36.9)A例5图示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。解法1令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下页上页jXC+_RjXLUC+-返回下页上页画相量图计算jXC+_RjXLUC+-解法2返回例4解下页上页j40WjXL30WCBA返回5.4.4相量模型的网孔法和节点法1.网孔法。例8-15，P36。已知us(t)=10cos1000t,V1）建立相量模型2）列网孔方程联解得：3）反变换2.节点法。例8-16，P37。列出节点电压相量方程。节点1：节点2：即：5.4.5相量模型的等效——单口网络的阻抗和导纳先来看一个节点分析的例子，例8-17，P38，求单口网络的阻抗和导纳1）建立相量模型，射角频率为ω2）外加电源法电路是一个2节点的并联支路，对此列写节点方程：消去U1得：整理得：3）的单口网络的阻抗和导纳为：4）结论：a）单口网络可等效为一个的阻抗或导纳：b）阻抗或导纳为一个复数；其实部包含了ω因子，即与频率有关，反映出电抗元件的影响；其虚部包含了α因子，反映出电阻元件和受控源的影响。C）即，Z和Y的实部和虚部都是由电阻、受控源、电抗元件的参数和频率共同决定的。2.相量模型的等效1）阻抗：Noω的VCR为：式中的Z即为单口网络的输入（等效）阻抗，它一般为一个复数，即可表示为：Z=ReZ+jImZ=R+jX其中，R为阻抗的电阻分量，X为阻抗的电抗分量。二者一般均为网络中所有元件参数和频率的函数，见前例。建立复平面则可表示为：RXZ=R+jX或：则可引入“阻抗三角形”的概念，并有：阻抗的模阻抗角电阻分量电抗分量Z=R+jX2）导纳：GBNoω的VCR为：式中的Y即为单口网络的输入（等效）导纳，它一般为一个复数，即可表示为：Y=ReY+jImY=G+jB其中，G为导纳的电导分量，B为导纳的电纳分量。二者一般均为网络中所有元件参数和频率的函数，见前例8-17。Y=G+jB则可引入“导纳三角形”的概念，并有：导纳的模导纳角电导分量电纳分量2.相量模型的等效根据阻抗与导纳定义及等效的概念，应有：则：即有：（8-59,60）——可见，G、B均不单纯是R或X的倒数，而是网络中所有元件参数及频率的函数。同理：则：即有：（8-61,62）——可见，R、XB均不单纯是G或B的倒数，而是网络中所有元件参数及频率的函数。下页上页注意一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，其每一部分都是频率的函数，随频率而变；一端口N0中如不含受控源，则有或但有受控源时，可能会出现或其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部；返回下页上页注意一端口N0的两种参数Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为返回例1RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并联电路。解RL串联电路的阻抗为：下页上页0.06mH50R’

L’返回例2求图示电路的等效阻抗，

＝105rad/s

。解感抗和容抗为：下页上页1mH301000.1FR1R2返回例2图示电路对外呈现感性还是容性？解1等效阻抗为：下页上页33－j6j45电路对外呈现容性返回例8-18如图所示单口网络及相量模型，求在ω=4rad/S和ω=10rad/S时的等效模型。解.ω=4rad/S时：∵或：∵

解.ω=10rad/S时：∵或：∵

例4

用叠加定理计算电流解下页上页Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3返回下页上页Z2Z1Z3+-Z2Z1Z3+-返回方法1：电源变换解例5下页上页Z2Z1Z3Z+-Z2Z1ZZ3返回方法2：戴维宁等效变换求开路电压：求等效电阻：下页上页ZeqZ+-+-Z2Z1Z3返回例6

求图示电路的戴维宁等效电路。解下页上页+_j300+_+_100求开路电压：j300+_+_5050返回求短路电流：下页上页+_j300+_+_100+_100返回5.4.7两类特殊问题相量图法

——以幅值和相位差时的问题

在电工、电子技术的实际应用时，经常会只需要计算电量的幅值（振幅或有效值量）和相位差的两类特殊问题，这时用相量图法最方便。

做相量图的关键在于，找一个合适的参考电量并以它的方向作为参考方向。例8-23求电表A的度数。或：

已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,

f=50Hz。

求：线圈的电阻R2和电感L2

。方法一、画相量图分析。例2解下页上页R1R2L2+_+_+_q2q返回下页上页q2q返回方法二、其余步骤同解法一。下页上页R1R2L2+_+_+_返回5.5正弦稳态功率5.5.1

瞬时功率及能量的概念无源网络+ui_第一种分解方法；第二种分解方法。下页上页返回1.对于一个任意元件或无源单口网络的瞬时功率有：第一种分解方法：p

有时为正,有时为负；p>0,电路吸收功率；p<0，电路发出功率；t

iouUIcos

恒定分量。UIcos

(2t－)为正弦分量。下页上页返回p最大值恒量≥0变量可+可-to第二种分解方法：UIcos(1-cos2t)为不可逆分量。UIsinsin2t为可逆分量。电阻分量的功率电抗分量的功率可见，p(t)

有两个分量构成：第一部分以UIcosφ平均值按2ω频率变化，且≥0——电阻消耗的功率；第二部分以±UIcosφ为幅度、2ω为频率变化的正弦函数，反应电抗分量的能量交换。2.功率及能量的符号1）能量为功率的积分，即：2）对于p(t)，两个分量叠加后是可+可-的，其符号意义见P67表9-1uiR+-即，R：PR=UIcos=UIcos0=UI=I2R=U2/RLC：PLC=UIcos=UIcos(±90

）=05.5.23种单一元件的功率及能量1.电阻——平均（有功）功率PP671）平均功率：仅消耗，对外做功，有功功率，单位：W2）实际上对于RLC有：cosj1,纯电阻0，纯电抗一般地,有：0cos1X>0,j>0,

感性，X<0,j<0,

容性，QL=UIsin=UIsin90=UI=I2XLiuL+-2.电感电容——平均储能，无功功率QP691）电感的平均储能：可见：平均储能为：2）电感的无功功率：——反映电感与外电路能量交换规模，单位：Var≥0（9-11）QC=UIsin=UIsin(-90)=-UI=

I2XCiuC+-2）电容的储能及功率：可见：平均储能为：电容的无功功率：≤0（9-11）——反映电容与外电路能量交换规模，单位：Var3）电感电容的平均功率：PL、C=UIcos=UIcos(±90)=0——反映电容与电感均不消耗电能。5.5.3无源单口网络的3个功率1.对任一无源单口网络有：由电路结构、参数和频率决定，一般在2.平均（有功）功率

P，（W）一般，0≤｜｜≤π/2，可见，P≤UI其中，λ=cos

：功率因数。当=0时，cos=1，P=UI——纯电阻，为最大；当0<<π/2时，cos<1，P<UI——感性；当-π/2<<0时，cos<1，P<UI——容性。3.显然：P=UI*cosφ视在功率S=UI，（VA）——反映网络能量交换能力（规模）。4.无功功率Q=UI*sinφ，（Var）感性：>0，QL=UIsin>0；容性：<0，QL=UIsin<0；纯组：=0，QL=UIsin=0。可见，网络的无功功率仅由电抗元件产生，电容和电感的无功功率具有相互补偿的作用，对于提高cos有益。5.

功率三角形jSPQjZRXjSPQjZRX相似三角形jIIGIBjUURUX例1

三表法测线圈参数。已知：f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。解法1下页上页RL+_ZWAV**返回解法2又下页上页解法3返回已知：电动机

PD=1000W，U=220，f=50Hz，C=30F

cosD=0.8，求：负载电路的功率因数。例2解下页上页+_DC返回6.

功率因数的提高

设备容量

S

(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。P=UIcos=Scosjcosj=1,P=S=75kWcosj=0.7,P=0.7S=52.5kW一般用户：异步电机

空载cosj

=0.2~0.3

满载

cosj=0.7~0.85

日光灯

cosj=0.45~0.6设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还未被充分利用；1）提高功率因数意义：S75kVA负载当输出相同的有功功率时，线路上电流大，I=P/(Ucos)，线路压降损耗大。j1j22）解决方法：

（1）并联电容，提高功率因数。（2）改进自身设备，比如让交流异步电动机接近额定负荷使用。i+-uZ分析j1j2

并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。特点：下页上页LRC+_返回并联电容的确定：补偿容量不同全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)欠过——功率因数又由高变低(性质不同)下页上页j1j2返回并联电容也可以用功率三角形确定：j1j2PQCQLQ从功率角度看:并联电容后，电源向负载输送的有功UILcos1=UIcos2不变，但是电源向负载输送的无功UIsin2<UILsin1减少了，减少的这部分无功由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。下页上页返回已知：f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos1=0.6，要使功率因数提高到0.9,求并联电容C，并联前后电路的总电流各为多大？例解未并电容时：并联电容后：下页上页LRC+_返回若要使功率因数从0.9再提高到0.95

,试问还应增加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？解

cos

提高后，线路上总电流减少，但继续提高cos

所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将cos

提高到0.9即可。下页上页注意返回5.5.4复功率复功率守恒