第四章-机械振动

振动与波动振动简谐振动阻尼振动、受迫振动和共振振动的合成波动机械波及其波动方程机械波的能量与能流波动反射折射与衍射波的叠加、干涉与驻波多普勒效应（物理量随时间在某一固定值附近作周期性变化）（振动在空间的传播现象）振动与波动机械振动：物体在一特定的位置（平衡位置）

附近做周期性运动。广义振动：任一物理量在某固定值附近作

周期性的变化。振动振动在空间的传播。振动是产生波动的根源波动是振动这种运动形式和能量在空间的传播波动是相互联系着的一系列振动。各种振动和波动运动有着很多共同的特征。波动第4章机械振动4.1简谐振动4.2简谐振动的案例分析4.3谐振动的合成4.4阻尼振动，受迫振动和共振§4.1简谐振动1.简谐振动的运动学描述2.简谐振动的动力学描述3.简谐振动振动的旋转矢量表述4.谐振动振动的能量4.1.1简谐振动运动学描述

定义:

特点:(1)等幅振动(2)周期振动x是描述位置的物理量,如

y,z或

等.m

研究简谐振动的意义:mxO§4.1简谐振动mxO§4.1简谐振动1.简谐振动的代数表达——谐振方程利用欧拉方程表达成复数形式：谐振方程谐振方程由A、T、三个参量确定。谐振方程中各量的物理意义：位移x：振子在时刻t相对平衡位置的位移，单位为m。振幅A：振子相对平衡位置的最大位移，单位为m。周期T：振动一次所用的时间，单位为s。§4.1简谐振动若令：称为频率振子单位时间振动的次数，单位为1/s=Hz（赫兹）再令：称为角频率振子在2秒时间振动的次数，单位为rad/s§4.1简谐振动频率：角频率：简谐振子的运动状态由（t+）唯一决定。

表征了简谐振子t时刻的振动状态。也称为相角，它是时间的函数，单位为rad（弧度）。简谐振子在0时刻的相位值，由振子的初始状态决定。相位（t+）：初相位：§4.1简谐振动相位（t+）的性质：①当特征参量给定后，振子的运动状态由相位唯一决定。②相位是时间的函数，规定了振子运动状态的变化趋势。③相位也反映了简谐振子振动的周期性。相位每改变2振动重复一次,相位2范围内变化,状态不重复.txOA-A

=2§4.1简谐振动

相位差若若两振动步调相同,称同相。两振动步调相反,称反相。

m2x2Ok2m1

k1x1

xtoA1A2-A2x1x2T-A1x2TxoA1-A1A2-A2x1t§4.1简谐振动2.简谐振动的图形表达——振动曲线振动曲线t（s）x（m）A1-A1TTA1cos1A2-A2A2cos2§4.1简谐振动t（s）x（m）A-A曲线1曲线2tt振动2比振动1落后§4.1简谐振动t（s）x（m）A-A曲线1曲线2tt振动2比振动1超前§4.1简谐振动例1.如图的谐振动x-t曲线，试求其谐振方程解：由图知振动表达式为由t=0时：§4.1简谐振动又由：即：§4.1简谐振动例2.如图的谐振动x-t曲线，试求其谐振方程解：由图知由t=1时：振动表达式为§4.1简谐振动即：§4.1简谐振动4.1.2简谐运动动力学描述1.受力特点机械振动的力学特点线性恢复力

Okxl0xm§4.1简谐振动其中为

固有角频率§4.1简谐振动2.动力学方程运动微分方程其中4.振幅和初相位的确定注意:如何确定最后的.§4.1简谐振动3.速度和加速度4.1.3谐振动旋转矢量表示法t+oxxtt=0va特点:直观方便.··§4.1简谐振动M

4.1.4谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)1.动能2.势能3.机械能（简谐振动系统机械能守恒）mxOExOA−A§4.1简谐振动x（m）At（s）Tt（s）E（J）1/2kA2EpEkE简谐振动的能量特征：①动能和势能周期性变化，其周期为振动周期的一半，二者彼此反相。②势能的极大值与位移的极值同步，极小值与位移的零点同步，动能正好相反。③无论势能和动能如何变化，其总能量保持不变。普遍特征：谐振系统的能量不随时间变化，其大小与振幅A的平方成正比，与频率的平方成正比。④谐振系统是无能量损耗的系统。这是一个理想的系统-无阻尼自由振动。⑤谐振系统能量时间平均值表示：例如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为12cm的两点A和B，历时2s，并且在A，B两点处具有相同的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过B点。AB解Ox质点运动的周期和振幅。求由题意可知，AB的中点为平衡位置，周期为T=

42=8

(s)设平衡位置为坐标原点，则设t=0时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为t=1时,质点位于B点,所以§4.1简谐振动§4.2简谐振动的实例分析1.单摆2.复摆3.扭摆4.弦振动5.U形管中液体无粘滞振荡6.LC谐振电路（1）单摆以小球为研究对象，作受力分析.设角沿逆时针方向为正.P重力,T绳的拉力.沿切向方向的分量方程为（小角度时）令

结论:小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.周期和角频率为：（牛顿第二定律）§4.2简谐振动的实例分析（2）复摆（物理摆）以物体为研究对象设角沿逆时针方向为正（刚体绕定轴转动定律）小角度时令

结论:小角度摆动时，复摆的运动是谐振动.周期和角频率为：§4.2简谐振动的实例分析（3）扭摆以圆盘为研究对象在（扭转角）不太大时，（刚体绕定轴转动定律）令

结论:在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动.周期和角频率为：金属丝xyz（D为金属丝的扭转系数）圆盘的力矩为§4.2简谐振动的实例分析（4）弦振动T为弦对振子的恒定张力，m为振子的质量。

动力学方程为：

谐振方程为：TxmT2l§4.2简谐振动的实例分析设（5）U形管中液体无粘滞振荡为管内液体密度，l为液体在管内的长度。

动力学方程为：

谐振方程为：lxx§4.2简谐振动的实例分析（6）LC谐振电路C为电容，L为电感。

电容电量满足的方程为：

谐振方程为：CLq§4.2简谐振动的实例分析1.同方向同频率谐振动的合成2.同方向不同频率谐振动的合成拍3.相互垂直谐振动的合成§4.3谐振动的合成4.3.1同方向同频率谐振动的合成1.解析法分振动:合振动:

结论：合振动x

仍是简谐振动§4.3谐振动的合成2.旋转矢量法分振动合振动

结论：与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷.§4.3谐振动的合成

讨论:(1)若两分振动同相,即

21=2k(k=0,1,2,…)(2)若两分振动反相,即

21=(2k+1)(k=0,1,2,…)当A1=A2时,A=0两分振动相互加强，两分振动相互减弱，当A1=A2时,A=2A1§4.3谐振动的合成例：两个简谐振动的振动方程分别为：求合成振动的振动方程解：同方向同频率简谐振动后仍为简谐振动，根据合成公式，确定三个特征参量。§4.3谐振动的合成§4.3谐振动的合成例：将两个振动方向、振幅、周期均相同的简谐振动合成后，若合振幅和分振动的振幅相同，则这两个分振动的相位差为多少？4.3.2同方向不同频率谐振动的合成拍分振动:合振动:当时,A有最大值:当时，A有最小值:

结论：合振动x不再是简谐振动,合振动振幅的频率为§4.3谐振动的合成当21时,

2-12+1，令其中随

t缓变随t快变

振幅相同不同频率的简谐振动的合成合振动:分振动:

结论：合振动x

可看作是振幅缓变的简谐振动。§4.3谐振动的合成xx2x1ttt

拍的现象:振动的振幅随时间周期性变化的现象

OOO拍频:

单位时间内合振动振幅强弱变化的次数即:拍原理的应用§4.3谐振动的合成例：为了测定音叉c的振动频率，另选两个和c频率相近的音叉a和b，其频率已知νa=500Hz,νb=495Hz,先使音叉a和c同时振动，测出每秒钟声响加强两次，然后是音叉b和c同时振动，测出每秒钟声响加强3次，则音叉c的振动频率§4.3谐振动的合成解：根据题意，a,b,c三个音叉之间出现拍现象。根据拍频定义：所以4.3.3两个相互垂直谐振动的合成李萨如图1.两个同频率相互垂直的谐振动的合成分振动合运动

讨论

当=2−1=k(k为整数)时:当=(2k+1)/2(k为整数)时：xy§4.3谐振动的合成=0(第一象限)=/2==3/2(第二象限)(第三象限)(第四象限)§4.3谐振动的合成2.两个不同频率、相互垂直的谐振动的合成分振动

结论：(1)ω1、ω2

之比为整数时:合成运动仍是周期运动,轨迹是稳定的闭合曲线(李萨如图)。(2)ω1、ω2

之比不为整数时:合成运动为非周期运动;运动的轨迹为永不闭合的。§4.3谐振动的合成::李萨如曲线1.阻尼振动2.受迫振动§4.4阻尼振动和受迫振动简介4.4.1阻尼振动阻尼力振动的微分方程式中，ω02=k/m,

n=/(2

m)

(阻尼系数)

几种阻尼振动模式小阻尼大阻尼临界阻尼

Okxl0xm§4.4阻尼振动和受迫振动简介1.小阻尼(n2<02)XtO§4.4阻尼振动和受迫振动简介①

阻尼振动不是周期运动，称其为

准周期运动。阻尼使振动变慢了②阻尼振幅减幅振动：阻尼系数越大振幅衰减越快。③可以证明，阻尼振动的能量不再是常数：能量也按指数规律衰减。反映了振荡持续的时间的长短。系统能量在耗散，耗散速率与时刻t的能量成正比。§4.4阻尼振动和受迫振动简介2.临界阻尼(n2=02)在过阻尼和临界阻尼时无振动3.大阻尼(n2>02)XtO大阻尼临界阻尼§4.4阻尼振动和受迫振动简介应用：①.各类机器，防振、减振，加大摩擦阻尼。各种弦乐器、声源，希望它辐射足够大的声能，加大辐射阻尼。②.大型建筑弹簧门安装消振油缸，使其工作于大阻尼状态。③.指针式测量仪表（电流计，精密天平）采用临界阻尼系统，快速逼近正确读数或返回平衡位置。4.4.2受迫振动受力分析

弹性力阻尼力周期性驱动力受迫振动的微分方程l0x其解为§4.4阻尼振动和受迫振动简介受迫振动微分方程的稳态解为:§4.4阻尼振动和受迫振动简介t（s）ox（m）其中，振幅A

及受迫振动与干扰力之间的相位差分别为：

受迫振动特征①在驱动力开始作用时，可以看成两个振动的合成。

减幅振动+简谐振动②减幅振动逐渐减弱，以至于可以忽略不计。稳态简谐振动③受迫振动达到简谐振动，称之为稳态。④从能量角度看：振动因驱动力作功而获得能量，同时也因阻尼的作用而消耗能量。§4.4阻尼振动和受迫振动简介1.位移共振(振幅取极值)（振幅共振曲线）共振频率:共振振幅:2.速度共振(速度振幅取极值)共振频率:共振速度振幅:（速度共振曲线）§4.4阻尼振动和受迫振动简介4.4.3共振共振破坏：1940年,美塔科马海峡大桥因微风引起共振断塌§4.4阻尼振动和受迫振动简介本章