第3 章 力系的平衡1

第三章力系的平衡静力学力系的平衡主要内容重要内容物体受力分析力系的简化力系的平衡平面力系空间力系重要内容平面力系重要内容物系平衡单个物体平衡物系平衡事实上，力系的简化结果力系平衡的充要条件：平衡方程下面首先讨论平面力系的平衡，再讨论空间力系的平衡。1§3-1平面力系的平衡条件与平衡方程平衡条件投影方程矩方程O为简化中心x、y为投影轴O为简化中心x、y为投影轴O为矩心(不再提简化中心)基本形式问题：①一般可求解几个代数未知量？②可求解的独立代数未知量为何种量？由何种方程求？xyO③二投影轴是否一定垂直？是否一定水平和铅直？④矩心是否一定选在原点O？是否一定选在物体内部？2⑤可否写成下述形式？(AB

x)二矩式无效形式只有两个独立ABxyAByx3⑤可否写成下述形式？(AB

x)二矩式(A、B、C不共线)三矩式无效形式只有两个独立讨论：根据力系简化结果力系平衡条件力系平衡方程给出几种平面特殊力系的平衡方程：①平面汇交力系：或其他形式（一矩或二矩式）②平面力偶系：③平面平行力系：或其他形式（二矩式）4以上为解析法。对平面汇交力系，有时用几何法更方便：解题步骤：(一)选研究对象，取分离体；(二)画受力图；(三)列解平衡方程。解题步骤：(一)(二)同解析法；(三)按比例画自行封闭力多边形，求未知量。平衡条件：力多边形自行封闭，如图。注：几何法在摩擦问题中用得较多——当受三不平行力时，有三力平衡汇交5例1（老书P50例4-1）压路机碾子，重G=20kN，半径r=40cm，刚好越过石坎，石坎高h=8cm。①若拉力P水平，求P；②使P最小的α，此时Pmin多大？分析：题目两问属两种情形，分别分析。①P力水平时，碾子受P、G和石坎反力N，地面处反力为0，为平面汇交力系，有2个（代数）未知量P、N，可求；②P不再水平，此时未知量有3个：P（即Pmin）、N、α，由平衡方程只能求2个，第3个如何求？——“使P最小”是1个补充条件（方程）解：①碾子为研究对象，取分离体；画受力图如图（b）；列解方程：(1)考虑不求N，取投影轴y与N垂直平面汇交力系，解析法与几何法6由几何关系易知：代入（1）式，得：P=15kN②受力图如图（c），列解方程：使P最小，则7另解：（几何法）①再画自行封闭的力三角形，如图（d），则②欲使P最小，应有图（e）示所示的力三角形，即Pmin⊥N，则可见，此时几何法更简单。点到直线的距离最短8例2（新书P55例3-1）外伸梁ABC，受载荷：q=10kN/m，P=20kN，m=10kN·m，求支座A、B的反力。分析：外伸梁ABC有3个未知力：A处2个，B处1个，受平面任意力系，静力可求。(1)(3)(2)又由方程(1):由方程(2):由方程(3):单个梁受各种载荷，平面任意力系解：取分离体，画受力图如图（b）所示。9本题约束变为如图（c）形式，如何方便求出A、B、D处反力？讨论分析：仍列上述3个方程，求解没问题，但每个方程包含2个以上未知量，求解较繁，故可选列矩方程：或10例3（老书P53例4-4）大型物体的重心通常由称重法确定。如对汽车，用磅秤分别称得N1、N3、N5，已知车重W、轴距L、轮距S、后桥抬高高度H，可计算出重心C的位置（l、s、h）。求重心实验法分析：汽车受平面平行力系，易列解方程。下面只给出方程：由图（a）：由图（b）：由图（c）：11例4（老书P53例4-5）行动式起重机的稳定性极其重要，要求具有很好的稳定裕度，满载时不向右翻倒，空载时不向左翻倒。已知自重G=500kN，最大载荷Pmax

=210kN，各种尺寸为：轨距b=3m，e=1.5m，l=10m，a=6m，试设计平衡重Q，使起重机能正常工作，且轨道反力不小于50kN。12分析：有两个问题需要注意：①这类问题需考虑两种情形：满载时不向右翻倒和空载时不向左翻倒；②每种情形又分两种平衡状态：临界平衡和一般平衡。若取临界平衡状态，满载不向右翻时NA＝50kN，空载不向左翻时NB＝50kN（等式条件，解等式方程）；若取一般平衡状态，满载不向右翻时NA≥50kN，空载不向左翻时NB≥50kN（不等式条件，解不等式方程）。所求Q何时为最大、何时为最小？13

NA≥50kN解：取起重机，考虑一般平衡状态，画受力图如图（b）所示。(1)满载时不右翻，P=Pmax

=210kN(2)空载时不左翻，P=0

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