第十章机械振动和电磁振荡

机械振动和电磁振荡第十章§10-1谐振动

§10-2阻尼振动

§10-3受迫振动共振

§10-4电磁振荡

§10-5一维谐振动的合成*§10-6二维谐振动的合成*§10-7振动的分解频谱*§10-8非线性振动与混沌第十章机械振动和电磁振荡简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。一、简谐振动的特征及其表达式§10-1谐振动忽略了质量的弹簧+不发生形变的物体。弹簧振子：1.简谐振动实例：回复力：3.动力学特征:

据牛顿第二定律，得动力学特征令2.力学特征：——作简谐运动的质点所受的合外力与位移成正比且反向。或4.简谐振动的运动学特征:速度：加速度：位移：

——物体的加速度与位移成正比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。注：简谐振动以上三特征具有等价性。

简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:

1.振幅(A):

物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。由初始条件确定

2.周期和频率

周期：物体作一次完全振动所经历的时间。频率：单位时间内物体所作完全振动的次数。二、描述谐振动的特征量角频率:

物体在秒内所作的完全振动的次数。利用上述关系式，得谐振动表达式：对于弹簧振子，因有，得3.相位和初相相位：决定简谐运动状态的物理量。初相位：t

=0

时的相位。——相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。设有两个同频率的谐振动，表达式分别为二者的相位差为

a.当

时,称两个振动为同相；讨论：

b.当时,称两个振动为反相；

c.当

时,称第二个振动超前第一个振动；

d.当时,称第二个振动落后第一个振动

。注意：相位可以用来比较不同物理量变化的步调。如：简谐振动的位移、速度和加速度速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。存在两个值，可根据在到之间，通常进行取舍。4.常量和的确定根据初始条件：时，,，得旋转矢量:一长度等于振幅A的矢量在纸平面——可直观地描述表达式中各个物理量。三、谐振动的旋转矢量图示法内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。振动相位逆时针方向ω

M点在

x

轴上投影(P点)的坐标：

的长度旋转的角速度旋转的方向与参考方向x的夹角xOMPx振幅A振动圆频率——谐振动位移

M点在

x

轴上投影(P点)的运动速度：

——谐振动速度两个同频率的简谐运动：相位之差为采用旋转矢量直观表示为例题10-1

一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式;(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x=-0.06

m向x轴负方向运动，到第一次回到平衡位置所需时间。解:

(1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为初始条件：t=0s,x0=0.06m,可得其中A=0.12m,T=2s,据初始条件

O若用旋转矢量法求解，根据初始条件可画出振幅的初始位置，如下图所示。A得从而可得(2)由(1)求得的简谐振动表达式得在t=T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得(3)当x=-0.06m时，该时刻设为t1,得因该时刻速度为负，应舍去，设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是因此从x=-0.06m处第一次回到平衡位置的时间：解法二：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为1.单摆四、几种常见的谐振动根据牛顿第二运动定律可得很小时（小于），可取其中动能：势能：以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统总的机械能：五、简谐振动的能量能量平均值——上述结果对任一谐振系统均成立。考虑到，系统总能量为，注意:(1)竖直放置的弹簧振子其势能中已经包含重力势能。(2)振幅计算体现了能量守恒。——总能量守恒。谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:

§10-0教学基本要求

§10-1谐振动

§10-2阻尼振动

§10-3受迫振动共振

§10-4电磁振荡

§10-5一维谐振动的合成*§10-6二维谐振动的合成*§10-7振动的分解频谱*§10-8非线性振动与混沌电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡。LC振荡电路§10-4

电磁振荡一、LC电路的振荡(1)LC

回路与弹簧振子振动的类比LC电路电磁振荡过程设某一时刻电容器极板上电量为q,电路中电流为i，得到:LC

回路自由振荡角频率

Q0是电荷振幅，是振荡初相，均由初始条件确定。将电量表达式对时间求导，得到电流表达式：其中为电流振幅。——上述分析结果可知，电量和电流都作简谐振动。而且电荷和电流的振荡频率相同，电流的相位比电荷的相位超前，如下图所示：将电场和磁场能量相加，并利用，得——电能和磁能均随时间变化，但总能量守恒。设t时刻电容器极板上电量为q，相应的电场能量为此刻电流为i，则线圈中的磁场能量为机械振动电磁振荡(串联电路)位移x速度

v质量

m劲度系数

k阻力系数

g驱动力

F弹性势能

kx2/2动能

mv2/2电荷

q电流

i电感

L电容的倒数

1/C电阻R电动势

e电场能量

q2/2C磁场能量

Li2/2二、力电类比

§10-1谐振动

§10-2阻尼振动

§10-3受迫振动共振

§10-4电磁振荡

§10-5一维谐振动的合成*§10-6二维谐振动的合成*§10-7振动的分解频谱*§10-8非线性振动与混沌设一质点同时参与沿同一方向(x

轴)的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为合位移：合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。一、同一直线上两个同频率的谐振动的合成其中§10-5一维谐振动的合成旋转矢量法矢量沿x

轴之投影表征了合运动的规律。1.当两振动同相同相叠加，合振幅最大。讨论：2.两振动反相反相叠加，合振幅最小。当A1=A2

时，A=0。3.通常情况下，合振幅介于之间。和注：

对合振幅A有决定性影响两个简谐振动合成得

当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。x=x1+

x2二、同一直线上两个不同频率的谐振动的合成拍两个简谐振动的频率很接近，且和——合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的拍现象。拍频:单位时间内振幅强弱变化的次数。因或有拍频的形成§10-1谐振动

§10-2阻尼振动

§10-3受迫振动共振

§10-4电磁振荡

§10-5一维谐振动的合成

§10-6二维谐振动的合成*§10-7振动的分解频谱*§10-8非线性振动与混沌两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式：消时间参数，得——合运动一般是在

(

x

向)、

(

y

向)范围内的一个椭圆。§10-6二维谐振动的合成注：椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋)在

A1、A2确定之后,主要决定于。（1）

或（2）

讨论：（3）

用旋转矢量描绘振