第十章.动量定理(哈工大理论力学)

动力学实际上的问题是：1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需要研究质点系整体的运动情况。动力学普遍定理概述对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方程，联立求解它们即可。

从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,而首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。第十章动量定理动力学

动量、动量矩和动能定理从不同的侧面揭示了质点和质点系总体的运动变化与其受力之间的关系，可用以求解质点系动力学问题。

动量、动量矩和动能定理称为动力学普遍定理。 本章将阐明及应用动量定理第十章动量定理第十章动量定理§10-1动量与冲量§10-2动量定理§10-3质心运动定理几个概念

一.质点系的质心

质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。质心C点的位置：

在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：二、质点系的内力与外力外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。第十章动量定理几个实际问题第十章动量定理几个实际问题§10-1动量与冲量一、动量1、动量的定义（1）质点的动量

质点的质量m

与速度v

的乘积mv

称为该质点的动量。动量是矢量，方向与质点速度方向一致。（2）质点系的动量

质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系的动量。用p

表示，即有单位§10-1动量与冲量

（2）质点系动量的投影式

以px，py和pz分别表示质点系的动量在固定直角坐标轴x，y和z上的投影，则有例如：射出的子弹、船的靠岸§10-1动量与冲量2、质点系动量的简捷求法

质点系的动量

§10-1动量与冲量质点系的质心C的矢径表达式为

当质点系运动时，它的质心一般也是运动的，将上式两端对时间求导数，即得

能得到什么结论？质点系的动量，等于质点系的总质量与质心速度的乘积。投影到各坐标轴上有

§10-1动量与冲量

可见，如质点系的动量主矢=0，只说明其质心静止不动，而质点系内各质点可各自运动。质点系的动量是描述质点系随质心运动的一个物理量，它不能描述质点系相对于质心的运动，这个问题将在动量矩定理讨论。§10-1动量与冲量例10-1：椭圆规尺BD的质量为2m1；曲柄OA的质量为m1；滑块B和D的质量均为m2，已知：OA=BA=AD=l；曲柄和尺的质心分别在其中点上；曲柄绕O轴转动的角速度ω为常量，试求当曲柄OA与水平成角

时整个机构的动量。例10-1§10-1动量与冲量例10-1§10-1动量与冲量例10-1§11-1动量与冲量例10-1曲柄OA的动量大小：方向：与vE方向一致，垂直 于OA并顺着ω的方向§10-1动量与冲量例10-1由于动量pOA的方向也与vA的方向一致，所以整个椭圆机构的动量方向与vA相同，而大小等于§10-1动量与冲量二、冲量1、常力的冲量

常力与作用时间t的乘积F·t称为常力的冲量。并用I表示，冲量是矢量，方向与力相同。2、变力的冲量

若力F是变力，可将力的作用时间t分成无数的微小时间dt，在每个dt内，力F可视为不变。元冲量——力F在微小时间段dt内的冲量称为力F的元冲量。变力F

在t1~t2

时间间隔内的冲量为：单位：N·s从起始点开始的冲量为：

上式为一矢量积分，具体计算时，可投影于固定坐标系上

§10-1动量与冲量§10-2动量定理

因为质点系的动量为，对该式两端求导数，得分析右端，把作用于每个质点的力F分为内力F(i)和外力F(e)，则得：质点系动量定理的微分形式§10-2动量定理

即，质点系动量对时间的导数，等于作用于它上所有外力的矢量和，这就是质点系动量定理的微分形式。常称为动量定理。

具体计算时，往往写成投影形式，即即，质点系的动量在固定轴上的投影对时间的导数，等于该质点系所有外力在同一轴上的投影的代数和。§10-2动量定理一、动量定理二、冲量定理设在t1到t2过程中，质点系的动量由p1变为p2，则对上式积分，可得即，质点系的动量在一段时间内的变化量，等于作用于质点系的外力在同一段时间内的冲量的矢量和，这就是质点系动量定理的积分形式。常称为质点系的冲量定理。

质点系动量定理的微分形式§10-2动量定理二、冲量定理具体计算时，往往写成投影形式，即即，质点系动量在某固定轴上投影的变化量，等于作用于质点系的外力在对应时间间隔内的冲量在同一轴上的投影的代数和。§10-2动量定理三、动量守恒定理

1、如果在上式中，则有 在运动过程中，如作用于质点系的所有外力的矢量和始终等于零，则质点系的动量保持不变。这就是质点系的动量守恒定理结论其中：p0

为质点系初始瞬时的动量动量定理

§10-2动量定理§10-2动量定理§10-2动量定理例10-2：火炮(包括炮车与炮筒)的质量是m1，炮弹的质量是m2，炮弹相对炮车的发射速度是vr，炮筒对水平面的仰角是α(图a)。设火炮放在光滑水平面上，且炮筒与炮车相固连，试求火炮的后坐速度和炮弹的发射速度。例10-2§10-2动量定理例10-2解：取火炮和炮弹(包括炸药)为研究对象

设火炮的反坐速度是u，炮弹的发射速度是v，对水平面的仰角是θ。

炸药(其质量略去不计)的爆炸力是内力，作用在系统上的外力在水平轴x的投影等于零，即有

可见，系统的动量在x轴上的投影守恒，考虑到初始瞬时系统处于静止，即有，于是有§10-2动量定理例10-2

另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得

考虑，并将上式投影到轴x和y上，就得到：

联立求解上列三个方程，即得§10-2动量定理例10-2

讨论

由上式可见，v与vr方向不同，当m1>>m2

时，。但在军舰或车上时，应该考虑修正量

例3质量为M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。动力学解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析，水平方向常量。由水平方向动量守恒及初始静止；则设大三角块速度，小三角块相对大三角块速度为，则小三角块运动分析，§10-2动量定理运动分析，设经过ｔ时间后，流体AB运动到位置ab，

例4

流体流过弯管时，在截面A和B处的平均流速分别为求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，密度为(kg/m3）。动力学解：取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。受力分析如图示。由质点系动量定理；得§10-2动量定理静反力，动反力

计算时，常采用投影形式与相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力．动力学即§10-2动量定理§10-3质心运动定理一、质量中心(质心)

计算质心位置时，常采用直角坐标的投影形式，即

§10-3质心运动定理二、质心运动定理

1、定理的表达式

质点系动量：

质点系动量定理：

即，质点系的总质量与其质心加速度的乘积，等于作用在该质点系所有外力的矢量和(主矢)，这就是质心运动定理

§10-3质心运动定理2、定理的转化形式

质心运动定理

假设质点系由N个部分构成

3、投影表达式

§10-3质心运动定理质心运动定理

三、质心运动守恒定理

1、如果定理的表达式，则有上式可知，从而有

思考题：这时会有什么现象？即，如作用于质点系的所有外力的矢量和(主矢)始终等于零，则质心运动守恒，即质心作惯性运动；如果在初瞬时质心处于静止，则它将停留在原处。

§10-3质心运动定理质心运动定理投影表达式

2、如果定理的表达式，则由上式可知，从而有

即，如作用于质点系的所有外力在某固定轴上投影的代数和始终等于零，则质心在该轴方向的运动守恒；另，如初瞬时质心的速度在该轴上的投影也等于零，则质心沿该轴的位置坐标不变。

思考题：这时会有什么现象？§10-3质心运动定理内力（发动机产生）不能改变汽车的运动轮胎做成各种花纹，提高摩擦力哈尔滨的冬天，汽车打滑；火车铁轨上加沙子；§10-3质心运动定理例10-5：如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人的质量为m2，船的质量为m1，船长l，水的阻力不计。求船的位移。§10-3质心运动定理解：人与船组成质点系因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零，即。则有又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。有取坐标轴如图所示，人在走动前，系统的质心坐标为人走到船尾时，船移动的距离为s，则质心坐标为§10-3质心运动定理可求得小船移动的位移

讨论1、质点系的内力（鞋底与船间摩擦力）虽不能改变质心的运动，但能改变系统中各部分的（人与船）的运动。2、靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船拴住。例10-6

均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D,如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C

.在活塞上作用一恒力F。不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx。

§10-3质心运动定理显然,最大水平约束力为应用质心运动定理,解得解:如图所示§10-3质心运动定理§10-3质心运动定理对前边的例题修改：考虑滑槽内滑块的质量m，滑槽、连杆和活塞的质量为m2，求水平约束力和垂直约束力。解：应用质心运动定理,解得得§10-3质心运动定理求作用在曲柄轴A处垂直约束力。选取杆AB和滑块B为研究的质点系应用质心运动定理,解得得

例10-7电动机外壳固定在水平基础上，定子和外壳的质量为，转子质量为。定子和机壳质心,转子质心

,角速度为常量。求基础的水平及铅直约束力.§10-3质心运动定理得解:由§10-3质心运动定理方向:动约束力-静约束力=附加动约束力本题的附加动约束力为方向:

电机不转时,,称静约束力;电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束力.§10-3质心运动定理求:(1)电机外壳的运动.(2)电机跳起的最小角速度

例10-8

地面水平,光滑,已知,,,初始静止,

常量.§10-3质心运动定理由

,得§10-3质心运动定理电机在水平方向没有受到外力，且初始静止，因此系统的质心坐标xc保持不变。解:（1）电机在水平方向的运动§10-3质心运动定理解:（2）电机跳起的最小角速度在上一例题中求得支撑面的铅直反力铅直反力的最小值为

思考题电机是否会跳起？起跳的条件是什么？电机起跳的条件为：起跳的最小角速度为：§10-3质心运动定理实例分析§10-3质心运动定理例10-9:单摆B的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平移的滑块A上，设A，B的质量分别为mA，mB。运动开始时，试求单摆B的轨迹方程§10-3质