第4章MATLAB符号计算

MATLAB基础及应用

第2版主编：于润伟朱晓慧第4章MATLAB符号计算本章要点符号计算的基本函数符号微积分符号方程求解4.1符号函数的计算一、符号变量和符号矩阵函数：符号变量名=sym（‘表达式’）说明：创建一个符号变量。表达式可以是变量、字符、字符串、数学表达式或字符表达式等。函数：syms变量名1变量名2变量名3…说明：一次创建多个符号变量。例4-1创建符号变量。>>clear>>a=sym(‘matlab’)>>b=sym(‘3*x^2+4*x+7’)>>e=[135;246;7911]%创建数值矩阵>>m=sym(e)%创建符号矩阵（没加单引号）例4-2创建符号变量和符号矩阵。>>clear>>symsABC//观察工作窗口>>symsabcd>>n=[abcd;bcda;cdab;dacb]二、常用函数数值运行结果为数值符号运算结果为表达式或符号MATLAB运算中，浮点运算速度最快，符号运算占用时间和内存比较多，但运算结果最精确。在默认情况下，当生成符号变量后，利用符号工具箱中提供的函数进行符号运算。二、常用函数1．算术函数函数格式说明函数格式说明symadd(S1，S2)符号表达式S1加上符号表达式S2symdiv(S1，S2)符号表达式S1除符号表达式S2symsub(S1，S2)符号表达式S1减去符号表达式S2sympow(S，p)符号表达式S1的p次幂，p可以是表达式symmul(S1，S2)符号表达式S1乘上符号表达式S2例4-3计算表达式与表达式x-1的和、差、积、商河乘方。>>clear>>symsx>>s1=x^3-1>>s2=x-1>>symadd(s1,s2)%7.0版取消该函数，而直接运算>>symsub(s1,s2)>>symmul(s1,s2)>>symdiv(s1,s2)>>sympow(s1,s2)2．化简函数

函数格式说明函数格式说明collect(s，x)合并自变量x的同幂系数simple(s)寻找表达式的最简型expand(s)符号表达式s的展开simplify(s)符号表达式的化简factor(s)因式分解radsimp(s)对含根式的表达式s化简numden(s)符号表达式s的分式通分horner(s)符号表达式s的嵌套形式例4-4对表达式进行因式分解。>>clear>>symsx>>f=factor(x^3-1)%用例4-5的方式表示例4-5展开三角函数表达式sin(a+b)。>>clear>>s=sym(‘sin(a+b)’)%用sym函数创建符号变量>>expend(s)例4-6对表达式f=x(x(x-8)+6)t,分别将自变量x和t的同类项合并。>>clear>>symsxt>>f=x*(x*(x-8)+6)*t;%与上例比又一种表示方法>>collect(f)%按默认的变量x合并>>collect(f,t)%按变量t合并例4-9对表达式f=x/y-y/x进行通分。>>clear>>symsxy>>f=x/y-y/x;>>[m,n]=numden(f)%如果没有m、n则默认ans为分子例4-10对表达式进行嵌套形式重写。>>clear>>symsx>>f=x^4+3*^3-7*x^2+12;>>horner(f)%注意观察什么是嵌套形式3．替换函数函数：[R，SYM]=subexpr（S，‘SYM’）说明：用变量SYM（字符或字符串）的值代替符号表达式S中重复出现的字符串，R是返回替换后的结果。函数subs的调用格式：R=subs（S，old，new）说明：该函数是用新的符号变量new替换原来符号表达式S中的变量old，R是替换后的符号表达式。需要注意的，当变量new是数值形式时，显示的结果虽然是数值，但事实上还是符号变量，可以用vpa函数强制求值。例4-11求解并化简三次方程符号解。>>clear>>t=solve(‘a*x^3+b*x+1=0’)>>[r,s]=subexpr(t,’s’)%可否采用subs例4-12求表达式在x=1时的代数值。>>clear>>symsx>>s=(3*x^3+x^2-1)/(x^2+1)>>r=subs(s,’x’,’1’)%此处1为符号变量>>vpa(r)%求x=1的值三、可视化符号函数计算器

在MATLAB的命令窗口输入funtool，即可启动可视化符号函数计算器。4.2符号微积分一、符号极限函数格式说明limit(s)s为符号表达式。在默认表达式中的自变量趋向于0时的极限。limit(s，a)a为常数。表达式s中由默认自变量趋向于a条件下的极限。limit(s，x，a)计算符号表达式s在x趋向于a条件下的极限。limit(s，x，a，‘right’)计算符号表达式s在x趋向于a条件下的右极限limit(s，x，a，‘left’)计算符号表达式s在x趋向于a条件下的左极限例4-13分别计算表达式、、、、。先在命令窗口创建符号变量a和x，再分别计算上面各表达式的极限。>>clear>>symsxa;>>limit(1/x,x,0,’right’)>>limit(1/x,x,0,’left’)>>limit(sin(x)/x)>>limit((1+1/x)^x,x,inf,’left’)%注意左右极限>>limit(exp(-x),x,0,’left’)二、符号求导函数：diff（s，x，n）说明：其中s为符号表达式，x为自变量，n为求导的阶数。例4-14分别计算表达式的一阶导数和三阶导数。>>clear>>symsx>>diff(x^5)>>diff(x^5,3)%x，n都可以默认，自变量为系统默认，如果有多个变量，选择字母顺序表中最接近x的字母作为自变量。默认n为一阶导数。三、符号积分

函数格式说明函数格式说明int(s)符号表达式s对于默认自变量的不定积分int(s，x)符号表达式s对于自变量x的不定积分int(s，a，b)符号表达式s对于默认自变量从a到b的定积分int(s，x，a，b)符号表达式s对于自变量x从a到b的定积分表4-8符号积分的函数格式例4-15分别计算下列表达式的积分。

(1)(2)(3)(4)>>clear>>symsxy>>s=(4-3*x^2)^2;>>int(s)>>int(x/(x+y),x)>>int(x/(x+y),y)>>int(x^2/(x+2),x,1,3)>>double(ans)%以双精度计算ans四、积分变换

函数名称函数格式说明傅立叶变换fourier(fx，x，t)fx为函数f(x)的符号表达式、x为自变量、t像函数F(t)的自变量。结果为函数f(x)的傅立叶像函数F(t)ifourier(Fw，t，x)Fw为函数F(t)的符号表达式、t为自变量、x为原函数f(x)的自变量。结果为函数F(t)的傅立叶原函数f(x)拉普拉斯变换laplace(fx，x，t)结果为函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)ilaplace(Fw，t，x)结果为函数F(t)的拉普拉斯原函数f(x)Z变换ztrans(fx，x，t)结果为函数f(x)的Z变换像函数F(t)iztrans(Fw，t，x)结果为函数F(t)的Z变换原函数f(x)例4-16求函数的傅里叶变换及其逆变换。>>clear>>symsxt>>y=exp(-x^2);>>Ft=fourier(y,x,t)%傅里叶变换>>fx=ifourier(Ft,t,x)%逆变换4.3符号方程求解一、代数方程

函数格式说明solve(s)求解符号表达式s=0的代数方程，自变量为默认自变量solve(s，x)求解符号表达式s=0的代数方程，自变量为xsolve(s1,s2,…sn，x1,x2,...xn)求解由符号表达式s1,s2,…sn组成的代数方程组，自变量分别为x1,x2,...xn具体调用方式：[x1,x2,…,xn]=solve()例4-19求解代数方程程序：>>clear>>symsabcx>>s=a*x^2+b*x+c；%若将b*x的x换为y会怎样>>solve(s)%可以换种写法例4-20求解代数方程组程序：>>clear>>symsxyz>>s1=2*x^2+y^2-3*z-4>>s2=y+z-3>>s3=x-2*y-3*z>>[x,y,z]=solve(s1,s2,s3)%注意[x,y,z]的使用如果不写会怎样后面省去了自变量x，y，z二、微分方程微分方程：y’’+y’+x-10=0MATLAB中的表示方式：D2y+Dy+x-10=0条件的写法：y’(0)=3用Dy(0)=3表示解方程的函数：dsolve()函数：r=dsolve(‘eq’,‘cond’,‘var’)说明：式中eq代表常微分方程，cond代表常微分方程的边界条件或初始条件，var代表自变量，缺省取系统默认的自变量。该函数可求解微分方程的特解。函数：r=dsolve(‘eq1’,‘eq2’…‘eqN’,‘cond1’,‘cond2’…‘condN’,‘var1’…‘varN’)说明：该函数求解由eq1，eq2，…指定的常微分方程组在条件cond1，cond2，…,condN下的符号解，若不给出初始条件，则求方程组的通解。var1，…，varN为求解变量，缺省取系统默认的自变量。例4-21求微分方程的通解。>>clear>>y=dsolve(‘Dy-(t^2+y^2)/t^2/2’,’t’)%注意式子写法

例4-22求微分方程的通解和当y(0)=1时的特解。>>clear>>y=dsolve(‘Dy=2*x*y^2’,’x’)%求通解>>y=dsolve(‘Dy=2*x*y^2’,’y(0)=1’,’x’)%求特解这种写法中t必须存在，若换为=的式子则可以省去可否像前面例子用s来代替这个表达式x不能省去，因为系统默认为t例4-23求微分方程的通解。>>clear>>[x,y]=dsolve(‘Dx=4*x-2*y’,’Dy=2*x-y’,’t’)x,y为要求解的变量，同例4-20一样不可省略4.4级数一、级数的符号求和函数格式说明函数格式说明symsum(S)计算符号表达式S（表示级数的通项）对于默认自变量的不定和。symsum(S，a，b)计算符号表达式S对于默认自变量从a到b的有限和。symsum(S，x)计算符号表达式S对于自变量x的不定和。symsum(S，x，a，b)计算符号表达式S对于自变量x从a到b的有限和。例4-24分别计算表达式、、。>>clear>>symsxk>>symsum(k)>>symsum(k^2-3,0,10)>>symsum(x^k/k,k,1,inf)%如果把k换为x有何结果，如果求不定和有什么结果二、函数的泰勒级数

函数格式说明函数格式说明taylor(s)计算符号表