第四章测量不确定度

1第四章测量不确定度本章内容§4.1测量不确定度的基本概念

§4.2

标准不确定度的评定§4.3测量不确定度的合成§4.4测量不确定度应用实例2第四章测量不确定度§4.1测量不确定度的基本概念§4.1

测量不确定度的基本概念“不确定度”一词起源于1927年德国物理学家海森堡在量于力学中提出的不确定度关系，又称测不准关系。测量不确定度(uncertaintyofmeasurement)测量不确定度是指对测量结果变化的不肯定；是表征被测量的真值在某个量值范围的估计；是测量结果含有的一个参数；测量不确定度用以表示被测量值的分散性。测量结果＝被测量的估计值＋不确定度3第四章测量不确定度§4.1测量不确定度的基本概念测量不确定度的评定方法A类评定：通过对一系列观测数据的统计分析来评定；B类评定：基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定。4第四章测量不确定度§4.1测量不确定度的基本概念测量不确定度与误差误差与不确定度是误差理论两个重要概念。它们既有相同点也有区别。都是测量结果的精度评定参数；相同点不同点定义上误差是以真值或约定真值为中心，表明测量结果偏离真值；而不确定度是以估计值为中心，表明测量结果的分散性。5第四章测量不确定度§4.1测量不确定度的基本概念数值上误差可正、负，误差=测量结果-真值；不确定度是恒为正，用标准差及其倍数(或是用说明了置信水平的区间的半宽)表示。分布规律性误差的取值具有不确定性，并服从一定的分布；而不确定度对某一确定的测量方法来说具有确定的值。6第四章测量不确定度§4.1测量不确定度的基本概念关于修正系统误差的估计值可以对测量结果进行修正，得到已修正结果，经修正的结果误差小；不确定度不可以对测量结果进行修正，经修正的结果不确定度仍可能较大。从人类认识上误差客观存在，不以人的认识程度而改变；不确定度与人们对被测量、影响量及测量过程的认识有关。7第四章测量不确定度§4.1测量不确定度的基本概念关于合成误差合成时需要区分误差性质（系统误差和随机误差）；测量不确定度合成时不需要区分误差性质。评定、合成方法一样。在重复性条件下，不同测量结果其不确定度相同，但误差不同；对同一被测量不论其测量程序、条件如何，相同测量结果的误差相同，但不确定度可能不同。8第四章测量不确定度§4.1测量不确定度的基本概念联系误差是不确定度的来源；不确定度反映了误差对测量结果的影响程度。两者都与测量结果有关，而且两者是从不同角度反映了测量结果的质量指标。不确定度是对测量结果的不能肯定的程度；误差是测量结果相对真值的差异大小。用测量不确定度代替误差表示测量结果，易于理解、便于评定，具有合理性和实用性。误差是不确定度的基础。9第四章测量不确定度§4.1测量不确定度的基本概念不确定度是经典误差理论的补充，是现代误差理论的内容之一。但它还有待于进一步研究、完善与发展。10第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定§4.2

标准不确定度的评定用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用u表示。测量不确定度所包含的若干个不确定度分量，均是标准不确定度分量，用ui表示。1、标准不确定度的A类评定单次测量值作为被测量的估计值：当用n次测量的平均值作为被测量的估计值：11第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定2、标准不确定度的B类评定以以前的测量数据、经验和资料；由有关仪器和装置的一般知识、制造说明书、手册和检定证书或其他报告所提供的数据；B类评定的依据常见情况的B类评定当估计值受多个独立因素的影响，且影响大小相近时，可假设为正态分布,由所取置信概率P的分布区间半宽a与包含因子kp(正态分布积分表查出，即t)来估计标准不确定度，即12第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定校准证书给出名义值10Ω的标准电阻器的电阻

，测量结果服从正态分布，置信水平为99％。求其标准不确定度。例题4.1解根据题意，标准电阻在范围内的置信概率为99%。该标准电阻器的置信区间半宽度为查表得包含因子计算不确定度因为服从正态分布，根据P=0.99,Φ(t)=0.99/2,查正态分布积分表得t,t即为此处的包含因子k。13第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定当估计值取自相关资料，所给出的测量不确定度为标准差的k倍时，标准不确定度某校准证书说明，标称值1kg的标准砝码的质量ms为1000.000325g，该值的测量不确定度按三倍标准差计算为240μg，求该砝码质量的标准不确定度。例题4.2解：已知测量不确定度Ums=240μg，K=3，故标准不确定度为14第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定若x服从均匀分布，即若在区间(x-a,x+a)内的概率为1，且在各处出现的机会相等，则例题4.3由手册查得纯铜在温度20OC时的线膨胀系数α为16.52×10-6/OC，并已知该系数α的误差范围为±0.4×10-6/OC，求线膨胀系数α的标准不确定度。解：根据手册提供的信息，可以认为α的值以等概率位于区间(16.52-0.4)×10-6/OC至(16.52+0.4)×10-6/OC内，不可能在区间之外，故α属于均匀分布，区间半宽a=0.4×10-6/OC，所以纯铜在20OC的线膨胀系数α的标准不确定度为15第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定当x受到两个独立且皆满足均匀分布的因素影响时，则x服从区间为(x-a,x+a)内的三角分布当x服从区间(x-a,x+a)内的反正弦分布时，则其标准不确定度为16第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定3、自由度及其确定自由度的确定A类评定的自由度:Bessel公式：=n-1

其他公式：如自由度表所示。

自由度的概念自由度：将不确定度计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数所得的差值。用ν表示。意义：反映不确定度评定的质量，自由度越大，标准差越可信赖，不确定度评定质量越好。17某激光管发出的激光波长，经检定为

，后来又用更精确的方法，测得该激光管的波长为，试估计原检定波长的标准不确定度及其自由度。解：用了更精确的方法测量激光管的波长，故可认为约定真值为则原检定波长的真误差为例题4.4第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定用最大误差法进行Ａ类评定先用最大误差法求标准差，因n=1，查表得系数(因为已知真值，故用1/kn)

-18查自由度表得最大误差法的自由度第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定所以测量标准差为A类评定：不确定度（单次测量）19第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定B类评定的自由度:σu：评定u的标准差σu/u：评定u的相对标准差B类标准不确定度的自由度通常根据专业知识及实际经验进行估计。20第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定例4.5用标准数字电压表在标准条件下对直流电压源10V点的输出电压进行重复测量10次，测得值如下已知标准电压表的示值误差按3倍标准差计算为±3.5×10-6×U0(U0为标准电压表的读数，相对标准差为25%)，24h的稳定度不超过±15μV(按均匀分布，相对标准差为10%)。若用10次测量的平均值作为电压测量估计值，试分析电压测量的不确定度来源，并分别计算其标准不确定度和自由度。n12345678910νi/V10.00010710.00010310.00009710.00011110.00009110.00010810.00012110.00010110.00011010.000094解：根据题意，引起电压测量不确定度的主要来源有：1.电压测量的重复性、2.标准电压表的示值误差、3.示值稳定性。其相应标准不确定度和自由度分别计算如下：21第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定由10次测量数据计算的平均值用贝塞尔公式计算单次测量的标准差平均值的标准差电压测量重复性引起的标准不确定度的计算属A类评定，则其自由度为1.电压测量的重复性引起的标准不确定度22第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定2.标准电压表示值误差引起的标准不确定度标准电压表的示值误差按3倍标准差计算，不确定度的计算按B类评定，其中Ux=3.5×10-6×U0=3.5×10-6×10V,K=3,则标准不确定度为其相对标准差为25%，自由度为23第四章测量不确定度§4.2标准不确定度的评定3.标准电压表的稳定性引起的标准不确定度标准电压表的稳定度按均匀分布。其不确定度

属B类评定，计算标准不确定度为其相对标准差为25%，自由度为标准电压表的测量不确定度受多个不确定度分量的影响，因此存在不确定度合成的问题。24第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成§4.3测量不确定度的合成§4.3.1合成标准不确定度确定合成标准不确定度uc的步骤第一步明确影响测量结果的多个不确定度分量；第二步确定各分量与测量结果的传递关系和它们之间的相关系数；第三步给出各分量标准不确定度；第四步按方和根法合成。25第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成而测量结果y的标准不确定度uc可用下式表征：其中，任意两个直接测量值xi，xj不确定度的相关系数。测量结果表示为若uc(标准不确定度)

的合成间接测量中，设各直接测得量xi的标准不确定度为uxi，它对被测量的传递系数为

估计值26第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成测量环路正弦交变电位差幅值V，电流幅值I，各重复测量5次，得到如下表所示的数据，相关系数ρ=-0.36，试根据测量值，求阻抗R的最佳值及其合成标准不确定度。次数电位差幅值V电流幅值mA15.00719.66324.99419.63935.00519.64044.99019.68554.99919.675例题4.6解：根据算术平均值和标准差的计算公式得n=527第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成电阻的最佳值为A类评定标准，多次测量(5次)合成标准不确定度ρ=-0.36n=528第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成§4.3.2展伸不确定度展伸不确定度的提出展伸不确定度的评定合成标准不确定度可表示测量结果的不确定度，但它仅对应于标准差，由其所表示的测量结果y±uc含被测量Y的真值的概率仅为68%。合成标准不确定度的倍数（简易法）：k=2或3当要求更高的真值的概率时需用展伸不确定度(也称为扩展不确定度)表示测量结果。

29第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成用扩展不确定度表示测量结果为具有置信水平p的置信区间的半宽(自由度法)一般采用P为95%和99%,在多数情况下采用95%。当各不确定度分量相互独立时，合成标准不确定度uc的自由度为：其中，ν是合成标准不确定度uc的自由度，根据给定的置信概率P与自由度ν查t分布表，得到tp(ν)的值。uc：合成标准不确定度；ui：分量标准不确定度；νi:不确定度分量的自由度;合成标准不确定度合成标准不确定度的自由度置信概率例题4.7求例4.5电压测量的展伸不确定度，取置信概率P=95%。30第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成解：例题4.5中已解出各个误差源的标准不确定度如下1）电压测量的重复性引起的标准不确定度其自由度为2）标准电压表示值误差引起的标准不确定度其自由度为3）标准电压表的稳定性引起的标准不确定度其自由度为考虑各个不确定度的传递系数为，各个不确定度分量相互独立，即31第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成电压测量的合成标准不确定度为合成标准不确定度的自由度为根据置信概率P=95%和自由度20，查t分布表得到所以电压测量的展伸不确定度为自由度为32第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成对测量不确定度进行分析与评定后，应给出测量不确定度的最后报告。当测量不确定度用合成标准不确定度表示时，应给出①合成标准不确定度uc及其②自由度ν；当测量不确定度用展伸不确定度表示时，除给出①展伸不确定度U外，还应该说明它计算时所依据的②合成标准不确定度uc、③自由度ν、④置信概率P和⑤包含因子k。§4.3.2不确定度报告报告基本内容33第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成测量结果的表示当不确定度用合成标准不确定度uc表示时。若被测量Y是标称值为100g的砝码，其测量的估计值为y=100.02147g,对应的合成标准不确定度uc=0.35mg，可表示如下当不确定度用展伸不确定度U表示：与d的表示形式相同

，为避免混淆，应给出相应说明。uc的末位与被测量估计值末位对齐，单位相同估计值合成标准不确定度34第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成不确定度数值的有效数字与修约不确定度有效数字一般不超过两位；不确定度数值与被测量的估计值末位对齐；数字修约按照“三分之一准则”将多余的位数舍去。

修约时，先令测量估计值最末位的一个单位作为测量不确定度的基本单位，再将不确定度取至基本单位的整数位，其余位数按微小误差取舍准则，小于基本单位的1/3则舍去，大于或等于1/3，舍去后将最末位整数位加1。35第四章测量不确定度§4.3测量不确定度的合成例题4.8已知被测量的估计值为20.0005mm，若有两种情况：1.展伸不确定度U=0.00124mm2.展伸不确定度U=0.00123mm要求对U进行修约。解：根据测量的估计值20.0005mm，取其最末位0.0001作为U的基本单位。1.对于U=0.00124mm，其整数部分是12，小数部分是0.4，大于基本单位的1/3，故舍去后整数单位加1。修约后U=0.0013mm；2.对于U=0.00123mm，其整数部分是12，小数部分是0.3，小于基本单位的1/3，故舍去。修约后U=0.0012mm。36第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例§4.4

测量不确定度应用实例1、测量不确定度计算步骤1）列出主要分量；2）计算各分量的传递系数；3）评定标准不确定度分量ui，给出自由度νi；4）分析各误差之间的相关系数ρij；5）求合成标准不确定度uc和自由度v，若有必要，给出展伸不确定度U；6）给出不确定度报告。37第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例测某一圆柱体的体积。由分度值为0.01mm的测微仪重复测量直径D和高度h各6次，数据如下（6次测量）：Di/mm10.07510.08510.09510.06010.08510.080hi/mm10.10510.11510.11510.11010.11010.1152、实例分析例题4.9计算D、h的平均值，求V的估计值38第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例不确定度评定(1)D的测量重复性引起的标准不确定度分量六次测量D的标准差因，则标准不确定度评定不确定度分量由Bessel公式计算的标准差确定的标准不确定度的自由度为n-139第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例(2)h的测量重复性引起的标准不确定度分量则因六次测量h的标准差不确定度分量由Bessel公式计算的标准差确定的标准不确定度的自由度为n-140第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例（3）测微仪的示值误差引起的标准不确定度分量（仪器说明书：测微仪的示值误差范围

）衣题意取均匀分布，则h、D示值误差的不确定度分量及其合成x服从均匀分布的B类评定标准不确定度计算公式41第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例设相对标准差，对应的自由度为不确定度合成因，则体积测量的合成标准不确定度其自由度为B类评定的自由度:结果估计V=806.8mm3，uc基本单位0.1，整数位：13，小数位：1，舍去42第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例展伸不确定度取置信概率P=0.95(α=1-p=0.05)，查t分布表得包含因子k于是，体积测量的展伸不确定度为43第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例不确定度报告1）用合成标准不确定度表示测量结果2）用展伸不确定度表示测量结果其中，符号后的数值表示展伸不确定度由合成标准不确定度

及包含因子确定。44例题4.10砝码校准的不确定度计算。解：1、校准方法用质量比较仪，通过对标称值相同的标准砝码和被校准砝码进行比较测量，得到两砝码的质量差，Δm=m-ms，则被校准砝码的质量为：m=Δm+ms其中Δm是5次测量的平均值；影响砝码校准的不确定度来源主要有（1）标准砝码ms的示值误差；（2）Δm的测量重复性误差；（3）标准砝码的质量自最近一次校准以来可能产生的漂移δs；（4）比较仪的偏心度和磁效应对测量的影响δa；（5）空气浮力对测量的影响δb；第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例45第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例则砝码校准的数学模型为m=ms+Δm+δs+δa+δb2、不确定度评定（1）标准砝码ms的示值误差引起的不确定度分量u1:由标准砝码的核准证书可知，ms=15000.005g，其不确定度按2倍的标准差为30mg，相对标准差为25%。则（2）Δm的测量重复性误差引起的不确定度分量u2:已知校准的单次测量的标准差为25mg，由20次重复测量样本所得。本次测量由5次测量的平均值得到，则标注差是由20次测量得到的46第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例（3）标准砝码的漂移引起的不确定度分量u3：参考前几次标准法码核准后的漂移情况，估计其漂移不超过±12mg，相对标准差为20%,按均匀分布，则（4）比较仪的偏心度和磁效应引起的不确定度分量u4：由比较仪的说明书给出，偏心度和磁效应对测量的影响不超过±10%，相对标准差为25%,按均匀分布，则47第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例（5）空气浮力对测量的影响引起的不确定度分量u5：根据工作经验，估计空气浮力的影响范围为±1×10-6m(m被测量值)，

相对标准差为10%，按均匀分布，又m≈ms=15kg，则3、不确定度合成由m=ms+Δm+δs+δa+δb可知，各个分量的不确定度传递系数为1，且相互独立，相关系数为0，则合成标准不确定度为自由度为48第四章测量不确定度§4.4测量不确定度应用实例取置信概率p=95%，查t分布表，得到包含因子k=tp(ν)=t0.95(33.75)=2.03展伸不确定度为U=Kuc=2.03×22.5mg=45.7mg≈46mg4、不确定度报告（若已知：Δm=0.020g）m=Δm+ms=0.020g+15000.005g=15000.025g=15.000025kg标准值为15kg的被校准砝码的质量为15.000025kg±46mg5的单位为mg需要修约其展伸不确定度U=46mg，是由合成标准不确定度uc=22.5mg，及包含因子k=2.03确定的，对应置信概率P=95%，自由度ν=33.75。49本章结束50本章习题1、望远镜的放大率D=f1/f2，已测得物镜主焦距f1±σ1=(19.80±0.10)cm，目镜主焦距f2±σ2=(0.800±0.005)cm，求放大率测量中由f1、f2

引起的的不确定度分量和放大率D的标准不确定度。2、在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：1l=40mm，l2=10mm，l3=2.5mm，量块按“级”使用，经查手册得其研合