高中数学人教B版第三章基本初等函数 高质作品 第25课时

第25课时指数函数的图象及其应用课时目标1.加深指数函数图象的认识，掌握图象的变换．2．能利用图象解决一些简单问题．识记强化1．两类指数函数图象(1)a>1(2)0<a<12．指数函数y＝ax，当a＝2，a＝eq\f(1,2)，a＝10，a＝eq\f(1,10)时，图象为图中的①、②、③、④课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝πx与g(x)＝(eq\f(1,π))x的图象关于()A．原点对称B．x轴对称C．y轴对称D．直线y＝－x对称答案：C解析：设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝(eq\f(1,π))x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝(eq\f(1,π))x的图象关于y轴对称，选C.2．函数y＝(eq\f(1,2))|x|的图象是()答案：B解析：因为y＝(eq\f(1,2))|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x，x≥0,\f(1,2)－x，x＜0))，所以选B.3．要得到函数y＝21－2x的图象，只需将指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移eq\f(1,2)个单位D．向右平移eq\f(1,2)个单位答案：D解析：y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝2－2x＝2向右平移eq\f(1,2)个单位．4．函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：eq\f(5,4)，eq\r(3)，eq\f(1,3)，eq\f(4,11)中的一个，则对应的a，b，c，d的值是()\f(5,4)，eq\r(3)，eq\f(1,3)，eq\f(4,11)\r(3)，eq\f(5,4)，eq\f(4,11)，eq\f(1,3)\f(4,11)，eq\f(1,3)，eq\r(3)，eq\f(5,4)\f(1,3)，eq\f(4,11)，eq\f(5,4)，eq\r(3)答案：C解析：方法一从第一象限看指数函数的图象，逆时针方向底数依次从小变大，故选C.方法二直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而eq\r(3)＞eq\f(5,4)＞eq\f(4,11)＞eq\f(1,3)，故选C.5．函数f(x)＝ax与g(x)＝ax－a的图象大致是()答案：C解析：分0＜a＜1和a＞1两种情况去判断两函数图象与a的取值情况是否一致．当0＜a＜1时，f(x)＝ax的图象是下降的，而g(x)＝ax－a＝a(x－1)的图象过(1,0)点，且斜率a小于1，故选C.6．已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：y＝ax＋b.当0＜a＜1，b＜－1时，其图象相当于y＝ax的图象向下平移|b|个单位，图象如图所示．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．当x∈[－1,1]时，f(x)＝3x－2的值域为________．答案：[－eq\f(5,3)，1]解析：由题意x∈[－1,1]，则eq\f(1,3)≤3x≤3，即－eq\f(5,3)≤3x－2≤1.8．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，且图象关于直线x＝1对称，x>0时，f(bx)、f(cx)的大小关系________．答案：f(cx)>f(bx)解析：由已知c＝3，b＝2，x>0时，3x>2x>1，f(x)＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上单调递增，∴f(cx)>f(bx)．9．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x<0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x≥0，)))则不等式|f(x)|≥eq\f(1,3)的解集为________．答案：{x|－3≤x≤1}解析：①当x<0时，|f(x)|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))≥eq\f(1,3)，即eq\f(1,x)≥eq\f(1,3)或eq\f(1,x)≤－eq\f(1,3)，∴－3≤x<0.②当x≥0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x))≥eq\f(1,3)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≥eq\f(1,3)，∴0≤x≤1.由①②可得－3≤x≤1.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)画出函数y＝2|x＋1|的图象，并根据图象指出它的单调区间．解：y＝2|x＋1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1x＜－1,2x＋1x≥－1)))其图象分成两部分，一部分是将y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1(x＜－1)的图象作出，而它的图象是由y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x沿x轴的负方向平移一个单位得到的，另一部分是将y2＝2x＋1(x≥－1)的图象作出，即将y＝2x的图象向左平移一个单位得到的．如图，可知单调递减区间为(－∞，－1]，单调递增区间是[－1，＋∞)．11．(13分)已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域．解：f(x)＝3＋2×3x＋1－9x＝－(3x)2＋6×3x＋3.令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.∵－1≤x≤2，∴eq\f(1,3)≤t≤9.∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24.∴函数f(x)的值域为[－24,12]．能力提升12．(5分)函数y＝eq\f(xax,|x|)(0<a<1)图像的大致形状是()答案：D解析：函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝eq\f(xax,|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>0，,－ax，x<0.))当x>0时，函数是一个指数函数，因为0<a<1，所以函数递减；当x<0时，函数图像与指数函数y＝ax(x<0)的图像关于x轴对称，函数递增．13．(15分)函数f(x)＝eq\f(1,2)(ax＋a－x)(a>0，且a≠1)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(41,9))).(1)求f(x)的解析式；(2)证明f(x)在[0，＋∞)上是增函数．解：(1)∵f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(41,9)))，∴eq\f(1,2)(a2＋a－2)＝eq\f(41,9)，即eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))＝eq\f(41,9).整理得9a4－82a2＋9＝0，解得a2＝9或a2＝eq\f(1,9).又a>0，且a≠1，∴a＝3或a＝eq\f(1,3).当a＝3时，f(x)＝eq\f(1,2)(3x＋3－x)；当a＝eq\f(1,3)时，f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x))＝eq\f(1,2)(3x