第五讲：直线与平面及平面与平面的相对位置关系(相交),点、直线和平面的综合题

点、直线、平面综合问题距离问题——作垂直、求实长(度量)相对位置关系(定位)角度问题(度量)直线与平面、平面与平面的相对位置——相交（含垂直）2/4/20231M平面与平面相交两平面相交，其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题。ABCFKNL2/4/20232可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●如何判别？例1：求两平面的交线MN，并判别可见性。还可通过重影点判别可见性。还有何办法判别？步骤：１．空间及投影分析２．作图XO2/4/20233bcfhaeabcefh1(2)平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m

、bc与fh的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即交线MN的正面投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，在上方，点Ⅱ在BC上，在下方，故fh可见，n2不可见。m●●n●2●n●m●1●例2：求两平面的交线MN，并判别可见性。步骤：１．空间及投影分析２．作图XO2/4/20234两一般位置平面相交，求交线步骤：1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。求两平面的交线llnmmnPVQV1221kke’e2．连接两个共有点，画出交线KE。XO2/4/20235直线与平面垂直的几何条件：

若一直线垂直于平面内的任意两条相交直线，则直线与平面互相垂直。垂直--直线与平面垂直;

平面与平面垂直2/4/20236定理1若一直线垂直于一平面，则该直线的水平投影必垂直于该平面的水平线的水平投影；其正面投影必垂直于该平面的正平线的正面投影。knknXO2/4/20237定理2（逆）若一直线的水平投影垂直于一平面水平线的水平投影；其正面投影垂直于该平面正平线的正面投影，则该直线必垂直于该平面。XO2/4/20238例3：平面由BDF给定，试过定点K作平面的法线。acacnnXO2/4/20239h例4：试过定点K作特殊位置平面的法线。hhhhh（a）（c）（b）2/4/202310例5：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。efef不垂直XO2/4/202311两平面垂直的几何条件若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。AD2/4/202312反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。两平面垂直两平面不垂直2/4/202313g例6平面由BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。hacachg2/4/202314例题试判断ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。ffdd结论：因为AD直线不在

ABC平面上，所以两平面不垂直。2/4/202315例题试过定点A作直线与已知直线EF正交。2/4/202316EQ分析——过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。FAK2/4/202317作图21aefafe1221PV12kk2/4/202318距离问题基本问题：点到直线的距离点到平面的距离衍生问题:两直线间距离(平行和交叉)

直线到平面的距离两平面间的距离点、直线、平面综合问题——2/4/202319根据要求求距离k’k距离的实长解题要点：1、作垂线;2、求垂足;3、连接线段,求实长.作图结果要求：表示距离的线段的投影、实长都须作出。距离问题例：求图中点A到平面CDE的距离。a’ac’d’e’cedXO2/4/202320根据要求求距离例：求点A到直线CD的距离。距离的实长k’k解题要点：1、作垂面;2、求垂足;3、求实长.距离问题a’ad’e’edOX2/4/202321求两交叉直线的公垂线。a’bcdc’d’b’ak’l’kl解题要点：1.从空间理解概念;2.明确作图思路.距离问题OX2/4/202322空间几何元素之间相对位置关系例：经过A点求作直线AB，使其与Q平面平行，且与直线CD相交。bb’QVQHaa’cdc’d’解题要点：1.求线先定面;2.明确平面的迹线表示.OX2/4/202323求角度直线的倾角－－用直角三角形法平面的倾角－－用最大斜度线两直线的夹角－－求角所在平面实形直线与平面的夹角－－借助垂线两平面的夹角－－作垂面2/4/202324求角度求直线AB与P平面的夹角。p’pa’b’abOX2/4/202325分析2/4/202326小结－－本讲基本要求相交问题

1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和求两个面的交线的作图方法（其中一平面的投影具有积聚性）。

2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。

3．熟练掌握利用重影点判别投影可见性的方法。垂直问题

掌握线面垂直的投影特性及作图方法。了解面面垂直的投影特性及作图方法。2/4/202327例试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。OX2/4/202328分析过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH2/4/202329作图mnhhnmPV11221．过点K作平面KMN//

ABC平面。2．求直线EF与平面KMN的交点H。3．连接KH，KH即为所求。OX2/4/202330例试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60°，与H面的夹角为45°。OX2/4/2