第五章测量误差

5.1测量误差概述一、误差来源测量误差来源于以下三个方面：仪器测量误差——因观测条件限制不可避免地产生的测量偏差。

仪器制造上所能达到的精度具有一定的限度。仪器构造不可能十分完善。观测者观测者感官的鉴别力具有一定的限度。观测者的熟练程度和认真程度。外界条件：大气条件、光线及时间。

第5章测量误差的基本知识

我们把产生测量误差的这三方面因素总称为观测条件。观测条件决定观测质量。若观测条件相对较好，产生的测量误差就相对较小。二、误差分类1.系统误差系统误差——在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，如果产生的误差的符号及大小表现出一致的倾向，即按一定的规律变化或保持为常数。例1：量距某钢尺的尺长方程式对已知距离进行丈量，结果如下：例2：视准轴不平行于水准管轴对水准尺读数的影响系统误差的特点：具有累计性，对测量结果影响大。

具有规律性，其影响一般可消除。消除方法：

1）用计算方法，如对丈量结果加改正数。

2）采取适当的观测方法，如水准测量要求前后视距离相等。2.偶然误差偶然误差——在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，如果产生的误差的符号及大小都没有表现出一致的倾向，即表面上没有任何规律性。例：水准尺读数误差、角度测量中的瞄准误差偶然误差的产生总是有原因的，是多方面因素的综合影响，当无一因素占主导地位时，误差呈随机性。但对大量偶然误差而言，具有统计规律。仪器误差多为系统误差观测误差是偶然误差误差判断：

在一般情况下，测量误差同时包含系统误差和偶然误差。因系统误差可以消除或大大减弱，当系统误差不显著时，可认为测量误差仅含有偶然误差。偶然误差是不能消除的，只能设法减弱其影响。本章讨论的内容是如何估计偶然误差的影响。

(一是对被观测量进行精度评定、二是求出被观测量的最可靠值.)注：测量中是不容许发生错误的，错误不属于测量误差范围。5.2偶然误差的特性实例分析：β1β3β2

由于测量误差的存在，使得三角形内角的观测值不等于理论值，而存在真误差Δ

独立观测了96个三角形，将产生的真误差按其正负号和大小并以0.5"为误差区间排列于下表。误差区间

dΔ"

Δ为正值

Δ为负值个数

v频率

v/n频率/组距个数v频率v/n频率/组距0.0~0.5190.1980.396200.2080.4160.5~1.0130.1350.270120.1250.2501.0~1.580.0830.16690.0940.1881.5~2.050.0520.10440.0420.0842.0~2.520.0210.04220.0210.0422.5~3.010.0100.02010.0100.0203.0以上000000

Σ4848

偶然误差的特性：1.在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的可能性大；3.绝对值相等的正、负误差，其出现的可能性相等；4.偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋近于零。即左式中上式是由偶然误差的第3特性导出。误差分布曲线

如果观测个数增大，误差出现在各区间的频率就趋向一个稳定值。也就是说，在一定的观测条件下，一组偶然误差对应着一种确定不变的误差分布。误差分布曲线函数式为式中称为方差，定义为01.02.03.0

-3.0-2.0-1.0

表中统计结果用频率直方图表示长方条面积代表误差出现在该区间的频率5.3衡量精度的指标精度——误差分布的密集或离散的程度。Ⅰ组观测值精度高于Ⅱ组精度高说明观测条件好一、中误差设对某一未知量进行了n次等精度观测，其观测值为，设该未知量的真值为X，相应的真误差为，则定义该组观测值的中误差m的平方为式中ΔⅠⅡ0在实际测量工作中，观测次数n有限，只能计算出观测值中误差的估值测量上通常将观测值中误差的估值就看作为观测值的中误差即ΔⅠⅡ误差分布曲线函数式可表示为设Ⅰ组观测值的中误差为

Ⅱ组观测值的中误差为即m值小，观测精度高。二、相对误差相对误差——中误差或真误差的绝对值与相应观测值之比。距离丈量的相对误差例：注意：相对误差是一个无量纲的数值。

相对误差这一指标仅用来衡量距离测量精度。三、容许误差误差出现的概率Δ

-3m-2m-mm2m3m测量上，一般取2倍中误差作为误差的容许值，即例：水平角测回互差

竖直角指标差的变动范围错误误差四、用观测值的改正数计算中误差（5.5节）设某量真值为X；等精度观测值为1.观测值的算术平均值证明：当将上组式取和，再除以n，得根据偶然误差的第四特性所以可以认为算术平均值是最接近真值的，也称为最可靠值。2.观测值的改正数——观测值的改正数3.观测值的中误差因为有以上两式相加，得代入上式并移项上式两边平方求和式中上式为而取上式平方因为偶然误差，根据偶然误差的第四特性，有当n为有限值时，第二项的值远比第一项的值要小，可忽略不计。因此有根据中误差的定义，前式写为上式变换成则利用观测值的改正数计算观测值的中误差的公式为注意：只有当n较大时，计算中误差才有意义。4.算术平均值的中误差例1：对某角观测6个测回，求观测值的中误差和算术平均值的中误差。观测值vvv计算1136°48'30"-4

162

4826

0

03

4828

-2

44

4824

+2

45

4825

+1

16

4823

+3

9X=136°48'26"[v]=0[vv]=34

提高算术平均值的精度的两个途径：1）通过改善观测条件，使m值减小。2）增加观测次数。例2：对某直线丈量了4次，丈量结果为246.535m、246.548m、246.521m、246.529m。求其算术平均值、算术平均值的中误差及相对误差。5.4误差传播定律

某些未知量，例如点的坐标X、Y，高程H等都是直接观测量的函数。函数的中误差与直接观测量的中误差之间存在一定的函数关系，阐述这种函数关系的定律被称为误差传播定律。由于的存在，使函数Z亦产生相应的真误差。取上式全微分设有一般函数式中为可直接观测的未知量，设的独立观测值为，其相应的中误差为、真误差一、误差传播定律都很小，可用因此有设有将以上各式等号两边平方后再相加得上式两端除以k，有根据偶然误差的第四特性，有根据中误差的定义，上式可写成或上式为一般函数的误差传播定律。式中例1：证明算术平均值的中误差为算术平均值则因为等精度观测值，故有函数对各自变量的偏导数根据误差传播定律，有

例2：已知观测值求上式全微分式中将全微分式转换成中误差误差传播定律应用总结：对于一般函数设的独立观测值为，其相应的中误差为式中取上式全微分转换成中误差平方的表达式二、应用举例水准测量的精度（1）一个测站的高差中误差单仪高法：

设h的中误差为a、b的中误差为双仪高法：说明：两个等精度独立观测值之和或差的中误差，等于观测值中误差的倍。

两个等精度独立观测值的平均值的中误差，等于观测值中误差的倍。（2）一个测段的高差中误差AB一测回方向值设：一测回方向值中误差为水平角测量的精度DJ6级经纬仪的一测回方向