第五章+反馈控制系统的性能

第五章反馈控制系统的性能

ThePerformanceofFeedbackControlSystems本章主要内容：测试信号及系统的响应系统的时域性能指标高阶系统的时域分析系统的稳态误差计算系统综合性能指标与参数优化本章教学目标：

认知常用测试信号及二阶系统在测试信号激励下的响应特征熟悉二级系统极点位置与系统动态响应特征的关系掌握时域性能指标与二阶系统参数间的计算关系，高阶系统的近似计算方法。掌握系统的稳态误差计算理解系统综合性能指标与参数优化关系

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT5.1控制系统的性能与测试信号

反馈控制系统的优点是可以调节系统的动态和静态性能，在系统分析和设计中如何度量这些性能？性能与系统参数间存在何种数量关系？如何测试这些性能？本章将讨论、解决这些问题。一、控制系统性能及性能指标控制系统本身是时域系统，其性能表现为动态性能和静态性能。工程上常规定若干时域性能指标（Specifications）度量其性能。动态性能反映系统在输入信号激励下运行的快慢、平稳程度。静态性能反映系统达到平衡态时的精确程度。系统分析就是求取特定系统在特定输入信号激励下系统的动、静态性能指标。系统设计就是设计系统结构、选择系统参数使系统满足一组在特定输入信号激励下的性能指标要求。无论系统分析还是系统设计，求取系统性能指标十分重要。也是对工程师的基本要求。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT二、测试输入信号控制系统在运行时实际输入信号是未知的，在不同信号激励下的瞬态响应与静态响应各不相同。因此需要选择标准测试信号来分析、测试系统性能。工程上常用的标准测试信号：阶跃信号、斜坡信号、抛物线信号及脉冲信号。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT5.2二阶系统性能及系统时域性能指标系统的输入输出关系：

二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程或闭环传递分母最高阶次为2的控制系统。

二阶系统在控制工程中的应用极为普遍。高阶系统在一定条件下可用二阶系统来近似。标准形式：ωn

称为自然振荡频率，ζ称为阻尼比。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT一、系统性能分析方法解析法求取系统闭环传递函数T(s)求取系统输入输出关系Y(s)=T(s).R(s)求取系统特定输入下输出并作部分分式分解做拉氏反变换求取系统时域输出y(t)根据时域输出求性能指标图解法根据系统结构编程求取系统仿真模型sys求取系统特定输入下时域响应y(t)利用绘图函数绘制响应曲线在响应曲线上求取相关数据根据定义求性能指标

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT特征方程：解方程阻尼比ζ不同，特征根的性质就不同，部分分式形式不同，系统的响应特性也就不同。二、二阶系统动态响应特征（1）单位阶跃输入下系统输出：做部分分式展开，其形式取决于极点的值，也是二阶系统特征根

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT②

0<ζ<1，欠阻尼①

ζ=0，无阻尼二、二阶系统动态响应特征（2）

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT③ζ=1，临界阻尼④ζ>1，过阻尼0jt⑤ζ<0，负阻尼，阶跃响应：单调发散或振荡发散二、二阶系统动态响应特征（3）

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT以欠阻尼0<ζ<1为例(单位阶跃输入)经拉氏反变换有：阻尼角θ：

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT绘制不同阻尼ζ下阶跃响应曲线由图可见：随阻尼ζ减小，其动态响应振荡得更厉害。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT欠阻尼0<ζ<1下，二阶系统单位脉冲响应绘制不同阻尼ζ下响应曲线：同样由图可见：随阻尼ζ减小，其动态响应振荡得更厉害。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT三、系统时域性能指标（1）在系统稳定的情况下，定义下列时域指标：1.上升时间Tr(Risetime):响应首次到达期望值的时间。2.峰值时间Tp(Peaktime):响应到达第一个峰值的时间。以上两个指标反映了系统的响应快速性。如果响应是单调非振荡的，就不会峰值时间。此时选择10~90%作为上升时间Tr1。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT三、系统时域性能指标（2）3.调节时间Ts(Settlingtime):响应到达且维持在稳态值的某个百分比δ范围内的时间。δ通常取2%或5%。4.超调量P.O.或σ%(PercentOvershoot):5.稳态误差ess

:

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT先求出一阶系统的单位阶跃响应，然后根据性能指标定义求取性质：非周期响应，没有Tp和P.O.（σ%）1）利用初始斜率特性可以求时间常数T2）由定义可求得：Tr=2.20T,Ts=3T或4T一阶系统性能指标计算

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT1、上升时间Tr(risetime)y(Tr

)为1四、二阶系统性能指标计算（1）

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT2、峰值时间Tp(peaktime)一阶求导：四、二阶系统性能指标计算（2）

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT3、超调量P.O.或σ%(percentovershot)根据超调量的定义，并考虑到四、二阶系统性能指标计算（3）

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT四、二阶系统性能指标计算（4）4、调节时间Ts

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT讨论（1）：

上升时间和峰值时间反映系统快速性，调节时间和超调量反映响应对期望输出的逼近程度。两者是矛盾的，需要折中（见图）。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT讨论（2）：对于给定的ζ，当ωn增加时，响应变快。对于给定的ωn

，ζ减小则响应变快，但会改变超调量。二阶系统典型的ζ取值与超调量对应值见P203表5.2，工程上经常取0.6<ζ<0.8

。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例1.

单位反馈系统的开环传递函数为对系统阶跃响应的设计要求为：峰值时间1.1s，超调量为5%。（1）试判断系统能否同时满足这两个设计指标要求？（2）如果不能同时满足上述要求，试确定增益K的折中值，使系统能够满足按相同的比例放宽后的设计要求。解：（1）系统的闭环传递函数为：1）按照超调量5%可得：2）求得此时的峰值时间：显然不能同时满足设计指标书238页习题P5.4

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT（2）折中设计设设计指标比例系数为x解得设计指标比例系数为x=2.72说明同时满足两个有矛盾的指标的话，必须对指标同时放大2倍。计算出K=2例1.

单位反馈系统的开环传递函数为对系统阶跃响应的设计要求为：峰值时间1.1s，超调量为5%。（1）试判断系统能否同时满足这两个设计指标要求？（2）如果不能同时满足上述要求，试确定增益K的折中值，使系统能够满足按相同的比例放宽后的设计要求。解：书238页习题P5.4

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT进行Matlab

仿真仿真程序k1=sqrt(2);k2=2.86;num1=k1;num2=k2;den1=[12k1];den2=[12k2];sys1=tf(num1,den1);sys2=tf(num2,den2);t=[0:0.1:7];[y1,x,t]=step(sys1,t);[y2,x,t]=step(sys2,t);plot(t,y1,t,y2);hold;grid;xlabel('Time(s)');ylabel(‘stepresponsey(t)');

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT温故知新1、在纸上画出典型二阶系统的结构框图模型，同时写出闭环传递函数以及四种阻尼情况下的特征根的分布情况。2、请在纸上写出无零点欠阻尼二阶系统的动态性能指标：上升时间tr

？峰值时间tp

？调节时间ts

？超调量P.O.

？

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT五、二阶系统不同极点的响应特征前面重点讨论具有共轭极点（0<ζ<1）的二阶系统动态响应特征。随着ζ变化，极点呈现不同性质，其动态响应特征将会变化。ζ=0，无阻尼。系统极点S1,2=

±jωn。一对虚根，系统对任何激励都处于等幅振荡状态。ζ≧1，过阻尼。系统极点为两个实根，系统响应为单调变化，不振荡。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT六、第三个极点和零点对二阶系统性能的影响前面讨论的是标准的二阶系统动态响应特征。所谓标准指系统仅含有两个极点，无零点。此时，系统性能指标可以按照前面方法计算。

如果系统除了一对共轭极点之外，含有其它的实数极点或（和）零点时，系统响应如何变化？如何计算系统性能指标？附加极点：主导极点的实部绝对值小于另外极点实部绝对值十分之一时，不影响动态响应特性。见教材P205表5.3

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT附加零点：二阶系统增加一个z=-a的零点，零点与极点实部的比值A=a/ζωn

表示二者的相对位置。增加一个靠近ζωn

的零点使得超调增大，响应速度加快；零点越远离极点，对系统响应影响越小。零点位置与超调的关系不同零点位置时阶跃响应ζ=0.45

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT七、系统极零点位置与动态响应其单位阶跃输入响应为系统闭环传递函数无重根情况下时域响应其中Dk是依赖于Bk，Ck及特征根的常数，响应的形态完全取决于特征根。因此，熟悉特征根在根平面位置与阶跃响应的形态对系统设计非常重要。总体讲：T(s)的极点（特征根）确定了系统响应的模态，零点确定每个模态函数在整个响应中的权重。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT极点位置与脉冲响应

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT5.3反馈控制系统的稳态误差控制系统的性能指标动态性能：

稳态性能：

稳态误差

根据前面介绍误差定义为对线性系统，系统有给定输入和干扰输入存在时，误差由两部分组成：根据终值定理：给定输入作用下干扰输入作用下具体求取特定输入下系统稳态误差时，可分别求取。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT一、给定输入R(s)作用下的稳态误差单位负反馈时，H(s)=11.阶跃输入R(s)=A/s定义：位置误差常数Kp阶跃输入下的稳态误差：讨论：积分器的个数N称为系统的型数N=0，零型系统Kp=G(0)，N≧1，I型及以上系统Kp=∞，

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT2.斜坡输入R(s)=A/s2定义：速度误差常数Kv讨论：N=0，零型系统，Kv=0，ess=∞N=1，I型系统，Kv≠0，ess=A/KvN≧2，II型及以上系统，Kv=∞

，ess=03.加速度输入R(s)=A/s3定义：加速度误差常数Ka讨论：N≤1，I型及以下系统，Ka=0，ess=∞N=2，II型系统，Ka≠0，ess=A/KaN≧3，III型及以上系统，Kv=∞

，ess=0

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT误差计算小结控制系统的误差系数Kp,Kv,Ka描述了系统减小或消除稳态误差的能力，可以作为稳态性能的衡量指标。工程师在进行系统设计时，既要增大误差系数以增加稳态精度，也要照顾动态指标。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT二、非单位反馈系统R(s)作用下的稳态误差以上给出的稳态误差计算方法都是在单位反馈情况下，如果不是单位反馈即H(s)

≠1，如何求稳态误差？实际工程上H(s)是传感器的数学模型，因此系统输出Y(s)与传感器输出具有不同的量纲，是不同的物理量。如Y(s)是速度、温度等，传感器输出为电压或电流（mA或V）。为了同类信号比较，实际系统框图为：如果H(s)的直流增益为K2即令K1=K2，这在工程上是成立的。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT用于计算稳态误差的结构图方法一：对H(s)≠1的一般系统，必须做单位反馈系统的等效。方法二：对H(s)≠1系统，也可采用下列方法求稳态误差。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT试计算输入分别为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时，系统的稳态误差。伺服电动机测速发电机解：系统开环传递函数：系统稳态误差系数及稳态误差：例1.具有测速内反馈的位置随动系统

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例2.

哈勃太空望远镜指向控制（1）设计目标：选择K1,K使得（1）阶跃指令r(t)作用下，输出的超调小于或等于10%；（2）在斜坡输入作用下，稳态误差达到最小；（3）减小阶跃干扰的影响。解：(1)首先选择K1,K以满足对阶跃输入的超调要求。设R(s)=A/s,Td(s)=0。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例2.

哈勃太空望远镜指向控制（2）参照P203图5.8，超调小于等于10%时阻尼ζ在0.6左右，选择ζ=0.6。按照超调计算式求得此时：P.O.=9.5%(2)斜坡输入作用下的稳态误差：可见，K/K1越大，斜坡输入下的稳态误差越小。同时，K越大，消除干扰的能力越强。系统的特征方程为（ζ=0.6

）选择K=25,将有K1=6,K/K1=4.17。选择K=100,将有K1=12,K/K1=8.33。在物理可实现的情况下选择K=100。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例2.

哈勃太空望远镜指向控制（3）

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT三、干扰N(s)作用下的系统稳态误差系统在干扰作用下误差为:在干扰动作用下，系统的理想输出Rd(s)应为零。系统在干扰作用下稳态误差为上例中，单位阶跃干扰引起的稳态误差为:干扰作用下有无误差系数？？

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT参考输入信号为阶跃扰动转矩为求系统的稳态误差。系统为Ⅰ型系统，对于阶跃参考输入的误差为零。系统在干扰作用下的误差为：解：例3

控制系统如图

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT5.4控制系统的综合性能指标（PerformanceIndices）上升时间、峰值时间、调节时间、超调量及稳态误差等性能指标是控制系统的单项性能指标，反映了系统动态或静态的某个方面。综合性能指标也是系统性能的量化度量，它综合了系统多项重要的性能要求。

调整系统参数使综合性能指标达到极值（一般为极小），则称系统为最优控制系统（Optimumcontrolsystem）。因此，综合性能指标是系统参数优化的基础指标。

一、常用到的综合性能指标控制工程师常用的综合性能指标有四个。

1.误差平方积分（ISE(Integralofthesquareoferror)）积分时间T通常取调节时间Ts。

2.误差绝对值积分（IAE(Integraloftheabsolutemagnitudeoferror)）积分时间T通常取调节时间Ts。

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ISE易于采用电路实现测量，两者都易于计算机数值计算，是参数优化经常选择的指标。他们共同的特点是：对系统受扰动初期大误差消除非常有效，但对系统动态后期小误差敏感度不足。

3.时间乘误差绝对值积分（ITAE(Integraloftimemultipliedbyabsoluteerror)）

4.时间乘误差平方积分（ITSE(Integraloftimemultipliedbythesquarederror)）他们共同的特点是：减小了对系统受扰动初期大误差的影响，强调了系统动态后期小误差影响。三种指标对二阶系统阶跃响应阻尼比最优比较

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT

二、一些优化参数结果

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT5.5

高阶系统分析系统闭环传递函数的阶次大于2的称为高阶系统。高阶系统分析多采用近似法或图解法。一、近似法控制系统的动态响应形态取决于系统闭环极点，不同极点对响应形态及性能指标的影响与贡献不同，这是近似法的依据。主导极点：对系统动态响应起主导或决定作用的闭环极点。如果闭环极点负实部的绝对值小于等于其它极点负实部绝对值的五分之一，则该极点作为系统主导极点。高阶系统的动态响应可以用主导极点构成的低阶系统响应近似。（一阶或二阶）如果主导极点附近有一个极点或零点，参照附加极零点对二阶系统影响的相关结论分析。如果不存在主导极点，可按照系统模型简化或图解法分析。

CollegeofAutomaticControlEngineering,CUIT例1.某系统闭环传递函数为：（1）确定系统对单位阶跃输入的稳态误差；（2）将共轭复极点视为主导极点，估计系统的超调量和2%准则的调节时间；（3）画出系统实际响应曲线，并与（2）的结果相比较。解：（1）由E(s)=R(s)-Y(s)=R(s)-T(s)R(s)=(1-T(s))R