第6章离散信号与系统的时域分析

第

6

章

离散信号与系统的时域分析

6.0

引言

气象信号虽然是连续变化的，但气象站每隔一小时测得的气温、风速等却是离散信号；发射后的导弹高度变化是连续的，但雷达每隔一定时间测得的高度却是离散信号；电影中演员的动作虽然是连续变化的，但每秒钟拍摄的24张图像信号却是离散的信号。6.1

离散时间基本信号

一、离散时间信号

离散时间信号，简称离散信号，它是离散时间变量tk(k=0,±1,±2,…)的函数。信号仅在规定的离散时间点上有意义，而在其它时间则没有定义。

若选取的离散瞬间是等间隔的，则一般常用f(kT)表示，其中k=0,±1,±2,…；T为离散间隔。一般把这种按一定规则有秩序排列的一系列数值称为序列，简记为f(k)。离散时间信号可用序列{f(k)}表示。比如二、离散时间基本信号

1.单位脉冲序列

定义

注意：单位脉冲序列与冲激函数有本质的不同，在处有确定的值。

2.单位阶跃序列

定义：

单位阶跃序列与连续阶跃信号的形状相似，但在处跃变，其数值通常不予定义；而在处的值明确定义为1。

3.矩形序列

定义：

矩形序列又称有限长脉冲序列，它在数字信号处理中经常用到。4.指数序列该序列中，当时，序列按指数增长；当时，序列按指数衰减。当时，序列都取正值；时，序列值正、负相间摆动。

当5.正弦序列:一般形式为

：是正弦序列的数字（角）频率，它反映了序列值依次周期重复的速率。

三、离散信号的运算1.相加两个离散信号f1(k)和f2(k)相加是指它们同序号的值逐项对应相加，其和为一新的离散信号f(k)，即例如：与离散时间信号的相加可用加法器实现。的和如下图所示。2.相乘两个离散信号f1(k)和f2(k)相乘是指它们同序号的值逐项对应相乘，其积为一新的离散信号f(k),即

离散时间信号的相乘可用乘法器实现。3.移位移位是指将离散信号f(k)沿k轴逐项依次移m位而得到一新的离散信号y(k)，即m为大于零的整数。例如：4.折叠折叠是将离散信号f(k)中变量k用-k取代而得到一新的离散信号y(k)，即从图形上看是将f(k)以纵坐标为轴翻转。5.倒相倒相是将离散信号f(k)乘以-1后而得到的另一离散信号y(k)，即从图形上可以看出,倒相是将f(k)以横坐标为轴进行翻转的一种变换。6.展缩展缩是指将离散信号f(k)在时间序号上进行压缩或扩展，即式中，a为非零值的正实常数。若a＞1，则所得y(k)在时间上比f(k)压缩a倍；若0＜a＜1，则y(k)比f(k)在时间序号上扩展了1/a倍。需要注意的是，对f(k)进行展缩变换后所得序列y(k)可能会出现k为非整数情况，在此情况下舍去这些非整数的k及其值。即可见y(k)比f(k)在时间序号上扩展了2倍。而y(k)比f(k)在时间序号上压缩了1／2。对于离散信号压缩后再展宽不能恢复原序列。

由于出现的非整数序号，故舍去该点及其值，所得结果应为7.差分离散时间信号的差分是指序列f(k)与其移位序列f(k±m)的运算。一般有两种：f(k)的后向差分，记

(一阶前向差分)(一阶后向差分)(二阶后向差分)（2）f(k)的前向差分，记

(一阶前向差分)四、离散信号的MATLAB表示

例6-1绘制离散正弦序列的波形如下。解MATLAB程序演示n=0:1:50;y1=sin(2*pi/18*k);y2=sin(2*pi/40*k);y3=sin(2*pi/pi*k);subplot(3,1,1),stem(k,y1,'.');subplot(3,1,2),stem(k,y2,'.');subplot(3,1,3),stem(k,y3,'.');一、卷积和的定义

两个离散时间信号和的卷积和运算为如果f1(k)为因果序列，由于k＜0时，f1(k)=0，求和下限可改写为零，即如果f2(k)为因果序列，而f1(k)不受限制，那么上式中，当(k-i)＜0，即i＞k时，因而和式的上限可改写为k，也就是如果f1(k)和f2(k)均为因果序列，则有例：已知离散信号试求卷积解：设卷积和的计算结果为

第一步，画出f1(k)、f2(k)图形，分别如图(a)、(b)所示。第二步，将f2(i)图形以纵坐标为轴线翻转180°，得到f2(-i)图形，如图(c)所示。

第三步，将f2(-i)图形沿i轴左移(k＜0)或右移(k＞0)|k|个时间单位，得到f2(k-i)图形。例如，当k=-1和k=1时，f2(k-i)图形分别如图(d)、(e)所示。第四步，对任一给定值k，再进行相乘、求和运算，得到序号为k的卷积和序列值f(k)。若令k由-∞至∞变化，f2(k-i)图形将从-∞处开始沿i轴自左向右移动，并由定义计算求得卷积和序列f(k)。对于本例中给定的f1(k)和f2(k)，具体计算过程如下：同理可得所以其卷积和为

二、卷积和的性质

性质1离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即交换律：结合律：分配律：性质2任一序列f(k)与单位脉冲序列δ(k)的卷积和等于序列f(k)本身，即性质3

若，则

三、常用序列的卷积和公式

四、基于MATLAB的离散卷积和的计算例6-5若，到，，求kf=5:30;kf=length(kf);%确定f(k)的序号向量和区间长度f=0.8.^(kf-5);%确定f(k)序列值kh=0:9;Kh=length(nh);%确定h(k)的序号向量和区间长度k=ones(1,Kh);;%确定h(k)序列值left=kf(1)+kh(1);%确定卷积序列的起点right=kf(Kf)+kh(Kh);%确定卷积序列的终点y=conv(f,h);%计算f(k)和x(k)的卷积subplot(3,1,1),stem(kf,f,'filled');%绘制f(k)的图形axis([04001]);subplot(3,1,2),stem(kh,h,'filled');%绘制x(k)的图形axis([04001.1]);subplot(3,1,3),stem(left:right,y,'filled');%绘制y(k)的图形axis([04005]);

一、LTI离散时间系统若系统的输入信号和输出信号均是离散时间信号，则称该系统为离散时间系统。即离散时间系统的特性（1）线性离散时间系统与非线性离散时间系统若，则对于任意常数a有这样的离散时间系统满足齐次性特性。若，则这样的离散时间系统满足叠加性特性既满足齐次性又满足叠加性的离散时间系统称为线性离散时间系统，否则为非线性时间系统

对于任意常数a和b有(2)时不变离散时间系统和时变离散时间系统设离散时间系统的输入输出关系为恒有(3)因果离散时间系统和非因果离散时间系统如果系统始终不会在输入加入之前产生响应，这种系统称为因果系统，否则称为非因果系统。

例如，有三个系统的输入输出关系如下：根据定义容易验证：系统1是线性时变离散时间系统，系统2是非线性时不变离散时间系统，而系统3是线性时不变离散时间系统。二、离散系统方程

简记为对于线性时不变差分方程而言，其基本运算单元为延迟器（或称移位器）、常数乘法器和加法器。例：设离散系统常微分表示如下：三、基于MATLAB的离散系统零状态响应的求解

求该系统的零状态响应。<分析>在MATLAB程序中，零状态响应可以用MATLAB函数fliter<解>建模离散系统的零状态响应表达为：

MATLAB程序演示>>a=[1430.5];>>b=[3-42];>>u=3*exp(0.2*[1:50]);>>y=filter(b,a,u);>>stem(y)程序运行结果四、基于MATLAB的

离散系统单位脉冲响应的求解

例：设离散系统常微分表示如下：求该系统的单位脉冲响应。<分析>在MATLAB程序中，单位脉冲响应可以用MATLAB函数dimpulse<解>MATLAB程序演示>>num=[12];>>den=[1-10.8];>>y=dimpulse(num,den,100);>>stem(y);程序运行结果五、离散系统差分方程的响应

离散系统的完全响应由零输入响应和零状态响应两部分组成，即1、零输入响应：是由系统的初状态引起的。例：设有如如下一阶差分方程，求在某初始状态下的零输入响应。

解：首先说明，离散系统的零输入响应通常是指以后的响应，故初始状态是指，，各值，这里设原方程改写为是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式一阶系统零输入响应具有指数序列的形式，它是由系统的特征根决定的。本例中，特征方程为故其特征根例7-11设有二阶离散系统初始状态试求系统在时的零输入响应。